高数常系数非齐次线性微分方程.ppt

特解的形式为
y* xkQm x ex
0, 若不是特征根 k 1, 若是特征单根
2, 若是特征重根
其中Qm x为待定多项式,即
Qm ( x) b0 xm b1 xm1 bm1 x bm
将 y xk (b0 xm b1 xm1 bm1 x bm )e x
代入方程 y py qy e x Pm ( x)
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
利用欧拉公式将 f (x) 变形
f
(x)
e
x
Pl
(
x)
ei
x
ei
第一步
2
x
P~n
(x)
ei
x
ei 2i
x
Pl (x) 2
P~n (x) 2i
e(i) x
Pl
(x) 2
P~n (x) 2i
e(i) x
令 m maxn , l ,则
对应齐次方程通解: Y C1 e x C 2 ex
原方程通解为 y C1 e x C 2 ex x e x
(2 p q )Q (x) Pm (x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即
为m 次多项式, 故特解形式为
(3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y* x2Qm (x) e x 小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 y* xk Qm (x) e x (k 0, 1, 2) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
解: 本题 0, 2, Pl (x) x, P~n (x) 0,
例4. 特征方程 r 2 1 0 不是特征方程的根, 故设特解为
代入方程得
(3a x 3b 4c) cos 2x (3c x 3d 4 a)sin 2x x cos 2x
比较系数 , 得
3a 1 3b 4c 0
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
代入原方程 , 得
(1y) 若py不 q是y特 征f (方x)程的根,
则取
Q e(x)x[为Qm(x次) 待(定2 系数p多)Q项(式x) (2 从p 而得q到)Q特(x解) ]
形式为 ye* xPem(xxQ) m (x) .
Q ( x)
y 4 y 4 y e x 的通解 (其中
为实数 ) . 2.解求:微特分征方方程程 r 2 4r 4 0, 特征根: r1 r2 2
对应齐次方程通解:
2 时,
令
y
Ae x ,
代入原方程得
A
(
1 2)2
,
故原方程通解为
2
时, 令
y
B
x2
e
x,
代入原方程得
B
1 2
,
故原方程通解为
y ay by c ex 有特解
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
1 . (填空) 设
思考时可与设练特习解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x
时可设特解为
y* (ax b) cos 2x (cx d )sin 2x k e2 x
提示:
[Rm (x) cos x R~m (x)sin x]
y ex (1 x e2x ) , 求微分方程的通解 . 解: 将特解代入3.方已程知得二恒阶等常式微分方程
(1 a b) ex (2 a) ex (1 a b) x ex c ex
1a b 0
比较系数得 2 a c 1 a b 0
a0 b 1 c2
故原方程为
y ex xex
第三步 求原方程的特解Pm (x) e(i ) x Pm (x) e(i) x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
y* y1 y1
xk e x Qm ei x Qm ei x
xk e x Qm (cos x i sin x) Qm (cos x i sin x)
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x2b0b1x
比较系数
得b0
1 2
b11
因此所给方程的通解为
故 y* x( 1 x1)e2x
y
C1e2x
2 C2e3x
1 2
(x2
2x)e2x
提示 2b01
齐2b次0方b1程0y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x
比较两端 x 同次幂的系数
得 b01
b1
1 3
因此所给方程的特解为 y*x 1 3
提示 [b30bx0b31]2[b0xb1]3[b0xb1]2b03b0x3b1 2b30b0x3b12b10 3b1
例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解
解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60
其根为r12 r23
即可确定系数： b0 , b1 , , bm1 , bm ,
从而确定特解.
例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解
解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0xb1 把它代入所给方程 得
3b0x2b03b13x1
特解: y1 xkQm (x) e(i ) x (Qm (x)为m次多项式)
故 ( y1 ) p ( y1 ) q y1 Pm (x) e(i ) x
等式两边取共轭 :
y1 p y1 q y1 Pm (x) e(i ) x
这说明 y1 为方程 ③ 的特解 .
原方程 y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
分析思路:
二、
第一步将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e( i ) x Pm (x) e(i) x
第二步 求出如下两个方程的特解 y p y q y Pm (x) e(i) x
y py qy Pm (x) e(i) x
f (x) Pm (x) e( i ) x Pm (x) e( i ) x Pm (x) e( i ) x Pm (x) e(i) x
y p y q y Pm (x) e(i) x
②
第二步y求 如p下y 两 q方y程 的Pm特(x解) e(i) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
3c 0 3d 4a 0
a
1 3
,
d
4 9
bc0
于是求得一个特解
的通解.
解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
例对5.应齐次方程的通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6bcos3x 6asin 3x 比较系数, 得
因此特解为 y* x (5cos 3x 3sin 3x )
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
f (x) e x Pm (x) 型 为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 . 设特解为 y* e x Q (x)一, 其、中 Q (x) 为待定多项式 ,
y* e x[ Q (x) Q(x) ]
第八常节系数非齐次线性微分方程
一、 f (x) e x Pm (x) 型
二、 f (x) e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] 型
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
多项式 .
对非齐次方程 y py
q
y
e
小 结:
x Pl (x)
cos
x
P~n
(
x)
sin
x
( p, q 为常数)
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
y* xk e x Rm cos x R~m sin x
其中
上述结论也可推广到高阶方程的情形.
的一个特解 .
所求通解为
x (5cos 3x 3sin 3x )
1. y p y q y Pm (内x)容e小x 结
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为 y* x kQm (x) e x
2. y p y q y e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为 y* x k e x[Rm (x) cos x R~m (x)sin x]
xk e x Rm cos x R~m sin x
其中Rm, R~m 均为 m 次多项式 .
y的特点 y y1 第y1四步 分析
xk e x Rm cos x R~m sin x
因ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y y1 y1 y1 y1
y1 y1
y*
所以 y本质上为实函数 , 因此 Rm , R~m 均为 m 次实