2024-2025学年上海市复兴中学高一数学(上)10月考试卷附答案解析

2024-2025学年上海市复兴中学高一数学（上）10月考试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若a b >，0c <，则下列不等式成立的是（）
A.22
ac bc > B.
a b c c
> C.a c b c
+<+ D.a b c
>-2.已知全集，集合{|(2)0}A x x x =+<，{|||1}B x x =£，则如图所示的阴影部分表示的集合是（
）
A.(2,1)
- B.[1,0)[1,2)-⋃C.(2,1)[0,1]
-- D.[0,1]
3.方程220x ax a +-=在区间()0,1和()1,2各有一个根的充要条件是（）
A.()
,1a ∞∈-- B.4,13a ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝⎭
C .
4,03a ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
D.()
2,1a ∈--4.已知a ，b ，R c ∈，若关于x 不等式01a c
x b x x
≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，则（
）
A.不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=
B.存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=C .
有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211
x x -=D.存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=二、填空题：本题共10小题，共42分．
5.
已知集合R U =，{}
211A x x =-<，则A =______
6.已知集合{1,}A m =-，{
}2
1,B m
=，且A B =，则m 的值为________.
7.若{}
2
41,,24a a a ∈---，则实数a =______．
8.命题“,a b R ∈，若110a b -+-=，则1a b ==”用反证法证明时应假设为__________．9.若集合{}
2
310A x ax x =-+=的子集只有两个，则实数a =______．
10.设命题p ：集合{}20A x x =-≤≤，命题q ：集合{}
211B x a x a =+≤≤-，若p q ⇒，则实数a 的取值范围是______
11.设12x x 、是方程230x x +-=的两个实数根，则2
122020x x -+=_____________
12.设关于x 的方程|2||23|||(,)x x ax b a b R -+-=+∈解集为M ，关于x 的不等式(2)(23)0x x --≥的解集为N ，若集合M N =，则⋅=a b ________.
13.集合{}12,,,n A a a a =⋯，任取1,,,,i j j k i k i j k n a a A a a A a a A ≤<<≤+∈+∈+∈这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为________．
14.设R,Z a m ∈∈，若存在唯一的m 使得关于x 的不等式组211
22
x m x a -<<+有解，则a 的取值范围是______.
三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知集合{}
2A x x a =-<，集合2112x B x x ⎧⎫
-=<⎨⎬+⎩⎭
．（1）若2a =，求A B ；
（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围．
16.⑴当1x >时，求证：2211
x x x x
+
>+；⑵已知R x ∈，221,4,2a x x b x c x x =-+=-=-．试证明,,a b c 至少有一个不小于1．17.已知关于x 的不等式()
()()2
2
45110R k k x k x k --+++>∈的解集为M ．
（1）若1k =，求x 的取值范围；（2）若R M =，求实数k 的取值范围；
（3）是否存在实数k ，满足：“对于任意正整数n ，都有n M ∈；对于任意负整数m ，都有m M ∉”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．
18.记
121211
...,...k
k
t
k t k t t a
a a a a a a a ===+++=创å∏存在正整数n ，且2n ≥．若集合{}
12,,,n A a a a = 满足
1
1
n
n
t
t
t t a a ===å∏，则称集合A 为“谐调集”．
（1）分别判断集合{1,2}E =、集合{1,0,1}F =-是否为“谐调集”；
（2）已知实数x 、y ，若集合{,}x y 为“谐调集”，是否存在实数z 满足2z xy =，并且使得{,,}x y z 为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由；
（3）若有限集M 为“谐调集”，且集合M 中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M ．
2024-2025学年复兴中学高一数学（上）10月考试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若a b >，0c <，则下列不等式成立的是（）
A.22ac bc >
B.
a b
c c
> C.a c b c
+<+ D.a b c
>-【答案】A
根据不等式的性质求解
【详解】对于A.20c >，a b >，则22ac bc >，成立对于B.
