举一反三六年级数学上册第一单元《分数乘法》(2)期末重难点题型人教版

学霸笔记：20212022学年六年级数学上册举一反三系列（人教版）六上第一单元《分数乘法》（2）重难点题型（解析版）
【题型8 倍增问题】
【例8】瓶子中装有一种孢子，每小时分裂一次，体积增大一倍，如果最初孢子的体积占瓶子的3
32
，3小时后孢子的体积占瓶子的几分之几？
解：3
32×2×2×2=3
4。

答：3小时后包子的体积占瓶子的3
4。

点拨：小时分裂一次，体积增大一倍，则增大后的体积是原来的2倍，3小时则增加了2×2×2=8倍，用乘法计算即可。

【变式81】一块冰，每1小时失去质量的一半，8小时后其质量为5
16
kg，那么一开始这块冰
的质量是多少？ 解：
516
×2×2×2×2×2×2×2×2=80（千克）。

答：一开始这块冰的质量是80千克。

点拨：抓住最后的质量是5
16千克，是第八小时之前的质量的一半，则第八个小时之前的质量就是5
16×2=5
8（千克），这又是第七小时之前的质量的一半，所以第七小时之前的质量是5
8×2=5
4（千克），依此类推，即可得出冰块最初的质量。

【变式82】一种水草,每天都比前一天多长一倍，21天长满水池，多少天长满水池的1
2?
解：
211=20（天）， 答：20天长满水池的1
2。

【变式83】把一张长方形纸对折后，每份是这张长方形纸的几分之几？把这张长方形纸 再对折两次后，每份是这张长方形纸的几分之几？ 解：
（1）1÷2=1
2，
答：对折一次后，每份是这张长方形纸的1
2。

（2）1
2×1
2×12=1
8。

答：再对折两次后，每份是这张长方形纸的1
8。

点拨：将把一张长方形纸对折后，则将这张纸平均分成两份，根据分数的意义可知，每份占这张长方形纸的1÷2=1
2，由于每次对折，都是将对折前的纸平均分成2份，所以对折两次后，每份占这张长方形纸的：1
2×1
2×12=1
8。

【题型9 已知单位“1”用乘法】
【例9】小明看一本750页的书，第一天看了15 ，第二天看了2
5，第三天应该从第几页看起？ 解：
750×（15 + 2
5） =750×3
5 =450（页）， 450+1=451（页）。

答：第三天应该从451页看起。

点拨：易把450页当成正确答案。

【变式91】小明读一本故事书，5天正好读了这本书的2
3，第6天从第31页读，小明平均每天读这本书的几分之几，这本书一共有多少页？ 解：
2
3
÷5=2
15， （311）÷2
3 =30÷2
3 =45（页）。

答：小明平均每天读这本书的2
15，这本书一共有 45页。

点拨：5天正好读了这本书的2
3，则平均每天读这本书的2
3÷5，第6天从第31页读，即前五天共读了301=30页，根据分数除法的意义，这本书共有（311）÷2
3页。

【变式92】64千克比 轻1
5， 米比24米长1
3。

解： ①64÷（11
5） =64÷4
5
=64÷0.8
=80（千克）；
答：64千克把80千克轻1
5。

②24×（1+1
3
）
=24×1
3
=32（米）；
答：32米比24米长1
3。

故答案为：80千克；32。

点拨：①把要求的数量看作单位“1”，64千克相当于要求数量的（11
5
），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法解答；②把24米看作单位“1”，要求的数量相当于24米的（1+），根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。

【变式93】一个长方形的长和宽各增加1
10
，它的面积将增加百分之几？
解：
设长方形的长为a，宽为b
[a×（1+1
10）×b×（1+1
10
）ab]÷ab
=0.21ab÷ab
=0.21
=21
100。

答：它的面积将增加21%。

点拨：本题用字母表示数的方法，根据长方形面积=长×宽，求比一个数多百分之几，用这个数×（1+百分之几），求出增加面积，再根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算，即可求出它的面积将增加百分之几。

