高数常系数非齐次线性微分方程.ppt
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高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程
04
总结与思考
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
本节课的重点回顾
常系数非齐次线性微分方程的解法
本节课重点讲解了如何求解常系数非齐次线性微分方程，包括通解和特解的求解方法。
特解的求解方法
通过对比齐次和非齐次线性微分方程的解，引入了特解的求解方法，并进行了实例演示。
通解的结构
详细解释了通解的结构，包括特解和齐次方程的通解，以及它们在求解过程中的作用。源自 解题思路的总结理解方程类型
在解题过程中，首先需要判断微 分方程的类型（齐次或非齐次） ，以便选择合适的解法。
寻找特解
对于非齐次方程，需要寻找满足 初始条件的特解。可以通过对比 齐次和非齐次方程的解来寻找特 解。
利用通解公式
一旦找到特解，可以利用通解公 式得出非齐次方程的通解。通解 公式包括特解和齐次方程的通解 。
对未来学习的思考与建议
加强实践练习
为了更好地掌握常系数非齐次线性微分方程 的解法，建议加强实践练习，多做一些相关 题目。
深入理解概念
在学习过程中，要深入理解微分方程的基本概念和 性质，以便更好地应用解题方法。
定义
常系数非齐次线性微分方程是微分方 程中的一种，其特点是方程中包含未 知函数的导数项和常数项，且导数项 和常数项之间满足线性关系。
形式
常系数非齐次线性微分方程的一般形 式为 y'' + py' + qy = f(x)，其中 y'' 表示 y 的二阶导数，p 和 q 是常数， f(x) 是已知函数。
二阶常系数非齐次线性微分方程的例子
总结词
二阶常系数非齐次线性微分方程是微分方程 中的重要类型，广泛应用于物理、工程等领 域。
高数第十二章常系数非齐次线性微分方程
k x y * xQ ( x ) e m
x 结 论 : 如 果 f ( x ) P ( x ) e ,则 ( 1 ) 的 解 具 有 形 如 : m
的 特 解 , 其 中 Q ( x ) 是 与 P ( x ) 同 次 的 多 项 式 . m m
x Q ( x ) e , 不 是 特 征 根 m x y *x Q )e , 是 单 特 征 根 m(x 2 x x Q ( x ) e , 是 重 特 征 根 m
代 入 上 式 , 比 较 系 数 可 求 出 Q ( x ) , m x 从 而 得 ( 1 ) 的 特 解 为 y * = Q ( x ) x e .
( i i i )如 果 是 特 征 方 程 r p r q0 的 重 根 , 则
2
m
p q0 , , 且 2 p0 , 于 是 有
i x
P P P P i) x i) x l n ( l n ( ( ) e ( ) e 22 i 22 i
P () x e
( i ) x
P () x e
( i ) x
12
P P P P P l n P l n l n 其 中 P ( x ) i ,P ( x ) i 22 i 22 22
其 中 0 , = 2 , P x , P 0 l n
所 给 方 程 对 应 的 齐 次 方 程 为 y y 0 ,
2 特 征 方 程 为 r 1 0 , 特 征 根 r i .
因 i 2 i 不 是 特 征 方 程 的 根 , 所 以 可 设 特 解 为 y * ( a x b ) c o s 2 x ( c x d ) s i n 2 x
x 结 论 : 如 果 f ( x ) P ( x ) e ,则 ( 1 ) 的 解 具 有 形 如 : m
的 特 解 , 其 中 Q ( x ) 是 与 P ( x ) 同 次 的 多 项 式 . m m
x Q ( x ) e , 不 是 特 征 根 m x y *x Q )e , 是 单 特 征 根 m(x 2 x x Q ( x ) e , 是 重 特 征 根 m
代 入 上 式 , 比 较 系 数 可 求 出 Q ( x ) , m x 从 而 得 ( 1 ) 的 特 解 为 y * = Q ( x ) x e .
( i i i )如 果 是 特 征 方 程 r p r q0 的 重 根 , 则
2
m
p q0 , , 且 2 p0 , 于 是 有
i x
P P P P i) x i) x l n ( l n ( ( ) e ( ) e 22 i 22 i
P () x e
( i ) x
P () x e
( i ) x
12
P P P P P l n P l n l n 其 中 P ( x ) i ,P ( x ) i 22 i 22 22
其 中 0 , = 2 , P x , P 0 l n
所 给 方 程 对 应 的 齐 次 方 程 为 y y 0 ,
2 特 征 方 程 为 r 1 0 , 特 征 根 r i .
