泰州市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)

泰州市八年级上学期期末数学试卷 （解析版）
一、选择题
1．在▱ABCD 中，已知∠A ﹣∠B=20°，则∠C=（ ）
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．110° 2．若点P 在y 轴负半轴上，则点P 的坐标有可能是（ ） A ．()1,0-
B ．()0,2-
C ．()3,0
D ．()0,4 3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A ．3，4，4
B ．3，4，5
C ．3，4，6
D ．3，4，8 4．分式
221x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．﹣2 D ．12
5．如图，点P 在长方形OABC 的边OA 上，连接BP ，过点P 作BP 的垂线，交射线OC 于点Q ，在点P 从点A 出发沿AO 方向运动到点O 的过程中，设AP=x ，OQ=y ，则下列说法正确的是（ ）
A ．y 随x 的增大而增大
B ．y 随x 的增大而减小
C ．随x 的增大，y 先增大后减小
D ．随x 的增大，y 先减小后增大
6．如图，在锐角三角形ABC 中2AB =，45BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是（ ）
A ．1
B 2
C ．2
D 6 7．一次函数112y x =-
+的图像不经过的象限是：（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 8．下列计算，正确的是（ ）
A ．a 2﹣a=a
B ．a 2•a 3=a 6
C ．a 9÷a 3=a 3
D ．（a 3）2=a 6 9．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）
A ．A
B =DE B ．A
C =DF C ．∠A =∠
D D ．BF =EC
二、填空题
11．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点P 为边AC 上一动点，过点P 作PD BC ⊥，垂足为点D ，延长DP 交BA 的延长线于点E ，若10AC =，设CP 长为x ，BE 长为y ，则y 关于x 的函数关系式为__________.（不需写出x 的取值范围）
12．点(2,1)P 关于x 轴对称的点P'的坐标是__________．
13．已知一次函数3y kx =+与2y x b =+的图像交点坐标为(−1，2)，则方程组
32y kx y x b =+⎧⎨=+⎩
的解为____． 14．在2，227，254
-，3.14，这些数中，无理数有__________个． 15．一次函数32y x =-+的图象一定不经过第______象限.
16．如图，矩形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是-1，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则这个点E 表示的实数是_______
17．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____．
18．若正比例函数y=kx 的图象经过点（2，4），则k=_____．
19．如图，在△ABC 中，AB =5，AC =13，BC 边上的中线AD =6，则△ABD 的面积是______．
20．一次函数y 1＝ax +3与y 2＝kx ﹣1的图象如图所示，则不等式kx ﹣1＜ax +3的解集是_____．
三、解答题
21．已知一次函数5y kx =+的图象经过点(2,1)A -.
（1）求k 的值；
（2）在图中画出这个函数的图象；
（3）若该图象与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，试确定OBC ∆的面积..
22．已知：如图，点E 在ABC ∆的边AC 上，且AEB ABC ∠=∠.
（1）求证：ABE C ∠=∠；
（2）若BAE ∠的平分线AF 交BE 于点F ，FD BC 交AC 于点D ，设8AB =，10AC =，求DC 的长.
23．如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用四种方法分别在如图方格内再填涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．
24．若△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足6a -+（b ﹣8）2＝0．
（1）求边长c 的取值范围，
（2）若△ABC 是直角三角形，求△ABC 的面积．
25．小明用30元买水笔，小红用45元买圆珠笔，已知每支圆珠笔比水笔贵2元，那么小明和小红能买到相同数量的笔吗？
四、压轴题
26．已知三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，点D （0，－4），M （4，－4）．
（1）如图1，若点C 与点O 重合，A （－2，2）、B （4，4），求△ABC 的面积；
（2）如图2，AC 经过坐标原点O ，点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间，AB 分别与x 轴，直线DM 交于点G ，F ，BC 交DM 于点E ，若∠AOG ＝55°，求∠CEF 的度数；
（3）如图3，AC 经过坐标原点O ，点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间，N 为AC 上一点，AB 分别与x 轴，直线DM 交于点G ，F ，BC 交DM 于点E ，∠NEC+∠CEF ＝180°，求证∠NEF ＝2∠AOG ．
27．如图，以直角△AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足280a b b -++-=．
（1）点A 的坐标为________；点C 的坐标为________．
（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；
若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分
∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOA ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．
28．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．
（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC
（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）
29．在Rt ABC 中，ACB =∠90°，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，连结CD ．
（1）如图①，BC 与BD 之间的数量关系是_________，请写出理由；
（2）如图②，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，请猜想BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系．
30．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．
（1）如图1，已知A （3，2），B （4，0），请在x 轴上找一个C ，使得△OAB 与△OAC 是偏差三角形．你找到的C 点的坐标是______，直接写出∠OBA 和∠OCA 的数量关系______．
（2）如图2，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠D+∠B=180°，问△ABC 与△ACD 是偏差三角形吗？请说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB=DC ，AC 与BD 交于点P ，BD+AC=9，
∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC ＜90°，且点C 到直线BD 的距离是3，求△ABC 与△BCD
的面积之和．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A+∠B=180°，又由∠A-∠B=20°，即可求得∠A 的度数，继而求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A-∠B=20°，
∴∠A=100°，
∴∠C=∠A=100°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据y轴上的点的坐标特点，横坐标为0，然后根据题意求解.