10c <，a b >，a b c c
<；对于C.a b >，a c b c +>+；
对于D.若1,0,2a b c ===-，则不成立故选A.
2.已知全集，集合{|(2)0}A x x x =+<，{|||1}B x x =£，则如图所示的阴影部分表示的集合是（
）
A.(2,1)
- B.[1,0)[1,2)-⋃C.(2,1)[0,1]-- D.[0,1]
【答案】C 【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再解绝对值不等式求出集合B ，阴影部分表示的集合为
()A B A B ⋃ ð，根据交集、并集、补集的定义计算可得；
【详解】解：由(2)0x x +<，解得20x -<<，所以}{|(2)0{|20}A x x x x x <-=<<+=，又{|||1}{|11}B x x x x =-≤≤=≤，所以(2,1]A B =- ，[1,0)A B =- ，所以阴影部分表示的集合为()(2,1)[0,1]A B A B ⋃=-- ð，故选：C.
3.方程220x ax a +-=在区间()0,1和()1,2各有一个根的充要条件是（）
A.()
,1a ∞∈-- B.4,13a ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝⎭
C.4,03a ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
D.()
2,1a ∈--【答案】B 【解析】
【分析】令()2
2f x x ax a =+-，利用零点存在性定理，建立参数a 所满足的不等式，解不等式，即得
参数的取值范围.
【详解】因为一元二次方程220x ax a +-=在区间()0,1和()1,2各有一个根，
令()2
2f x x ax a =+-，则由题意可得()()()00
11202440f a f a a f a a ⎧=->⎪=+-<⎨⎪=+->⎩，即0143a a a ⎧
⎪<⎪<-⎨⎪⎪>-
⎩
，解得413m -<<-，
则方程220x ax a +-=在区间()0,1和()1,2各有一个根的充要条件是4,13a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭
.故选：B.
4.已知a ，b ，R c ∈，若关于x 不等式01a c
x b x x
≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，则（
）
A.不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=
B.存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=
C.有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=
D.存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=【答案】D 【解析】
【分析】根据1>0x ，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．【详解】由题意不等式20x bx a c x ≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，
即220
x bx a x bx a c x
⎧++≥⎨++≤-⎩的解集是[]{}123,x x x ⋃，则不等式20x bx a ++≥的解是{|x 2x x ≤或3x x ≥}，不等式2x bx a c x ++≤-的解集是
13{|}x x x x ≤≤，
设1x m =，21x m =+，3x n =(1)m n +<，所以0c n -=，n c =，
1m +和n 是方程20x bx a ++=的两根，
则11b m n m c -=++=++，(1)a m n mc c =+=+，又22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-，所以m 是2x bx a c x ++=-的一根，所以存在无数对(,,)a b c ，使得211x x -=．故选：D ．
【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．
二、填空题：本题共10小题，共42分．
5.已知集合R U =，{}
211A x x =-<，则A =______【答案】(][),01,-∞+∞ 【解析】
【分析】先解不等式，对集合A 进行化简，再求出集合A 的补集.【详解】211x -<即1211x -<-<解得01x <<，故{}
01A x x =<<，又R U =，
所以(][),01,=-∞+∞ A .故答案为：(][),01,-∞+∞ 6.已知集合{1,}A m =-，{
}2
1,B m =，且A B =，则m 的值为________.
【答案】0【解析】
【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求m 的值即可.【详解】解：因为{1,}A m =-，{
}2
1,B m
=，A B =，
所以2211m m m m ⎧-=⎪
-≠⎨⎪≠⎩
，解得0m =，
故答案为：0
【点睛】本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.7.若{}
2
41,,24a a a ∈---，则实数a =______．
【答案】2-【解析】
【分析】根据元素与集合的关系求解，利用集合中元素的互异性验证．【详解】当4a =时，2244a a --=，不满足元素的互异性，舍去.当2244a a --=时，解得2a =-或4，
当4a =时，不符合题意，
当2a =-时，集合为{1,2,4}--，符合题意,所以2a =-．故答案为：2-．
8.命题“,a b R ∈，若110a b -+-=，则1a b ==”用反证法证明时应假设为__________．【答案】1,1a b ≠≠或.【解析】
【详解】分析：利用1a b ==的否定为,a b 不都等于1，从而可得结果.