因 i 2 i 不 是 特 征 方 程 的 根 , 所 以 可 设 特 解 为 y * ( a x b ) c o s 2 x ( c x d ) s i n 2 x
高数同济六版课件D78常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程的解是唯一的，而齐次线性微分方程的解可能是无穷多个。 常系数非齐次线性微分方程的解是连续的，而齐次线性微分方程的解可能是间断的。
直接积分法：通过积分求解微分方程 常数变易法：通过变换常数求解微分方程 幂级数法：通过幂级数展开求解微分方程 拉普拉斯变换法：通过拉普拉斯变换求解微分方程
确定方程的阶数 确定方程的特解形式
确定方程的系数 代入方程求解特解系数
待定系数法的步骤：设定特 解形式，代入原方程，求解 待定系数
待定系数法：通过设定特解 的形式，然后求解待定系数
待定系数法的适用条件：原 方程的系数是常数，且特解
的形式已知
待定系数法的优点：简单易 行，适用于求解线性微分方
程的特解
添加项标题
应用：非线性非齐次线性微分方程广泛应用于物理、化学、生物、 工程等领域，如流体力学、热传导、化学反应等。
添加项标题
求解方法：非线性非齐次线性微分方程的求解方法包括数值积分 法、有限差分法、有限元法等。
偏微分方程：含有多个自变量的 微分方程
偏微分方程的解：通常比常微分 方程的解更复杂
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
常微分方程：只含有一个自变量 的微分方程
偏微分方程的应用：广泛应用于 物理、化学、生物等领域
重要性：常系数非齐次线性微分方程是解决许多实际问题的基础，如物理、 化学、生物等领域
应用领域：常系数非齐次线性微分方程在工程、经济、金融等领域有着广 泛的应用，如控制系统、信号处理、金融模型等
特点：系数随自变量变化
定义：含有变系数的线性微 分方程
求解方法：变系数法、积分 因子法等
应用：工程、物理、化学等 领域
添加项标题
直接积分法：通过积分求解微分方程 常数变易法：通过变换常数求解微分方程 幂级数法：通过幂级数展开求解微分方程 拉普拉斯变换法：通过拉普拉斯变换求解微分方程
确定方程的阶数 确定方程的特解形式
确定方程的系数 代入方程求解特解系数
待定系数法的步骤：设定特 解形式，代入原方程，求解 待定系数
待定系数法：通过设定特解 的形式，然后求解待定系数
待定系数法的适用条件：原 方程的系数是常数，且特解
的形式已知
待定系数法的优点：简单易 行，适用于求解线性微分方
程的特解
添加项标题
应用：非线性非齐次线性微分方程广泛应用于物理、化学、生物、 工程等领域，如流体力学、热传导、化学反应等。
添加项标题
求解方法：非线性非齐次线性微分方程的求解方法包括数值积分 法、有限差分法、有限元法等。
偏微分方程：含有多个自变量的 微分方程
偏微分方程的解：通常比常微分 方程的解更复杂
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常微分方程：只含有一个自变量 的微分方程
偏微分方程的应用：广泛应用于 物理、化学、生物等领域
重要性：常系数非齐次线性微分方程是解决许多实际问题的基础，如物理、 化学、生物等领域
应用领域：常系数非齐次线性微分方程在工程、经济、金融等领域有着广 泛的应用，如控制系统、信号处理、金融模型等
特点：系数随自变量变化
定义：含有变系数的线性微 分方程
求解方法：变系数法、积分 因子法等
应用：工程、物理、化学等 领域
添加项标题
课件：常系数非齐次线性微分方程
2, 是二重特征根
例1 求方程 y 5 y 4 y ( x 1)e3x 的通解. m 1
解: 特征方程 r2 5r 4 0, r1 1，r2 4， 3
对应齐次方程通解 Y c1e x c2e4x ,
3不 是特征根，设 y* ( Ax B)e3x ,
代入方程, 得:
B 1 , A 0, 2
y2*
1 2
x sin
x,
原方程有一个特解: y*
y1*
y2*
1ex 2
1 2
x sin x,
原方程的通解为
y
c1
cos
x
c2
sin
x
1 2
e
x
1 2
x
sin
x.
