函数的概念(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)

2.1 函数的概念
2024届高考数学一轮复习课件
考点知识梳理
1.函数的概念
一般地，设A，B是非空的 实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x，
按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的三要素
(1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 .
(2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个
函数为同一个函数.
考点知识梳理
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和 列表法 .
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不
同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
考向典题讲解
题型三：给出函数解析式求解定义域
【例3】(2023·北京·高三专题练习)函数 ( ) =
−1
的定义域为________．
2 +1
【答案】 ≥ 1
−1
【解析】令 2 +1 ≥ 0，可得 − 1 ≥ 0，解得 ≥ 1．
故函数 ( ) =
−1
的定义域为
【例1】(2023·山东潍坊·统考一模)存在函数 满足：对任意 ∈ 都有( )
A． = 3 B． sin = 2
C． 2 + 2 =
D． = 2 + 1
【答案】D
【解析】对于A，当 = 1时， 1
当 = −1时， −1
= (1) = 1；
按 = − 2 ，在 的范围中必有唯一的值与之对应，
2 ∈ [0,4]，则− 2 ∈ [−4,0]，则 的范围要包含[−4,0]，故选：A．
考向典题讲解
【对点训练2】(2023·全国·高三专题练习)函数y=f(x)的图象与直线 = 1的交点个数(
A．至少1个
B．至多1个
C．仅有1个
故答案为： 3,6
【解题方法总结】
1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若 ( )的定义域为(( , )，求
[ ( )]中 < ( ) < 的解 的范围，即为 [ ( )] 的定义域；
口诀：定义域指的是 的范围，括号范围相同．已知 ( )的定义域，求四则运算型函数的定义域.
【对点训练1】(2023·重庆·二模)任给 ∈ −2,0 ，对应关系 使方程 2 + = 0的解 与 对应，
则 = ()是函数的一个充分条件是( )
A． ∈ [−4,4]
B． ∈ −4,2 C． ∈ [−2,2]
D． ∈ −4, −2
【答案】A
【解析】根据函数的定义，对任意 ∈ [−2,0]，
4
2
故答案为： 0,2
【解题方法总结】对求函数定义域问题的思路是：
(1)先列出使式子 有意义的不等式或不等式组；
(2)解不等式组；
(3)将解集写成集合或区间的形式．
考向典题讲解
题型四：抽象函数定义域
【例4】(2023·全国·高三专题练习)已知函数 = 1 + 1 − 的定义域为{ |0 ≤ ≤ 1 }，
2 +1
故答案为： ≥ 1 ．
≥1 ．
考向典题讲解
【对点训练4】(2023·高三课时练习)函数 () =
域为______．
2 2 + − 3 + 3 3 + 2 − 2 的定义
【答案】 1,3
2 + − 3 ≥ 0
2
【解析】要使函数有意义，则
，解得1 ≤ <
2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函
数的定义域，再求交集．
考向典题讲解
题型五：函数定义域的应用
【例5】(2023·全国·高三专题练习)若函数 ( ) =
2 −3
2 ++1
围是__________．
【答案】[0,4)
【解析】 ( )的定义域是R，则 2 + + 1 > 0恒成立，
2 +4+3
+∞)，则
实数a的取值范围是___________．
【答案】 0,
3
4
【解析】因为函数 ( ) =
1
2 +4 +3
的定义域为 R，所以 2 + 4 + 3 ≠ 0的解为 R，即函数 =
2 + 4 + 3的图象与 x轴没有交点，
(1)当 = 0时，函数 = 3与x轴没有交点，故 = 0成立；




【解析】由 = 可得 = ，即 = 2 ，所以 = 2 ⇒ = 2 ，
代入 = 2 ，即2 = 2 ，解得 = 2或 = 0(舍)，则 = 4，
所以 =
1
2
>0
− 4 ， 1 − ≥ 0 ，解得0 < ≤ 2，所以函数定义域为 0,2 ；
D．有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 = 1没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 = 1有1个交点，故选：B．
【解题方法总结】利用函数概念判断
)
考向典题讲解
题型二：同一函数的判断
【例2】(2023·高三课时练习)下列各组函数中，表示同一个函数的是(
(2)当 ≠ 0时，要使函数 = 2 + 4 + 3的图象与 x轴没有交点，则 = 4
2
− 12 < 0，解得0 <
3
< 4．
3
综上：实数 的取值范围是 0, 4 ．
3
故答案为： 0, 4
【解题方法总结】
对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．
考点知识梳理
常用结论
1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域
为B的子集.
3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函
数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数
的值域的并集.
考向典题讲解
题型一：函数的概念
A． = 2 ， = 2
B． =
− 1
C． =
1+
，
1−
=
1+
1−
D． =
+1
，
−1