【详解】
解：∵y 轴上的点的横坐标为0，
又因为点P 在y 轴负半轴上，
∴（0，-2）符合题意
故选：B
【点睛】
本题考查坐标轴上的点的坐标特点，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【详解】
解：A 、∵2223+44≠，∴三条线段不能组成直角三角形，错误；
B 、∵2223+4=5，∴三条线段能组成直角三角形，正确；
C 、∵2223+46≠，∴三条线段不能组成直角三角形，错误；
D 、∵2223+48≠，∴∴三条线段不能组成直角三角形，错误；
故选：B ．
【点睛】
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接利用分式的值为零，则分子为零进而得出答案．
【详解】 解：∵分式
221
x x -+的值为0， ∴x ﹣2＝0，
解得：x ＝2．
故选：B ．
【点睛】 此题主要考查了分式为零的条件，正确把握分式为零的条件是解题关键．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接BQ ，由矩形的性质，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，利用勾股定理得到
222PQ PB BQ +=，然后得到y 与x 的关系式，判断关系式，即可得到答案.
【详解】
解，如图，连接BQ ，
由题意可知，△OPQ ，△QPB ，△ABP 是直角三角形，
在矩形ABCO 中，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，则
OP=a x -，CQ b y =-，
由勾股定理，得：
222()PQ y a x =+-，222PB x b =+，222()BQ a b y =+-，
∵222
PQ PB BQ +=，
∴222222()()y a x x b a b y +-++=+-，
整理得：2by x ax =-+， ∴2
21()24a a y x b b
=--+， ∵10b
-<， ∴当2a x =时，y 有最大值24a b
； ∴随x 的增大，y 先增大后减小；
故选择：C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理找到y 与x 的关系式，从而得到答案.
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
【详解】
解：如图，在AC 上截取AE=AN ，连接BE ，
∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，
∴∠EAM=∠NAM ，
在△AME 与△AMN 中，
===AE AN
EAM NAM AM AM
∴△AME ≌△AMN （SAS ），
∴ME=MN ．
∴BM+MN=BM+ME≥BE ，
当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE ⊥AC ，此时BM+MN 有最小值，
∵2AB =，∠BAC=45°，此时△ABE 为等腰直角三角形，
∴2，即BE 2，
∴BM+MN 2．
故选：B ．
【点睛】
本题考察了最值问题，能够通过构造全等三角形，把BM+MN 进行转化，是解题的关键．
7．C
解析：C
【解析】
试题分析：根据一次函数y=kx+b （k≠0，k 、b 为常数）的图像与性质可知：当k ＞0，b ＞0时，图像过一二三象限；当k ＞0，b ＜0时，图像过一三四象限；当k ＜0，b ＞0时，图像过一二四象限；当k ＜0，b ＜0，图像过二三四象限.这个一次函数的k=12
-
＜0与b=1＞0，因此不经过第三象限.
答案为C
考点：一次函数的图像 8．D
解析：D
【解析】
【详解】
A 、a 2-a ，不能合并，故A 错误；
B 、a 2•a 3=a 5，故B 错误；
C 、a 9÷a 3=a 6，故C 错误；
D 、（a 3）2=a 6，故D 正确，
故选D ．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
A 图形中三角形和三角形内部图案的对称轴不一致，所以不是轴对称图形；
B 为轴对称图形，对称轴为过长方形两宽中点的直线；
C 外圈的正方形是轴对称图形，但是内部图案不是轴对称图形，所以也不是；
D 图形中圆内的两个箭头不是轴对称图象，而是中心对称图形，所以也不是轴对称图形.故选B.
