信息光学第二版课后答案-苏显渝版可修改全文

4如图所示的等腰直角三角形孔径放在透镜的前焦平面上，以单 位振幅的单色平面波垂直照明，试求透镜后焦面上的夫琅和费衍 射图样的复振幅分布。
y0 y0 x0
U(x, y)
1
jf
exp(
jkf
) e xp
j
k 2f
(x2
y
2
)
45 0 45
x0 a
x0
2
U0( x0 ,
y0 ) exp
0
其它
1.5 计算下列一维卷积
(1) (2 x 3) rect( x 1)
2
(2) rect( x 1) rect( x 1)
2
2
(3) com b( x) rect( x)
解（1）
(1) (2 x 3) rect( x 1) 1 ( x 3 ) rect( x 1)
2 z
2z
I
(0,0,
z
)
4
sin2
a 2
2
z
1 exp( j2x) 2 j exp( jx)sin x
2.1 焦距f=500mm，直径D=50mm的透镜将波长 632.8nm
的激光束聚焦，激光束的截面D1=20mm。试求透镜焦点处 的光强是激光束光强的多少倍？
解：设入射激光束的复振幅A0，强度为 I0 A02 通过透镜后的出
(1)
sinc4( x)
( ) ( )d
( )
1
1
0 (1 )2d 1 (1 )2d 2
1
0
3
(2)
sinc2( x)cos xdx
1 ( ) ( 1 )d 1 ( ) ( 1 )d
2
2
2
2
1 ( 1) 1 (1) 1 2 222 2
0
（2）折叠
1
（3）位移 当 1 x 0
0
1
h( x ) f ( )
0 1 x 1
（3）位移 当 1 x 0 如图
h( x )
f ( )
相乘、积分得卷积
1 x
g( x) 0 f ( )h( x )d
0 1 x 1
1 x
(1 )(1 x )d
1 1 x 1 x3
( x 20
y20 )dx0dy0
1 exp ( jkz)
jz
2
d
0
a 0
e xp
j
k 2z
r
2
rdr
1
2z 1
a2
exp( jkz)
jz
jk
2
exp(
jk
2z
)
1
1
2z 1
a2
exp( jkz)
jz
jk
2
e
xp(
jk
2z
)
1
exp(
jkz)cos(k
a2 ) 2z
j sin(k
a2 2z
)
1
a2
a2
exp( jkz)cos(
z
)
j sin(
z
) 1
a2
a 2
a 2
exp(
jkz)cos(
z
)
j 2 sin(
2
) cos (
z
2
z
)
1
a 2
a 2
a 2
exp(
jkz)cos(2
)
2z
j 2 sin(
2
) cos (
z
2
z
)
1
e
xp(
jkz)
2
s
2
2
2
2
1 rect( x
3 1 2)
1 rect ( x 2.5 )
2
2
2
2
(2) rect( x 1) rect( x 1)
2
2
rect( x 1)
2
rect( 1)
2
2 x
2 x0
0 x2
1 x2 2
2 x
g( x) 0 d x 2
2
g( x) x d 2 x
=
1.6 已知 exp( x2 ) 的傅里叶变换为 exp( 2 ) 试求
exp( x2 ) ?
x2
e xp(
2
2
)
?
解： 利用傅里叶变换的坐标缩放性质可求得答案
f (ax, by) 1 F ( , )
ab a b
exp( x2 )
e xp(
x
2
)
exp( 2 2 )
f ( )
1
h( x - )
0x
g( x)
x
g( x) 0 f ( )h( x )d
x
-( x )
0 1 e d
g( x0 )
x
-( x )
1 e d
1 ex
0
x 0 x0
1.11 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为 h1( x) sinc( x) 和 h2 ( x) sinc(3 x) 试计算各自对输入函数 f ( x) cos 2 x 的响应 g1 ( x) 和 g2 ( x)
)a
2
2.5 在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化 ，则不论 孔径形状如何，夫琅和费衍射图样都有一个对称中心。
解：由于孔径上的场没有相位的变化，则孔径的透过率函数为实数
T ( , )
t(x,
y ) exp
j 2
(x
y)dxdy
t(
x,
y ) exp
(1)n ( x n)
n
comb( x)exp( j x ) comb( x) (1)n ( x n) ( x n)
n
n
0 n为奇数
2 ( x 2n)
n
1.4 计算下面两个函数的一维卷积
h( x) 1 x
f (x) 1 x
1
0
x
解：（1）改变量
h( )
0
1
x
f ( )
射光场为
U0( x0 , y0 )
A0 P( x0 , y0 )
exp
k j 2f
( x02
y0
2
)
U0( x0,
y0 )
A0 P( x0 ,
y0
)
e
xp
j
k 2f
( x02
y02
)
A0circ(
x02 y02 ) D1 / 2
exp
j
k 2f
( x02
y0
2
)
将此式代入菲涅耳衍射公式
h( ) 1
f ( ) 1
01
0
（2）、将h() h(-)只要将h()曲线相对纵轴折叠便得到其镜
像h(-)曲线。
f ( )
h(- ) 1
1
01
0
（3）、将曲线h(-)沿x轴平移x便得到h(x-)， 当x 0时, f ( )h( x ) 0 因此 g(x)=0
当x 0时,计算积f(α)h(xα)曲线下面的面积
(
1)
1
rect (
)
1
(
1)
(
1)
3
32
1 ( 1) ( 1)
6
g2 ( x)
-1 G2 ( )
பைடு நூலகம்
1 cos 2
3
x
1.12 已知一平面波的复振幅表达式为
U ( x, y, z) Aexp j(2x 3 y 4x)
试计算其波长以及沿x,y,z方向的空间频率。
U ( x, y, z) A exp jk r
U(x, y)
1
jz
exp
(
jkz)
exp
j
k 2z
(
x
2
y2 )
U0( x0 ,
y0 )exp
j
k 2z
( x20
y
2
0
)
e
xp
2
j
z
( xx0
yy0 )dx0dy0
x y0
exp ( jkf )
U (0,0, f ) A0
j f
circ(
x02 y02 D1 / 2
)dx0dy0
A0
exp( jkf
j f
)
D12 4
I (0,0, z)
A02
D12 4 f
2
I0
106
3、波长为的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔 径平面上有一个足够大的模 板，其振幅透过率为
t( x0 )
1 1 cos 2
2
3
x0
求透射场的角谱。
解：
T(cos , cos ) 1 (cos cos ) 1 (cos 1 , cos ) 1 (cos 1 , cos ) 2 4 3 4 3
e xp(
x2
2 2
)
e xp
x2
2
2
2
?