详解：考虑1a b ==的否定，由于,a b 都等于1，故否定为,a b 不都等于1，故答案为1a ≠或1b ≠.点睛：反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．
9.若集合{}
2
310A x ax x =-+=的子集只有两个，则实数a =______．
【答案】0或9
4
【解析】
【分析】根据题意知道A 有一个元素，然后讨论a 是否为0，然后得出a 的值即可．【详解】A 的子集只有两个，A ∴有一个元素，①0a =时，13A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
，满足题意；②0a ≠时，940a ∆=-=，解得94
a =
，0a ∴=或9
4
．
故答案为：0或
94
．10.设命题p ：集合{}20A x x =-≤≤，命题q ：集合{}
211B x a x a =+≤≤-，若p q ⇒，则实数a 的取值范围是______【答案】32
a ≤-【解析】
【分析】根据题意，由条件可得命题p 是命题q 的充分条件，列出不等式，即可得到结果.
【详解】因为p q ⇒，则命题p 是命题q 的充分条件，则21210
a a +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3
2a ≤-，即实数a 的取值
范围是3
2
a ≤-
.故答案为：32
a ≤-
11.设12x x 、是方程230x x +-=的两个实数根，则2
122020x x -+=_____________【答案】2024【解析】
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求出12x x +，再将2
122020x x -+转化后求出．
【详解】1x ，2x 是方程230x x +-=的两个根，
121x x ∴+=-，123x x =-，
又2
1130x x +-=，
2113x x ∴=-，
21212122020320202023()2024
x x x x x x ∴-+=--+=-+=故答案为：2024
12.设关于x 的方程|2||23|||(,)x x ax b a b R -+-=+∈解集为M ，关于x 的不等式(2)(23)0x x --≥的解集为N ，若集合M N =，则⋅=a b ________.【答案】15-【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合绝对值的性质进行求解即可.
【详解】由(2)(23)02x x x --≥⇒≥或 1.5≤x ，所以{
2M N x x ==≥或}1.5x ≤，
当2x ≥时，由|2||23|||x x ax b -+-=+，可得||22335ax b x x x +=-+-=-，当 1.5≤x 时，由|2||23|||x x ax b -+-=+，可得||22335ax b x x x +=-+-+=-+，因此有|35|||x ax b -=+，
当3,5a b ==-时，3(5)15a b ⋅=⨯-=-；
当3,5a b =-=时，3515a b ⋅=-⨯=-，故答案为：15
-13.集合{}12,,,n A a a a =⋯，任取1,,,,i j j k i k i j k n a a A a a A a a A ≤<<≤+∈+∈+∈这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为________．【答案】7【解析】
【分析】假设12n a a a >>⋯>且集合A 有4个正项1234{,,,}a a a a ，结合已知条件得到矛盾，即可确定集合A 中正项的个数，同理推出负项个数，即可确定n 的最大值.
【详解】不妨假设12,n a a a >>⋯>若集合A 中的正数个数大于等于4，故1234,,,a a a a 为正项，则23a a +和24a a +均大于2,a 于是有23241,a a a a a +=+=从而34,a a =矛盾！
所以集合A 中至多有3个正数，同理集合A 中最多有3个负数，取{}3,2,1,0,1,2,3A =---，满足题意，所以n 的最大值为7．故答案为：7
14.设R,Z a m ∈∈，若存在唯一的m 使得关于x 的不等式组211
22
x m x a -<<+有解，则a 的取值范围是______.
