2021年高考数学大二轮复习专题六解析几何6.3圆锥曲线的综合问题练习

6.3 圆锥曲线的综合问题
【课时作业】
A 级
1．抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，且|MF |＝2|NF |，那么直线l 的斜率为( )
A ．± 2
B ．±2 2
C ．±
2
2
D ．±
24
解析： 依题意得F (1,0)．设直线MN
的方程为x ＝my ⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋1，
y 2
＝4x 消去x 并整理，
得y 2
－4myM (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4①.因为|MF |＝2|NF |，所以y 1＝－2y 2②.联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±
2
4
，所以直线l 的斜率是±2 2.应选B. 答案： B
2．(2021·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2
3－y 2
＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直
线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .假设△OMN 为直角三角形，那么|MN |＝( )
A.32 B ．3 C ．2 3
D ．4
解析： 由得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±
13
x .
设两渐近线夹角为2α，那么有tan α＝13
＝
3
3
，所以α＝30°. 所以∠MON ＝2α＝60°.
又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如下图． 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，那么|ON |＝ 3.
那么在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3. 应选B. 答案： B
3．(2021·益阳市，湘潭市调研试卷)圆C 1：x 2
＋(y －2)2
＝4，抛物线C 2：y 2
＝2px (p >0)，
C 1与C 2相交于A ，B 两点，|AB |＝
85
5
，那么抛物线C 2的方程为________________． 解析： 由题意，知圆C 1与抛物线C 2的其中一个交点为原点，不妨记为B ，设A (m ，n )．∵
|AB |＝855
，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
m 2＋n 2＝855，
m 2＋n －22＝4，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝8
5，n ＝16
5，
即A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫85，165.将A 的坐标代入抛物线方
程得⎝ ⎛⎭
⎪⎫1652＝2p ×85，∴p ＝165，∴抛物线C 2的方程为y 2
＝325x .
答案： y 2
＝325
x
4．点A 在椭圆x 225＋y 2
9＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)·OA →(λ∈R )(O 是坐标原点)，且OA →·OP
→
＝72，那么线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．
解析： 因为AP →＝(λ－1)OA →
，
所以OP →＝λOA →，即O ，A ，P 三点共线，因为OA →·OP →
＝72， 所以OA →·OP →＝λ|OA →|2
＝72，
设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP →
||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA →|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋
9|x |≤
72
2
16×925
＝15， 当且仅当|x |＝15
4时取等号．
答案： 15
5．椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32且与双曲线C 2：x 2b 2－y 2
b 2＋1
＝1有共同焦点．
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)在椭圆C 1落在第一象限的图象上任取一点作C 1的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小值．
解析： (1)由e ＝
32，可得：c a ＝3
2
， 即c 2a 2＝34，所以a 2－b 2a 2＝34
，a 2＝4b 2
，① 又因为c 2
＝2b 2
＋1，即a 2
－b 2
＝2b 2
＋1，② 联立①②解得：a 2
＝4，b 2
＝1， 所以椭圆C 1的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)因为l 与椭圆C 1相切于第一象限内的一点， 所以直线l 的斜率必存在且为负， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2
4
＋y 2
＝1.消去y 整理可得：
⎝ ⎛⎭
⎪⎫k 2＋14x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，③
依题意可得方程③只有一实根，
所以Δ＝(2km )2
－4⎝
⎛⎭⎪⎫k 2＋14(m 2－1)＝0，
整理可得：m 2
＝4k 2
＋1， ④
因为直线l 与两坐标轴的交点分别为⎝
⎛⎭
⎪⎫－m
k
，0，(0，m )且k <0，所以l 与坐标轴围成的
三角形的面积S ＝12·m
2
－k
，⑤
把④代入⑤可得：S ＝(－2k )＋1－2k ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当k ＝－12时取等号. 即三角形面积最小值为2.
6．(2021·北京卷)抛物线C ：y 2
＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .
(1)求直线l 的斜率的取值范围；
(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →
，求证：1λ＋1μ
为定值．
解析： (1)因为抛物线y 2
＝2px 过点(1,2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2
＝4x .