2 exp 2 2 2
2 exp 2 2 2 2
1.7 计算积分
(1) sinc4( x) ? (2) sinc2( x)cos x ?
解：利用广义巴塞伐定理求解
f ( x, y)g (x,y)dx dy F ( , )G ( , )d d
第一章
1.2 证明 comb( x ) comb( x)exp( j x ) comb( x)
2
证：comb( x )
( x n) 2
( x 2n)
2
2 n
n
ccomb( x)exp( j x ) ( x n)exp( j x)
n
( x n)exp( j n)
n
解： H1( ) rect( )
H 2 ( )
1 3
rect( )
3
F ( ) 1 ( 1) ( 1)
2
G1( )
H1 ( )
1
2
(
1)
(
1)
rect( ) 1 ( 1) ( 1) 0
2
g1( x) -1 G1 ( ) 0
G2 (
)
H 2 ( )
1 2
(
1)
A exp j(k x x k y y kz z)
kx 2 k y 3 kz 4
k2 kx2 ky2 kz2 29
k 29 2
2 2 2 3 2 4
2 29
1
3 2
2
第二章
2.1单位振幅的平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试 求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。
A(
cos
,
cos
)
(
cos
cos
)
1 2
( cos
cos
)
1 4
( cos
1 3
,
cos
)
1 4
( cos
1 3
,
cos
)
1 (cos cos ) 1 (cos 1 , cos ) 1 (cos 1 , cos ) 2 4 3 4 3
j
f
( xx0 yy0 )dx0dy0
y0 x0
U(x, y) C U0( x0 , y0 ) exp j2 (x0 y0) dx0dy0
a
jca
exp
C j (
dx0
0
x0 exp
x0
j2 (
x0 y0 )
dy0
)asinc( )a exp j ( )sinc(
1.8应用卷积定理求 f (x) sinc(x)sinc(2x) 的傅里叶变换
解： sinc(x)sinc(2x) sinc(x) sinc(2x)
1 rect( ) rect( ) G( )
2
2
1
1
1 1
2
2
3 1
2
2
1
1 3
2
2
1 1
2
2
1
2
3 1
解： h( x) exp( x)step( x) exp( x) g(x) step( x) h( x) f ( x) h( x)
x0 x0
f (x)
1, x 0 0, 其它
h( x)
1
h( x )
ex , x 0 0, 其它
f (x)
1
x 01
x 0
（1）、将f (x)和h (x)变为f ()和h ()，并画出相应的曲线
0
32 6
当 0 x 1 如图
f ( )
相乘、积分得卷积
h( x )
1
g( x) x f ( )h( x )d
0x 1
1
x (1 )(1 x )d
1 1 x 1 x3 32 6
g( x)
1 1 x 1 x3 32 6 1 1 x 1 x3 32 6
1 x 0 0 x1
解：U ( x, y)
1
jz
exp
(
jkz)
exp
j
k 2z
(
x
2
y2 )
U0( x0 ,
y0 )exp
j
k 2z
(
x
2 0
y
2 0
)
e
xp
j
2 z
( xx0
yy0 )dx0dy0
x y0
U(0,0, z) 1 exp ( jkz)
jz
circ(
x02 a
y02
) exp
j
k 2z
in2
(
a 2 2z
)
a 2
a2
j
2
sin(
2
z
) cos (
2
z
)
e xp(
jkz)
a 2
j 2 sin(
2 z
)
j
a 2
sin(
2z
)
a 2
cos(
2 z
)
a2
a 2
a2
2
j
e
xp(
jkz)
sin(
2
z
)
j
sin(
2z
)
cos(
2
z
)
a 2
a 2
2 j exp ( jkz) sin( ) exp( j )
x1
2
2 x
2 x0
g( x) 2 x
0 x2
0
1 x 2
=2 1 x 2
0
其它 2 x0
0 x2 其它
g(x) 2 ( x ) 2
(3) comb( x) rect( x) ( x n) rect( x)
comb( x)
n
comb( x) rect( x)
rect( x)
1.9 设 f ( x) exp( x ), 0 求
f ( x)
f ( x)dx ?
解：F( )
0
exp( x)exp( j2 x)dx
exp( x)exp( j2 x)dx
0
2 2 (2 )2
f ( x) dx
2 2 (2 )2
0