2，
)．
= + 1 −
=
2
【答案】C
【解析】对于A： = 2 的定义域为 ， = 2 的定义域为 0, +∞ ．
的定义域为_______．
【答案】 3,6
【解析】因 + 1 的定义域为 1,4 ，则当1 ≤ ≤ 4时，2 ≤ + 1 ≤ 5，即 的定义域为 2,5 ，
于是 − 1 中有2 ≤ − 1 ≤ 5 ，解得3 ≤ ≤ 6，所以函数 − 1 的定义域为 3 ,6 ．
考向典题讲解
【对点训练3】(2023·全国·高三专题练习)下列四组函数中，表示同一个函数的一组是(
A． = , =
C． =
2 −1
,
−1
2
=+1
B． =
)
2 , = ( )2
D． =
+ 1 ⋅ − 1, =
2 − 1
【答案】A
【解析】对于 ， = 和 = 2 的定义域都是 ，对应关系也相同，是同一个函数，故选项 正确；
= 0时， 2 + + 1 = 1 > 0恒成立，
>0
，解得0 < < 4，
≠ 0时，则
= 2 − 4 < 0
综上，0 ≤ < 4．
故答案为：[0,4)．
的定义域为R，则实数a的取值范
考向典题讲解
【对点训练8】(2023·全国·高三专题练习)已知 () = 2 − + 1 的定义域为 ，那么
因为定义域不同，所以 和 不是同一个函数．故A错误；
+1
对于B： = −1 的定义域为 −∞, −1 ∪ 1, +∞ ， = + 1 − − 1 的定义域为
1, +∞ ．
因为定义域不同，所以 和 不是同一个函数．故B错误；
对于C： =
对于D，
= 2 + 1 = | | 2 + 1， ∈ ，则| | ≥ 0，则存在 ≥ 0时， ( ) = 2 + 1，符合函数定义，
即存在函数 ( ) = 2 + 1, ( ≥ 0)满足：对任意 ∈ 都有
= 2 + 1， D正确，故选：D
考向典题讲解
a的取值范围为_________．
【答案】((−2,2)
【解析】依题可知， 2 − + 1 > 0的解集为 ，所以 = 2 − 4 < 0，解得−2 < <
2．
故答案为：((−2,2)．
考向典题讲解
【对点训练9】(2023·全国·高三专题练习)函数 () =
1
的定义域为((−∞,
3 + 2 − 2 > 0
3．
所以函数的定义域为[1,3)．
故答案为：[1,3)．
考向典题讲解

【对点训练5】(2023·全国·高三专题练习)已知正数a，b满足 = 2 , = ，则函数
() =
1

− 的定义域为___________．
【答案】 0,2
1+
的定义域为
1−
−1,1 ， =
1+
的定义域为
1−
−1,1 ，所以定义域相同．
又对应关系也相同，所以为同一个函数．故C正确；
对于D： = 2 的定义域为 0, +∞ ， = 2 的定义域为 ．
因为定义域不同，所以 和 不是同一个函数．故D错误；故选：C
故答案为：[1 , 2]
考向典题讲解
1 1
2 2
【对点训练6】(2023·高三课时练习)已知函数 的定义域为 − ,
，则函数 = 2 − −
定义域为______．
【答案】
1− 5
,
2
0 ∪ 1,
1+ 5
2
1 1
【解析】因为函数 = ( )= (1) = −1，不符合函数定义，A错误；
对于B，令 = 0，则 sin = (0) = 0，
令 = π，则 sinπ = (0) = π 2 ，不符合函数定义，B错误；
对于C， 令 = 0，则 (0) = 0，
令 = −2，则 (0) = (−2) 2 + 2(−2) = 2，不符合函数定义， C错误；
错误；
对于 ，函数 = + 1 ⋅ − 1 的定义域为 { | ≥ 1}，函数 =
域不同，不是同一个函数，故选项 错误，
故选： ．
2 − 1 的定义域为 ((−∞ , − 1] ∪ [1 , +∞)，定义
【解题方法总 结 】
当且仅当给定 两 个 函 数 的 定义 域 和 对 应 法 则 完全 相 同 时 ， 才 表 示同 一 函 数 ， 否 则 表示 不 同 的 函 数 ．
1
2
1
中，− 2 ≤ 2 − −
1
2
1
≤ 2 ，解得 1−
2
1+ 5
，
2
故函数 = 2 − −
故答案为：
1− 5
2
1
2
, 0 ∪ 1,
的定义域为
1+ 5
2
．
1− 5
,
2
0 ∪ 1,
1+ 5
2
．
5
≤ ≤ 0 或1 ≤ ≤
1
2
的
考向典题讲解
【对点训练7】(2023·全国·高三专题练习)已知函数 + 1 定义域为 1,4 ，则函数 − 1
则函数 = ()的定义域为_____
【答案】[1 , 2]
【解析】令 = 1 + 1 − ，由0 ≤ ≤ 1得：−1 ≤ − ≤ 0 ⇔ 0 ≤ 1 − ≤ 1，
所以 0 ≤ 1 − ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 1 + 1 − ≤ 2 ，即1 ≤ ≤ 2，
所以，函数 = ( )的定义域为[1 , 2]．
对于 ，函数 = 2 的定义域为 ，函数 = ( ) 2 的定义域为 [ 0, + ∞)，定义域不同，不是同一个函数，故选项
错误；
对于 ，函数 =
2 −1
的定义域为 { |
−1
≠ 1 }，函数 = + 1 的定义域为 ，定义域不同，不是同一个函数，故选项