【题型10 “一刀两段”】
分钟，照这样计算，锯成5段需要多少分钟？
【例10】明明把一根木头锯成2段用3
5
解：
3
÷（21）×（51）
5
=3
×4
5
（分）。

=12
5
答：照这样计算，锯成5段需要12
分钟。

5
点拨：“照这样计算”说明每次锯木头的时间相同，锯成2段需要锯1次，那么每次就需要3
5（分钟）；锯成5段，需要锯（41）次，再用每次的时间乘上锯的次数即可。

÷1=3
5
分钟，照这样计算，它从五楼爬到十楼需要【变式101】光头强爬楼梯，从一楼爬到二楼用6
7
多少分钟？
解：
6
÷（21）×（105）
7
×5
=6
7
（分）。

=30
7
分钟。

答：照这样计算，锯成5段需要30
7
【变式102】时钟2点钟敲2下，8
秒敲完；5点钟敲5下，几秒敲完？
9
解：
8
÷（21）×（51）
9
=8
×4
9
（秒）。

=32
9
点拨：时间间隔数=敲钟的下数1；敲2下，经过的时间间隔是：21=1（个），共用了8
9秒钟，那么敲一次用：8
9÷1=8
9（秒）；5点敲了5下，经过的时间间隔是：51=4（个），共用了4个8
9秒，据此列式计算。

【变式103】有一根木头长2米，要把它锯成1
2米长的小段，每锯1次要5
6分钟，锯完一段休息15
16分钟，全部锯完要用几分钟？ 解：
共锯：2÷1
2=4（段）， 需要锯41=3（次）， 中间一共需要休息3次， 所以所需时间：
5
6
×3+1516×3=52+4516=85
16（分钟）。

答：全部锯完要用85
16分钟。

【题型11 逆推还原】
【例11】老妇卖鸡蛋，有趣又大方，见人卖一半，还送半盒蛋，见了4个人，卖光箱中蛋，请问箱中蛋几盒？ 解：
0.5×2=1（盒）， （1+0.5）×2=3（盒）， （3+0.5）×2=7（盒）， （7+0.5）×2=15（盒）。

答：箱中有鸡蛋15盒。

点拨：遇到最后一个人，卖了一半，送了半盒，刚好卖完，所以最后一个人得到的是：0.5×2=1（盒）蛋；遇到第三个人，卖了一半，送了半盒，（1+0.5）×2=3（盒）；遇到第二个人，卖了一半，送了半盒，（3+0.5）×2=7（盒）；遇到第一个人，卖了一半，送了半盒，
（7+0.5）×2=15（盒）；所以箱子中有蛋15盒。

【变式111】小红与爸爸集邮，爸爸集了100张，如果爸爸取出其中的1
10
给小红，则小红的
邮票正好是爸爸的1
2
，小红原来有多少张邮票？
解：
100×1
10
=10（张），
10010=90（张），
90×1
2
−10=35（张）。

答：小红原来有35张邮票。

【变式112】教室里有甲、乙两盒粉笔，甲盒有40根粉笔，如果拿出它的1
10
放入乙盒，此时
乙盒中的粉笔数还比甲盒少1
9
，乙盒原来有粉笔多少根？
解：
甲盒粉笔的1
10
：
40×1
10
=4（根），
甲盒剩余：
404=36（根），
此时，乙盒粉笔：
40 36×1
9 36×1
9
=28（根）。

答：乙盒原来有粉笔28根。

点拨：先求出从甲盒拿出粉笔的根数，然后求出甲盒中剩下的根数；以现在甲盒中的根数为单位“1”，用甲盒现在的根数乘1
9
求出比甲盒少的根数；然后用现在甲盒的根数减去比甲盒少的根数，再减去从甲盒拿出的根数即可求出乙盒原有粉笔的根数。

【变式113】将小明奶奶今年的年龄依次减去15并乘14，再加上4后除以1
5，恰好是100岁.小明奶奶今年多少岁？ 解：
100×1
5=20（岁）, 204=16（岁）, 16÷14=64（岁）, 64+15=79（岁）。

