(通用版)(新课标)高考数学二轮复习作业手册 第3B讲 不等式与线性规划、计数原理与二项式定理 理

专题限时集训(三)B
[第3讲 不等式与线性规划、计数原理与二项式定理]
(时间：30分钟)
1．若2x
＋2y
＝1，则x ＋y A ．[0，2] B ．[－2，0]
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
2．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y ≥x ，
x ＋y ≤2，x ≥m ，
且z 的最大值是最小值的4倍，则m
的值是( )
A.17
B.16
C.15
D.14
3．已知(1－ax )(1＋x )5
的展开式中x 2
的系数为5，则a ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．从0，1，2，3中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是________．(用数字回答)
5．若存在实数x ，y 使不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0
与不等式x －2y ＋m ≤0都成立，则实数m
的取值范围是( )
A ．m ≥0
B ．m ≤3
C ．m ≥1
D ．m ≥3
6．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则
直线OM 斜率的最小值为( )
A ．2
B ．1
C ．－13
D ．－12
7．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y
＝2，a ＋b ＝4，则2x ＋1y
的最大值为( )
A ．3
B ．3 2
C ．4
D ．4 2
8．某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”“进敬老院”“参观工厂”“民俗调查”“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是( )
A ．48
B ．24
C ．36
D ．64
9．已知实数x ，y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧y 2－x ≤0，
x ＋y ≤2，则2x ＋y 的最小值，最大值分别为( )
A ．3，6
B ．0，3
C ．0，6
D ．－18，6
10．已知函数y ＝x 33＋m 2
x 2
＋(m ＋n )x ＋1的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈(0，1)，x 2∈
(1，＋∞)，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点P (m ，n )表示的平面区域为D .若函数y ＝log a (x ＋4)(a >1)的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为( )
A ．(1，3]
B ．(1，3)
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
11．若x ＋
a
3
x
8
的展开式中x 4
的系数为7，则实数a ＝________.
12．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有________种放法．(用数字作答)
13．已知a ＝⎠
⎛－1
1(1＋1－x 2
)d x ，则a －π2x －1x 6展开式中的常数项为________．
14．若不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧|x|＋|y|≤2，
y ＋2≤k（x ＋1）表示平面三角形区域，则实数k 的取值范围是________．
专题限时集训(三)B
1．D [解析] 1＝2x ＋2y ≥2 2x ＋y ⇒2x ＋y ≤2－2
⇒x ＋y ≤－2，当且仅当x ＝y ＝－1时，等号成立，故选D.
2．D [解析] 画出线性约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y ≥x ，
x ＋y ≤2，x ≥m
的可行域，由可行域知，目标函数z ＝2x ＋y
过点(m ，m )时有最小值，最小值为z min ＝3m .过点(1，1)时有最大值，最大值为z max ＝3，因为z
的最大值是最小值的4倍，所以3＝12m ，即m ＝1
4
.
3．D [解析] (1－ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为C 25－a C 1
5＝10－5a ＝5，解得a ＝1. 4．10 [解析] 考虑三位数“不含0”和“含0”两种情况．(1)三位数不含0时，2必填个位，A 22种填法．(2)三位数含0时，0填个位，A 23种填法.0填十位，2必填个位，A 1
2种填法．所
以，偶数的个数一共有A 22＋A 23＋A 1
2＝10.
5．B [解析] 由x －2y ＋m ≤0，得m ≤－x ＋2y ，即m ≤[－x ＋2y ]max .设z ＝－x ＋2y ，则z 为直线x －2y ＋z ＝0在y 轴截距的2倍．已知不等式组表示的平面区域如图中的△ABC ，结合图形可知在点C 处取z 取得最大值，且点C 的坐标为(3，3)，故z 的最大值为3，即m ≤3.
6．C [解析] 不等式组表示的可行域如图所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧－1＝0，
3x ＋y －8＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，
y ＝－1，故P (3，－1)．当点M 与点P 重合时，直线OM 斜率最小，此时k OM ＝
－1－03－0＝－1
3
.
7．C [解析] 由题意，得x ＝log a 2，y ＝log b 2，故x ＋y ＝2log a 2＋1log b 2＝log 2a 2
＋log 2b ＝
log 2(a 2b )．又4＝a ＋b ≥2 a b ，所以a 2b ≤16，故2x ＋1y
＝log 2(a 2
b )≤4.
8．C [解析] 采用间接法．由于“参观工厂”与“环保宣传”相邻，故总的安排方法为
A 22A 4
4
＝48.又因为“民俗调查”排在周一时，所有其他的安排方法为A 22A 3
3＝12，则符合要求的安排方法为48－12＝36种．
9．D [解析] 如图所示，在点A (4，－2)处2x ＋y 取得最大值，且最大值为6.当直线z
＝2x ＋y 为抛物线y 2＝x 的切线时，2x ＋y 取得最小值．联立⎩
⎪⎨⎪⎧z ＝2x ＋y ，y 2＝x ，则4x 2
－(1＋4z )x ＋
z 2＝0，Δ＝(4z ＋1)2－16z 2＝0，解得z ＝－18，最小值为－1
8
.
10．B [解析] 令g (x )＝y ′＝x 2
＋mx ＋m ＋n ，则m ，n 满足⎩
⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，
2m ＋n ＋1<0.点
P 表示的平面区域如图所示阴影部分，当函数y ＝log a (x ＋4)(a >1)的图像上存在区域D 内的点
时，应满足log a (－1＋4)>1，即log a 3>1，则0<log 3a <1，故1<a
<3.
11.12 [解析] 二项式⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋3x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r
8a r x 8－43r ，令8－43
r ＝4，可得r
＝3，故C 38a 3
＝7，解得a ＝12.
12．112 [解析] C 27＋C 37＋C 47＋C 5
7＝21＋35＋35＋21＝112.
13．－160 [解析] 根据定积分的几何意义可得a ＝2＋π2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫a －π2x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6.根据对称性，展开式的常数项为第四项，即T 4＝C 36(2x )3
⎛⎭
⎪⎫－1x 3＝－160.
14．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，23 [解析] 如图所示，只有直线y ＋2＝k (x ＋1)从直线m 到n 移
动时，或者直线从a 到b 移动时，不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，
y ＋2≤k （x ＋1）表示的平面区域才是三角形区
域．故斜率k 的取值范围是0<k ≤2
3
或k <－2.。