【答案】(1,1--【解析】
【分析】根据给定条件，确定m 的最小值，再由函数不等式有解得当0m =时不等式组有解，当1m =时不等式组无解，求出a 的范围作答.【详解】依题意，
2111222x -≥-，由不等式21122x m -<有解知，1
2
m >-，而m ∈Z ，因此N m ∈，因存在唯一的m 使得关于x 的不等式组211
22x m x a -<<+有解，则当且仅当0m =时，不等式组211022x x a -<<+有解，且当1m =时不等式组211
122
x x a -<<+无
解，
由211
022x x a -<<+有解得11x x a -<<⎧⎨>-⎩
有解，于是得<1a -，解得1>-a ，
由211122x x a -<<+无解得1x x a ⎧<<⎪⎨>-⎪⎩1a -≥1a ≤
11a -<≤，
所以a 的取值范围是(1,1--.
故答案为：(1,1--【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义区间为D ，若x D ∃∈，使得()m f x <成立，则max ()m f x <；若x D ∃∈，使得()m f x >成立，则min ()m f x >.
三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.已知集合{}
2A x x a =-<，集合2112x B x
x ⎧⎫
-=<⎨⎬+⎩⎭
．（1）若2a =，求A B ；
（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}
24x x -<<（2）
(]
,1-∞【解析】
【分析】（1）当2a =时，化简集合A ，集合B ，再根据集合的并集运算可得解；（2）A B A = 即A B ⊆，抓住集合A 是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解.【小问1详解】
若2a =，由22x -<，解得04x <<，则{}
04A x x =<<，又
21
12x x -<+，即302
x x -<+等价于()()023x x +-<，解得23x -<<，则{}
23B x x =-<<，
{}24A B x x ∴⋃=-<<.
【小问2详解】
由A B A = 等价于A B ⊆，
当0a ≤时，集合A =∅，符合A B ⊆；
当0a >时，由2x a -<，解得22a x a -<<+，即{}22A x a x a =-<<+，又{}23B x x =-<<，
22
23a a -≥-⎧∴⎨+≤⎩，解得01a <≤，
综上，实数a 的取值范围是(],1-∞.
16.⑴当1x >时，求证：221
1
x x x x +>+；
⑵已知R x ∈，221,4,2a x x b x c x x =-+=-=-．试证明,,a b c 至少有一个不小于1．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：⑴由2
222211(1)(1)
()x x x x x x x x -+++-+=，
当1x >时，可得222(1)0,0,10x x x x ->>++>，即可证明结论；
⑵可用反证法：假设,,a b c 都小于1，即1,1,1a b c <<<，可得3a b c ++<，
进而22(1)33a b c x ++=-+≥，即可得到矛盾，即可作出证明．
试题解析：⑴()()22
222
1111x x x x x x x x -++⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭∵>1∴()22210,0,10
x x x x ->>++>∴221
1
x x x x
+>+⑵假设s s 都小于1，即1,1,1
a b c <<<则有3a b c ++<①
而()222452133a b c x x x ++=-+=-+≥②
①与②矛盾
故s s 至少有一个不小于1．
17.已知关于x 的不等式()
()()2245110R k k x k x k --+++>∈的解集为M ．（1）若1k =，求x 的取值范围；
（2）若R M =，求实数k 的取值范围；
（3）是否存在实数k ，满足：“对于任意正整数n ，都有n M ∈；对于任意负整数m ，都有m M ∉”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）1142x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
（2）(]()
,17,-∞-+∞ （3）存在，5
k =【解析】【分析】（1）直接求解不等式，即可得到结果.