答：小明的奶奶今年79岁。

点拨：倒推时，原先的除（乘）法变为乘（除）法，加（减）法变为减（加）法，故先用100乘1
5，再减去4；接下来要用求出的差再除以1
4，最后用所求的商加上15就是奶奶今年的年龄，据此解答即可。

【题型12 填写最大或最小数（分数基本性质的应用）】 【例12】（ ）里填上一个自然数，最小可以填几？ 2×（ ）38
＞1839。

解法1：
因为2×（ ）38
＞18
39，所以（ ）＞18
39÷2
38=18
39×38
2=810
13，
故，（ ）中最小可以填9。

解法2：
因为2×（ ）38
＞18
39，
所以2×（ 9 ）38
=1838＞18
39，
故，（ ）中最小可以填9。

点拨：解法1，利用除法的性质解答；解法2，利用分子相同时，分母小的，分数值大。

【变式121】在（ ）里填上一个自然数，最小可以填几？
（ ）28
×3＞15
29，
解：
因为（ ）28
×3＞15
29，
所以（ ）28
＞5
29，
故，（ ）里最小填5。

【变式132】（ ）里最大可以填自然数几？ （1）5
12×18＜32
（ ）， （2）（ ）6
×9＜31
4。

解：
（1）5
12×18＜32
（ ）， 7.5=15
2
＜32（ ），
故，（ ）里最大填4。

（2）（ ）6
×9＜31
4，
（ ）2×3＜31
4， （ ）
4
×6＜31
4，
故，（ ）里最大填5。

答案：4，5。

【变式123】
（1）在（ ）里填上一个自然数最小可以填几？ 21×5
14＞37
（ ）
（2）在（ ）里填上一个自然数最小可以填几？ 21×5
14＜37
（ ）。

解：（1）因为21×5
14＞37
（ ）， 3×5
2＞37
（ ）， 7.5=15
2
＞37
（ ），
故，（ ）里最小填5。

答案：5。

（2）因为21×514＜37
（ ）， 3×52＜37
（ ）， 7.5=15
2
＜37
（ ），
故，（ ）里最大填4。

答案：4。

【题型13 真分数、假分数性质的应用】
【例13】判断题：真分数乘以真分数，积一定是真分数，真分数乘以假分数，积一定是假分数。

（ × ） 解：
因为真分数＜1，
所以真分数乘以真分数，积一定是真分数； 因为真分数＜1，
所以真分数乘以假分数，积一定小于原来的假分数，乘积不一定是假分数． 故答案为：×。

点拨：一个数（0 除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0 除外）乘小于1的数，积比原来的数小。