三、小结与教学要求:
◆掌握 y py qy f ( x) 以下两种形式的求解方法:
解 特征方程为 r2 r 0, r1 0,r2 1, m 1, n 0
wi i 不是特征根,
Hale Waihona Puke 可设 y* (ax b)cos x (cx d )sin x,
代入原方程, 得:
(2c ax b cx a d )cos x
(c ax b 2a d cx)sin x 4sin x 7xcos x,
iw 1 i 不是特征根,
可设y* e x[(ax b)cos x (cx d )sin x],
代入原方程, 整理得:
cos x[(ax b) 3a 3(cx d ) 2c]
sin x[(cx d ) 2a 3c 3(ax b)] xsin x, a 3c 0, b 3a 3d 2c 0,
x(1 2
x
1)e2 x
.
高数常系数非齐次线性微分方程
边值问题具有唯一性、存在性和稳定性等重 要性质。在适当的条件下，边值问题的解是 存在且唯一的，同时解对边界条件的微小变 化具有稳定性。
边值问题的求解方法
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
分离变量法
对于某些具有特殊形式 的常系数非齐次线性微 分方程，可以通过分离 变量的方法将其转化为 可解的常微分方程或偏 微分方程进行求解。
积分变换法
利用积分变换（如傅里 叶变换、拉普拉斯变换 等）将边值问题转化为 等价的积分方程或常微 分方程进行求解。这种 方法适用于具有特定性
质的边值问题。
有限差分法
将边值问题的定义域离 散化，构造差分方程近 似代替微分方程，从而 将边值问题转化为线性 代数方程组进行求解。 这种方法适用于求解复 杂区域上的边值问题。
02
常系数非齐次线性微分方程的基本解
法
分离变量法
分离变量法的基本思想
将非齐次线性微分方程中的未知函数和自变量进行分离， 使得方程两边分别只含有未知函数和自变量的函数，然后 通过积分求解。
分离变量法的适用条件
适用于一阶常系数非齐次线性微分方程，且方程中的非齐 次项可以表示为自变量的函数与未知函数的乘积。
数值解法的应用举例
要点一
物理学中的应用
在物理学中，常系数非齐次线性微分 方程经常用来描述物体的运动规律， 如振动、波动等现象。通过数值解法 ，可以对这些现象进行模拟和预测。
要点二
工程学中的应用
在工程学中，常系数非齐次线性微分 方程经常用来描述系统的动态特性， 如控制系统的稳定性、电路的响应等 。通过数值解法，可以对这些系统的 性能进行分析和优化。
常数变易法的求解步骤
先设出与原方程对应的齐次方程的通解，然后将通解中的常数替换为新的未知函数，代入原方程求解得 到新未知函数的方程，最后解出新未知函数并代回通解得到原方程的解。
高等数学课件微分方程D129常系数非齐次微分方程
1 b 1, b 0 1 3
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2 x 例2. 求方程 的通解. y 5 y 6 y x e 2 解: 本题 2, 特征方程为 r 5 r 6 0 ,其根为 r 2 , r 3 1 2
2 x 3 x 对应齐次方程的通解为 Y C e C e 1 2 2 x 设非齐次方程特解为 y * x ( b x b ) e 0 1
1
1 2
x
由初始条件得
2019/3/12
C C C 0 1 2 3 1 C 2 C 2 3 2
C 4 C 0 2 3
高等数学课件
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解得
C1 3 4 C 2 1 C 1 3 4
3 x 1 2 x 1 y e e x 4 4 2 1 x 2 x ( 3 2 x 4 e e ) 4
k x 特解 y * x Q ( x ) e ( k 0 , 1 , 2 ) m
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此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
2019/3/12
例1. 求方程 的一个特解. y 2 y 3 y 3 x 1 2 解: 本题 0, 而特征方程为 r 2 r 3 0 ,
于是所求解为
2019/3/12
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~ x ( x ) e P ( x ) cos x P ( x ) sin x 型 二、 f l n
2019/3/12 高等数学课件
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高等数学第七章第九节常系数非齐次线性微分方程课件.ppt
这说明 y1 为方程 ③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 原方程
y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
y* y1 y1
xk e x Qm ei x Qm ei x xke x Qm (cos x i sin x)
b0
1 ,
b1
1 3
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数, 得
b0
1 2
,
b1
1
因此特解为
y*
x
(
1 2
Qm (cos x i sin x) xke x Rm cos x R~m sin x
其中 R m , R~m 均为 m 次多项式 .