（2）讨论二次项系数2230k k --=及不为0时，求出原不等式的解集为R 时k 的取值范围．
（3）根据题意得出解集M ，讨论245k k --的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可．
【小问1详解】
当1k =时，不等式为22810x x -+>+，即()()41210x x +-<，解得1142x -
<<，即x 的取值范围为1142x x ⎧
⎫-<<⎨⎩⎭
.【小问2详解】
当2450k k --=时，解得5k =，或1k =-，
①当1k =-时，不等式化为10>，1k ∴=-时，解集为R ；
②当5k =时，不等式化为610x +>，对任意实数x 不等式不成立；
③当()()
22245014450k k k k k ⎧-->⎪⎨∆=+---<⎪⎩时，可得()()()(),15,,17,k k ∞∞∞∞⎧∈--⋃+⎪⎨∈--⋃+⎪⎩，则k 的取值范围为()(),17,k ∈-∞-+∞ ；
综上所述，实数k 的取值范围为(](),17,-∞-+∞ .
【小问3详解】
根据题意，得出解集(,)M t =+∞，[)1,1t ∈-，
当2450k k --=时，解得5k =，或1k =-，
5k =时，不等式的解集为1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
，满足条件，1k =-时，10>恒成立，不满足条件，
当2450k k -->时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是(,)t ∞+的形式，不满足条件，当2450k k --<时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是(,)t ∞+的形式，不满足条件，综上，存在满足条件k 的值为5．
18.记12121
1...,...k k t k t k t t a
a a a a a a a ===+++=创å∏存在正整数n ，且2n ≥．若集合{}12,,,n A a a a = 满足11n n
t t t t a a ===å∏，则称集合A 为“谐调集”．
（1）分别判断集合{1,2}E =、集合{1,0,1}F =-是否为“谐调集”；
（2）已知实数x 、y ，若集合{,}x y 为“谐调集”，是否存在实数z 满足2z xy =，并且使得{,,}x y z 为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由；
（3）若有限集M 为“谐调集”，且集合M 中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M ．
【答案】（1）E 不是，F 是
（2）不存在，理由见解析
（3）{1,2,3}
【解析】
【分析】（1）根据新定义计算即可判断；
（2）若存在符合题意的实数z ，根据题意可得,,x y z 的关系式，求解z 后，检验,x y ，即可判断；
（3）不妨设A 中所有元素满足12n a a a <<<，从而可得1212n n a a a a a a ⋅=+++ ，进而可得121n a a a n -⋅< ，再分234n n n ==≥、、三种情况求解即可．
【小问1详解】
∵1212⨯≠+，
∴E 不是“谐调集”，
∵(1)01(1)01-⨯⨯=-++，
∴F 是“谐调集”.
【小问2详解】
若存在符合题意的实数z ，则2z xy
x y xy x y z xyz
⎧
=⎪+=⎨⎪++=⎩，
∴23z z z +=，即()210z z z --=，解得0z =
或12z =
或12z +=，
当0z =时，则0,0x y ==，不符合题意.
当12z =
时，33,22x y xy --+==，
由此，x 、y
是方程233022t --+=的实数解．
但2335
Δ40222⎛⎛--=-
=<
⎝⎝⎭⎭，方程无实数解，所以不符合题意.同理，当15
2z +=时，不符合题意，
综上，不存在符合题意的实数z .
【小问3详解】
不妨设A 中所有元素满足12n a a a <<<，
则1212n n a a a a a a ⨯⨯⨯=+++ ，于是，1121211111n n n n n
a a
a a a a n a a a -
-⨯⨯⨯=++++<+++= ，
即112n a a n a -⨯⨯⨯< ，
当2n =时，则12a <，
∴11a =，但2211a a ⋅=+无解，所以不存在符合题意的“谐调集”，
当3n =时，则123a a <，
∴1233
1,2,1212a a a a ==创=++
∴33a =，
当4n ≥时，
∵12,,,n a a a 均为正整数，
∴121,2,,n a a a n 吵 ，
∴12112(1)(2)(1)n a a a n n n -⨯⨯⨯≥⨯⨯⨯-≥-- ，
又∵121n n a a a ->⨯⨯⨯ ，
∴(2)(1)n n n >--即2420n n -+<，
但当4n ≥时，242(4)20n n n n -+=-+>，矛盾．
所以不存在符合题意的“谐调集”
综上，符合题意的“谐调集”为{1,2,3}．
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。