【变式131】a 、b 都是非零自然数，a ×b
16＜a ，a ×b
14＞a ，求b 的值。

解：
因为a ×b 16＜a ，所以b 16＜1，则b ＜16，
同理，a ×b 14＞a ，b 14＞1，b ＞14；
所以，b=15。

答：b 的值为15。

点拨：一个数乘小于1的数，结果小于它本身；一个数乘大于1的数，结果大于它本身；一个数乘等于1的数，结果等于它本身。

【变式132】下列算式中m 表示一个不为0的自然数，那么结果最大的是（ ）。

A.m ÷54
B.34×m
C.m ÷34
解：
选项A ，m ÷54＜m ，
选项B ，34×m ＜m ，
选项C ，m ÷34＞m 。

故选：C 。

点拨：m 为一个非零的自然数乘则m ≥1，所以m 乘以一个小于1的数，积一定小于m ；除以一个小于1的数，商一定大于m ，据此分项各项进行比较即可。

【变式133】m ，n 是非0自然数，m ×n 25＜m ，m ×n 22＞m ，求n 的值。

解：
因为m ×n 25＜m ，所以n 25＜1，则n ＜25，
同理，m ×n 22＞m ，n 22＞1，n ＞22；
所以，n=23或24。

答：n 的值为23或24。

【题型14 连乘的应用】
【例14】人体的血液占人体总体重的113，而血液中的水占血液重量的23。

如果小明的体重是78千克，那么，他的血液中大约含有水多少千克？
解：
78×113×23， =6×23，
=4（千克），
答：他的血液大约含水4千克。

点拨：把全身体重看作单位“1”，先用78×113，计算出体内血液的重量；把血液的重量看作单位“1”，再用血液的重量乘23，就是含水的重量。

【变式141】甲数是乙数的67，乙数是丙数的58，丙数是丁数的12。

甲数是丁数的几分之几？ 解：
12×58×67
=516×6
7
=1556
答：甲数是丁数的1556。

点拨：首先要把丁数看作单位“1”，易得丙数，再根据乙数是丙数的58，把丙数看作单位“1”，即可得到乙数是12的58；接下来根据甲数是乙数的67，把乙数看作单位“1”，从而用乘法表示出甲数，接下来利用分数乘分数的运算方法进行计算，问题即可解答。

【变式142】一个篮球的价钱是120元，一个排球的价钱是一个篮球价钱的45，一个足球的价钱是一个排球价钱的78，一个足球的价钱是多少元？
解：
120×45×78
=96×7
8
=84（元）。

答：一个足球84元。

点拨：4
5
的单位“1”是篮球的价钱，即120元；根据一个数乘以分数的意义，即可求出排球
的价钱；7
8
的单位“1”是排球的价钱；根据一个数乘以分数的意义，即可求出足球的单价。

【变式143】在一个集装箱内装有20吨货物，货物总量的5
12
是服装。

在服装类货物中童装又
占了3
8。

这个集装箱装运的童装有多少吨？
解：
20×5
12×3
8
=25
8
（吨）。

答：这个集装箱运的童装有25
8
吨。

【题型15 等式中两字母取值大小比较】
【例15】已知a、b是两个不为0的整数，其中a×12
13=b×5
6
，比较a、b两个数的大小。

解法1：
因为a、b是三个不为0的整数，且a×12
13=b×5
6
，
因为12
13＞5
6
，
所以a＜b。

点拨：12
13、5
6
大小比较的两种技巧：一是利用分数定义，直接进行比较；二是进行转化，即
12 13=11
13
，5
6
=11
6
，通过比较1
13
、1
6
的大小，得两个分数大小关系。

解法2：
令a×12
13=b×5
6
=1，
则a=13
12，b=6
5
，
所以a ＜b 。

点拨：取特殊值法。

【变式151】甲数的79等于乙数的78（甲、乙两数都不等于0），那么甲、乙两数相比较，甲数（ ）乙数。

A.大于
B.小于
C.等于
D.不能确定
解：
甲数的79等于乙数的78，即甲数×79=乙数×78，
因为79＜78
所以甲数＞乙数。

故选A 。

【变式152】已知A ×73=1112×B=1515×C ，并且A 、B 、C 都不等于0，把A 、B 、C 这三个数按从小到大的顺序排列并说明理由。

解：
已知A ×73=1112×B=1515×C ，
因为73＞1515＞1112，
所以A ＜C ＜B （当积相等时，其中一个因数越大，另一个因数越小）。

点拨：已知A ×73=1112×B=1515×C ，三个算式积相等，根据当积相等时，其中一个因数越大，另一个因数越小，故得出答案。

【变式153】如果甲数的60%等于乙数的34（且甲、乙不为0），那么甲数（ ）乙数。

A. 大于
B. 小于
C. 等于
D. 无法确定
解：甲数×60%=乙数×34，
因为60%＜34，
所以甲数＞乙数。

故选A。

点拨：根据条件“甲数的60%等于乙数的(且甲、乙不为0)”，可以得到：甲数×60%=乙数×，据此分析解答；两个算式的积相等，积不变，一个因数越大，另一个因数就越小，据此对比已知的两个因数的大小，即可得到甲和乙的大小。