第四步 分析 y的特点
y y1 y1
xke x Rm cos x R~m sin x
因
y y1 y1 y1 y1
y1 y1
y*
所以 y本质上为实函数 , 因此 Rm , R~m 均为 m 次实
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
故 ( y1) p ( y1) q y1 Pm (x) e(i) x
等式两边取共轭 :
y1 p y1 q y1 Pm (x) e(i) x
形式e为xPym*(x)e xQm (x) .
高数第八节 常系数非齐次线性微分方程
y*
2A 1,
xkexQm ( 于是 y*
A 10,,
x) , k 1 x2e3x 2
12, 2,
不是特征根, 是单特征根, 是重特征根.
原方程通解为
y
(C1
C2 x)e3 x
1 2
x 2e 3 x
.
二、f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
y py qy f ( x)
( x) e x
x
t (t)dt x
x
(t)dt
求 (x)
0
0
解
对积分方程两边求导 '( x) e x
x
(t)dt
0
再求导得 ''( x) ( x) e x
初始条件为 (0) 1, '(0) 1
特征方程为 r2 1 0, 特征根为 r i ,
对应齐次方程的通解：( x) C1 cos x C2 sin x
例2 求方程 y y 4sin x 的通解.
解 特征方程为 r2 1 0, 特征根为 r i ,
对应齐次方程的通解 Y C1 cos x C2 sin x, 方法二、作辅助方程 y y 4eix ,
sin x 是 ei x 的虚部, Pm ( x) 4, i
i 是单根, 故 y* Axeix ,
综上讨论，方程的特解总可设为
0 不是根
y* xkexQm ( x) , k 1 是单根,
2 是重根
其中： Qm ( x) b0 xm b1 xm1 bm b0 , b1,, bm 可用待定系数法确定。
一. f ( x) ex Pm ( x) 型 y py qy e x Pm ( x)
常系数非齐次高阶线性微分方程37页PPT
常系数非齐次高阶线性微分 方程
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
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解: 本题 0, 2, Pl (x) x, P~n (x) 0,
例4. 特征方程 r 2 1 0 不是特征方程的根, 故设特解为
代入方程得
(3a x 3b 4c) cos 2x (3c x 3d 4 a)sin 2x x cos 2x
比较系数 , 得
3a 1 3b 4c 0
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
代入原方程 , 得
(1y) 若py不 q是y特 征f (方x)程的根,
则取
Q e(x)x[为Qm(x次) 待(定2 系数p多)Q项(式x) (2 从p 而得q到)Q特(x解) ]
形式为 ye* xPem(xxQ) m (x) .
Q ( x)
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x2b0b1x
比较系数
得b0
1 2
b11
因此所给方程的通解为
故 y* x( 1 x1)e2x
y
C1e2x
2 C2e3x
1 2
(x2
2x)e2x
提示 2b01
齐2b次0方b1程0y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x
特解的形式为
y* xkQm x ex
0, 若不是特征根 k 1, 若是特征单根
2, 若是特征重根
其中Qm x为待定多项式,即
Qm ( x) b0 xm b1 xm1 bm1 x bm
将 y xk (b0 xm b1 xm1 bm1 x bm )e x
代入方程 y py qy e x Pm ( x)
3c 0 3d 4a 0
a
1 3
,
d
4 9
bc0
于是求得一个特解
的通解.
解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
例对5.应齐次方程的通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6bcos3x 6asin 3x 比较系数, 得
因此特解为 y* x (5cos 3x 3sin 3x )
对应齐次方程通解: Y C1 e x C 2 ex
原方程通解为 y C1 e x C 2 ex x e x
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
1 . (填空) 设
思考时可与设练特习解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x
时可设特解为
y* (ax b) cos 2x (cx d )sin 2x k e2 x
提示:
[Rm (x) cos x R~m (x)sin x]
多项式 .
对非齐次方程 y py
q
y
e
小 结:
x Pl (x)
cos
x
P~n
(
x)
sin
x
( p, q 为常数)
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
y* xk e x Rm cos x R~m sin x
其中
上述结论也可推广到高阶方程的情形.
的一个特解 .
特解: y1 xkQm (x) e(i ) x (Qm (x)为m次多项式)
故 ( y1 ) p ( y1 ) q y1 Pm (x) e(i ) x
等式两边取共轭 :
y1 p y1 q y1 Pm (x) e(i ) x
这说明 y1 为方程 ③ 的特解 .
