高三第一轮复习_函数的奇偶性

(-3,0) ∪ (0, 3)
题型三 奇偶性与单调性的综合
例5 已知奇函数f(x)是定义在(-1,1)上的增函数， 试求解关于a的不等式 f(a-2)+ f(a2-4)<0. 解析： 由已知得 f(a-2)<- f(a2-4) ∵ f(x)是奇函数，∴- f(a2-4)= f(4-a2)， ∴ f(a-2)< f(4-a2). 又f(x)是定义在(-1,1)上的增函数，从而
§2.2 函数奇偶性
要点梳理
1.函数的奇偶性 (1) 如果对于函数 f(x) 定义域内 任意 一个 x ，都有 _________ f(-x)=f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数. (2)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有 f(-x)=-f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数. _________ 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函 奇偶性 . 数f(x)具有_______
1 x (2) f ( x ) x3 3
2
解析： 依题意得
2 1 x 0 得 1 x 0 或 0 x 1 x3 3 0
所以原函数的定义域为 [1, 0) (0,1]
1 x2 f ( x) x 33
1 ( x) f ( x) x 故原函数为奇函数.
a 2 4 a2 1 a ห้องสมุดไป่ตู้2 1 2 1 a 4 1
解得
3a2
即不等式的解集为 ( 3, 2)
It’s your turn now…
练习3 定义在R上的奇函数f(x)在(0, +∞)上是增函数， 且f(-3)=0，则不等式 xf(x)<0的解集为_______________.
注：如果函数f(x)既是奇函数又是偶函数，那么 0 函数f(x)=_______ .
要点梳理
2.奇偶性的函数图象特点 一般地，偶函数的图象关于y轴对称， 反过来，如果一个函数的图象关于 y 轴 对称，那么 这个函数是偶函数 ；
奇函数的图象关于原点对称， 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么 这个函数是奇函数；
It’s your turn now…
练习2 已知函数
f ( x) x2 m 1 x2
是奇函数，求实数m的值.
m=2
题型二 由函数奇偶性求参数的值
例4 已知函数
f(x)=ax2+bx+c (2a－3≤x≤1)
是偶函数，求实数a和b的值. 解析： 依题意得 f(-x)=f(x)，即 a(-x)2-bx+c=ax2+bx+c ∴b=-b=0 而(2a-3)+1=0 ∴a=1. 故a=1，b=0. 注：《360°》P？？ 为什么？
3.函数奇偶性的判定
(1) 根据定义判定，首先看函数的定义域是否 关于 原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.
若对称，再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).
(2)利用函数的图象判定.
题型一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列各函数的奇偶性：
x x (1) f ( x) x 1
题型二 由函数奇偶性求参数的值
例3 已知函数
a(2 1) 2 f ( x) x 2 1
x
是奇函数，求实数a的值. 解析： 显然0在原函数的定义域内，
a(2 1) 2 得 a=1. f (0) 0, 0 2 1
0
经检验，当a=1时原函数为奇函数. 注：若0在奇函数的定义域内，则必有f(0)=0.
f(x+y)=f(x)+f(y)，
（1）求证： f(x)是奇函数； （2）若f(-3)=a，用a表示f(12). (1)证明：显然原函数的定义域是R.在f(x+y)=f(x)+f(y)中， 令y=-x，得f(0)=f(x)+f (-x). 令x = y=0 ，得f(0)=f(0)+f (0)，∴ f(0)=0 ∴ f(x)+f (-x) =0 ，即f (-x) = -f(x) ， ∴ f(x)是奇函数． (2)解： ∵ f(-3)=a， ∴ f(12)=2f(6)=4f(3)=-4f(-3)=-4a.
1 x2 x
2
f ( x)
It’s your turn now…
练习1 判断下列各函数的奇偶性：
(1)f(x)=|x+2|+|x-2|
解析：原函数的定义域为R.
∵f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x)
∴f(x) 是偶函数.
easy
例2 已知函数f(x)对一切实数x，y，都有
2
1 x (2) f ( x ) x3 3
2
题型一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列各函数的奇偶性：
x x (1) f ( x) x 1
2
解析：原函数的定义域为{x|x≠1}
∵当x=-1时，-x=1不在定义域内，
∴f(x)不是奇函数也不是偶函数. 或者说：定义 域不关于原点 对称.