由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
＝4x ，y ＝kx ＋1，
得k 2x 2
＋(2k －4)x ＋1＝0.
依题意Δ＝(2k －4)2
－4×k 2
×1>0， 解得k <0或0<k <1.
又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)． 从而k ≠－3.
所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．
(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1
k
2.
直线PA 的方程为y －2＝
y 1－2
x 1－1
(x －1)． 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1
x 1－1＋2.
同理得点N 的纵坐标为y N ＝
－kx 2＋1
x 2－1
＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →
，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N
＝x 1－1k －1x 1＋x 2－1
k －1x 2
＝
1k －1·2x 1x 2－x 1＋x 2
x 1x 2
＝1k －1
·2
k 2
＋
2k －4
k 2
1
k 2
＝2.
所以1λ＋1
μ
为定值．
B 级
1．(2021·南昌市摸底调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2
，短轴长为2.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，假设k OM ·k ON ＝5
4，求
原点O 到直线l 的距离的取值范围．
解析： (1)由题知e ＝c a ＝32
，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2
， ∴b ＝1，a ＝2，
∴椭圆C 的标准方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2
4
＋y 2
＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m
2
－4＝0，
依题意，Δ＝(8km )2
－4(4k 2
＋1)(4m 2
－4)>0， 化简得m 2
<4k 2
＋1，①
x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2
－4
4k 2＋1
，
y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，
假设k OM ·k ON ＝54，那么y 1y 2x 1x 2＝5
4，即4y 1y 2＝5x 1x 2，
∴4k 2
x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2
＝5x 1x 2， ∴(4k 2－5)·
4
m 2－14k 2
＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2
＝0， 即(4k 2
－5)(m 2
－1)－8k 2m 2
＋m 2
(4k 2
＋1)＝0， 化简得m 2＋k 2
＝54，②
由①②得0≤m 2<6
5，120<k 2≤54，
∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k
2
，
∴d 2
＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋
9
41＋k
2
， 又120<k 2≤54
， ∴0≤d 2<8
7，∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.
2．F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →
.
(1)求动点P 的轨迹G 的方程；
(2)点F 关于原点的对称点为M ，过点F 的直线与G 交于A ，B 两点，且AB 不垂直于x 轴，直线AM 交曲线G 于点C ，直线BM 交曲线G 于点D .
①证明直线AB 与直线CD 的倾斜角互补；
②直线CD 是否经过定点？假设经过定点，求出这个定点，否那么，说明理由． 解析： (1)设点P (x ，y )，那么Q (－1，y )， 由F (1,0)及QP →·QF →＝FP →·FQ →
，得
(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )， 化简得y 2
＝4x ，所以动点P 的轨迹G 的方程为y 2
＝4x .
(2)由题易知点F 关于原点的对称点为M (－1,0)， 设过点F 的直线AB 的方程为x ＝ny ＋1(n ≠0)，
联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ny ＋1，
y 2
＝4x
消去x ，得y 2
－4ny －4＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么y 1y 2＝－4. 设直线AM 的方程为x ＝my －1， 联立方程得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝my －1，y 2
＝4x
消去x ，得y 2
－4my ＋4＝0，
设C (x 3，y 3)，那么y 1y 3＝4，即y 3＝4
y 1
，
易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21，4y 1，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2
24，y 2，D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4y 22，4y 2. ①∵k AB ＝y 1－y 2y 214－y 224＝4y 1＋y 2，k CD ＝4
y 1－
4
y 24y 21
－4y 22＝y 1y 2y 1＋y 2＝－4y 1＋y 2，
∴k AB ＋k CD ＝0，
设直线AB ，CD 的倾斜角分别为α，β，那么tan α＝tan (π－β)， 又0<α<π，0<β<π，且α，β≠π
2，
∴α＝π－β，即α＋β＝π. ∴直线AB 与直线CD 的倾斜角互补． ②易知直线CD 的方程y ＝－
4y 1＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4y 21＋4y 1
， 令y ＝0，得x ＝y 1＋y 2y 1＋4y 21＝y 21＋y 1y 2＋4y 2
1＝y 21
y 21
＝1， ∴直线CD 过定点(1,0)．。