原方程 y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
所求通解为
x (5cos 3x 3sin 3x )
1. y p y q y Pm (内x)容e小x 结
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为 y* x kQm (x) e x
2. y p y q y e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为 y* x k e x[Rm (x) cos x R~m (x)sin x]
比较两端 x 同次幂的系数
得 b01
b1
1 3
因此所给方程的特解为 y*x 1 3
提示 [b30bx0b31]2[b0xb1]3[b0xb1]2b03b0x3b1 2b30b0x3b12b10 3b1
例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解
解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60
其根为r12 r23
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
f (x) e x Pm (x) 型 为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 . 设特解为 y* e x Q (x)一, 其、中 Q (x) 为待定多项式 ,
y* e x[ Q (x) Q(x) ]
第八常节系数非齐次线性微分方程
一、 f (x) e x Pm (x) 型
二、 f (x) e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] 型
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
y 4 y 4 y e x 的通解 (其中
为实数 ) . 2.解求:微特分征方方程程 r 2 4r 4 0, 特征根: r1 r2 2
对应齐次方程通解:
2 时,
令
y
Ae x ,
代入原方程得
A
(
1 2)2
,
故原方程通解为
2
时, 令
y
B
x2
e
x,
代入原方程得
B
1 2
,
故原方程通解为
y ay by c ex 有特解
f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
分析思路:
二、
第一步将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e( i ) x Pm (x) e(i) x
第二步 求出如下两个方程的特解 y p y q y Pm (x) e(i) x
y py qy Pm (x) e(i) x
即可确定系数： b0 , b1 , , bm1 , bm ,
从而确定特解.
例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解
解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0xb1 把它代入所给方程 得
3b0x2b03b13x1
y ex (1 x e2x ) , 求微分方程的通解 . 解: 将特解代入3.方已程知得二恒阶等常式微分方程
(1 a b) ex (2 a) ex (1 a b) x ex c ex
1a b 0
比较系数得 2 a c 1 a b 0
a0 b 1 c2
故原方程为
y ex xex
(2 p q )Q (x) Pm (x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即
为m 次多项式, 故特解形式为
(3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y* x2Qm (x) e x 小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 y* xk Qm (x) e x (k 0, 1, 2) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
第三步 求原方程的特解Pm (x) e(i ) x Pm (x) e(i) x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
y* y1 y1
xk e x Qm ei x Qm ei x
xk e x Qm (cos x i sin x) Qm (cos x i sin x)
f (x) Pm (x) e( i ) x Pm (x) e( i ) x Pm (x) e( i ) x Pm (x) e(i) x
y p y q y Pm (x) e(i) x
②
第二步y求 如p下y 两 q方y程 的Pm特(x解) e(i) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
xk e x Rm cos x R~m sin x
其中Rm, R~m 均为 m 次多项式 .
y的特点 y y1 第y1四步 分析
xk e x Rm cos x R~m sin x
因
y y1 y1 y1 y1
y1 y1
y*
所以 y本质上为实函数 , 因此 Rm , R~m 均为 m 次实
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
利用欧拉公式将 f (x) 变形
f
(x)
e
x
Pl
(
x)
ei
x
ei
第一步
2
x
P~n
(x)
ei
x
ei 2i
x
Pl (x) 2
P~n (x) 2i
e(i) x
Pl(x) 2来自P~n (x) 2ie(i) x
令 m maxn , l ,则
例4. 特征方程 r 2 1 0 不是特征方程的根, 故设特解为
代入方程得
(3a x 3b 4c) cos 2x (3c x 3d 4 a)sin 2x x cos 2x
比较系数 , 得
3a 1 3b 4c 0
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
代入原方程 , 得
(1y) 若py不 q是y特 征f (方x)程的根,
则取
Q e(x)x[为Qm(x次) 待(定2 系数p多)Q项(式x) (2 从p 而得q到)Q特(x解) ]
形式为 ye* xPem(xxQ) m (x) .
Q ( x)
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x2b0b1x
比较系数
得b0
1 2
b11
因此所给方程的通解为
故 y* x( 1 x1)e2x
y
C1e2x
2 C2e3x
1 2
(x2
2x)e2x
提示 2b01
齐2b次0方b1程0y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x
特解的形式为
y* xkQm x ex
0, 若不是特征根 k 1, 若是特征单根
2, 若是特征重根
其中Qm x为待定多项式,即
Qm ( x) b0 xm b1 xm1 bm1 x bm
将 y xk (b0 xm b1 xm1 bm1 x bm )e x
代入方程 y py qy e x Pm ( x)
3c 0 3d 4a 0
a
1 3
,
d
4 9
bc0
于是求得一个特解
的通解.
解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
例对5.应齐次方程的通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6bcos3x 6asin 3x 比较系数, 得
因此特解为 y* x (5cos 3x 3sin 3x )
对应齐次方程通解: Y C1 e x C 2 ex
原方程通解为 y C1 e x C 2 ex x e x
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
1 . (填空) 设
思考时可与设练特习解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x
时可设特解为
y* (ax b) cos 2x (cx d )sin 2x k e2 x
提示:
[Rm (x) cos x R~m (x)sin x]
多项式 .
对非齐次方程 y py
q
y
e
小 结:
x Pl (x)
cos
x
P~n
(
x)
sin
x
( p, q 为常数)
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
y* xk e x Rm cos x R~m sin x
其中
上述结论也可推广到高阶方程的情形.
的一个特解 .
特解: y1 xkQm (x) e(i ) x (Qm (x)为m次多项式)
故 ( y1 ) p ( y1 ) q y1 Pm (x) e(i ) x
等式两边取共轭 :
y1 p y1 q y1 Pm (x) e(i ) x
这说明 y1 为方程 ③ 的特解 .
原方程 y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
所求通解为
x (5cos 3x 3sin 3x )
1. y p y q y Pm (内x)容e小x 结
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为 y* x kQm (x) e x
2. y p y q y e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为 y* x k e x[Rm (x) cos x R~m (x)sin x]
比较两端 x 同次幂的系数
得 b01
b1
1 3
因此所给方程的特解为 y*x 1 3
提示 [b30bx0b31]2[b0xb1]3[b0xb1]2b03b0x3b1 2b30b0x3b12b10 3b1
例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解
解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60
其根为r12 r23
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
f (x) e x Pm (x) 型 为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 . 设特解为 y* e x Q (x)一, 其、中 Q (x) 为待定多项式 ,
y* e x[ Q (x) Q(x) ]
第八常节系数非齐次线性微分方程
一、 f (x) e x Pm (x) 型
二、 f (x) e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] 型
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
y 4 y 4 y e x 的通解 (其中
为实数 ) . 2.解求:微特分征方方程程 r 2 4r 4 0, 特征根: r1 r2 2
对应齐次方程通解:
2 时,
令
y
Ae x ,
代入原方程得
A
(
1 2)2
,
故原方程通解为
2
时, 令
y
B
x2
e
x,
代入原方程得
B
1 2
,
故原方程通解为
y ay by c ex 有特解
f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
分析思路:
二、
第一步将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e( i ) x Pm (x) e(i) x
第二步 求出如下两个方程的特解 y p y q y Pm (x) e(i) x
y py qy Pm (x) e(i) x
即可确定系数： b0 , b1 , , bm1 , bm ,
从而确定特解.
例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解
解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0xb1 把它代入所给方程 得
3b0x2b03b13x1
y ex (1 x e2x ) , 求微分方程的通解 . 解: 将特解代入3.方已程知得二恒阶等常式微分方程
(1 a b) ex (2 a) ex (1 a b) x ex c ex
1a b 0
比较系数得 2 a c 1 a b 0
a0 b 1 c2
故原方程为
y ex xex
(2 p q )Q (x) Pm (x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即
为m 次多项式, 故特解形式为
(3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y* x2Qm (x) e x 小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 y* xk Qm (x) e x (k 0, 1, 2) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
第三步 求原方程的特解Pm (x) e(i ) x Pm (x) e(i) x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
y* y1 y1
xk e x Qm ei x Qm ei x
xk e x Qm (cos x i sin x) Qm (cos x i sin x)
f (x) Pm (x) e( i ) x Pm (x) e( i ) x Pm (x) e( i ) x Pm (x) e(i) x
y p y q y Pm (x) e(i) x
②
第二步y求 如p下y 两 q方y程 的Pm特(x解) e(i) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
xk e x Rm cos x R~m sin x
其中Rm, R~m 均为 m 次多项式 .
y的特点 y y1 第y1四步 分析
xk e x Rm cos x R~m sin x
因
y y1 y1 y1 y1
y1 y1
y*
所以 y本质上为实函数 , 因此 Rm , R~m 均为 m 次实
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
利用欧拉公式将 f (x) 变形
f
(x)
e
x
Pl
(
x)
ei
x
ei
第一步
2
x
P~n
(x)
ei
x
ei 2i
x
Pl (x) 2
P~n (x) 2i
e(i) x
Pl(x) 2来自P~n (x) 2ie(i) x
令 m maxn , l ,则