10．C
解析：C
【解析】
试题分析：解：选项A 、添加AB=DE 可用AAS 进行判定，故本选项错误；
选项B 、添加AC=DF 可用AAS 进行判定，故本选项错误；
选项C 、添加∠A=∠D 不能判定△ABC ≌△DEF ，故本选项正确；
选项D 、添加BF=EC 可得出BC=EF ，然后可用ASA 进行判定，故本选项错误．
故选C ．
考点：全等三角形的判定．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余得到∠E=∠CPD ，再根据对顶角相等得到∠E=∠APE ，根据等角对等边得到AE=AP ，即可得到结论．
【详解】
∵AB=AC ，
∴∠B
解析：20y x =-
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余得到∠E =∠CPD ，再根据对顶角相等得到∠E =∠APE ，根据等角对等边得到AE =AP ，即可得到结论．
【详解】
∵AB =AC ，
∴∠B =∠C ．
∵PD ⊥BC ，
∴∠EDB=∠PDC=90°，
∴∠B+∠E=90°，∠C+∠CPD=90°，
∴∠E=∠CPD．
∵∠APE=∠CPD，
∴∠E=∠APE，
∴AE=AP．
∵AB=AC=10，PC=x，
∴AP=AE=10-x．
∵BE=AB+AE，
∴y=10+10-x=20-x．
故答案为：y=20-x．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定以及直角三角形的性质．解题的关键是得到
∠E=∠CPD．
12．（2，-1）
【解析】
【分析】
关于轴对称的点坐标（横坐标不变,纵坐标变为相反数）
【详解】
点关于轴对称的点的坐标是（2，-1）
故答案为：（2，-1）
【点睛】
考核知识点：用坐标表示轴对称.
解析：（2，-1）
【解析】
【分析】
关于x轴对称的点坐标（横坐标不变,纵坐标变为相反数）
【详解】
P关于x轴对称的点P'的坐标是（2，-1）
点(2,1)
故答案为：（2，-1）
【点睛】
考核知识点：用坐标表示轴对称. 理解：关于x轴对称的点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
13．.
【解析】
【分析】
直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解．
解：∵一次函数与的图象的交点的坐标为(−1，2)，
∴方程组的解是.
【点睛】
本题考查了一次函数和二元一次方程（组）
解析：12
x y =-⎧⎨=⎩. 【解析】
【分析】
直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解．
【详解】
解：∵一次函数3y kx =+与2y x b =+的图象的交点的坐标为(−1，2)，
∴方程组32y kx y x b =+⎧⎨=+⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩
. 【点睛】
本题考查了一次函数和二元一次方程（组）的关系：要准确的将一次函数问题的条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
14．1
【解析】
【分析】
根据无理数的定义，即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，是无理数；，，3.14是有理数；
∴无理数有1个；
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟
解析：1
【解析】
【分析】
根据无理数的定义，即可得到答案.
【详解】
是无理数；
227， 3.14是有理数； ∴无理数有1个；
故答案为：1.
本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义.
15．三
【解析】
【分析】
根据一次函数的解析式中的k、b的符号，确定函数图象的位置，即可确定其不经过的象限；
【详解】
解：在一次函数y=-3x+2中，
∵b=2＞0，
∴函数图象经过y轴的正半轴，
解析：三
【解析】
【分析】
根据一次函数的解析式中的k、b的符号，确定函数图象的位置，即可确定其不经过的象限；
【详解】
解：在一次函数y=-3x+2中，
∵b=2＞0，
∴函数图象经过y轴的正半轴，
k=-3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，
∴不经过第三象限．
故答案为：三.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质. 解题时可根据解析式中的k、b的值的正负作出草图，从而很容易判断函数经过（或不经过）那一象限.
16．—1
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E点表示的数．
【详解】∵AD长为2，AB长为1，
∴AC=，
∵A点表示-1，
∴E点表示的数为：
1
【分析】首先根据勾股定理计算出AC 的长，进而得到AE 的长，再根据A 点表示-1，可得E 点表示的数．
【详解】∵AD 长为2，AB 长为1，
∴=
∵A 点表示-1，
∴E ，
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
17．27
【解析】
【分析】
把代入多项式，得到的式子进行移项整理，得，根据平方的非负性把和求出，再代入求多项式的值．
【详解】
解：将代入，
得：
移项得：
，
，即，
时，
故答案为：27
【点睛
解析：27
【解析】
【分析】
把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值．
【详解】
解：将x a =代入2269x x k ++=-，
得：2269a a k ++=-
移项得：2269a a k ++=-
22(3)a k ∴+=-
2
(3)0
a+，20
k-
30
a
∴+=，即3
a=-，0
k=
x a
∴=-时，222
636327
x x k
++=+⨯=
故答案为：27
【点睛】
本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a代入多项式后进行移项整理是解题关键．18．2
【解析】
解析：2
【解析】
4=22
k k
⇒=
19．15
【解析】
【分析】
延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形，即△ABD为直角三角形，进而可求出△A
解析：15
【解析】
【分析】
延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形，即△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积．
【详解】
解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△CED中，
BD CD
ADB EDC
AD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，
∵AE =2AD =12，CE =5，AC =13，
∴CE 2+AE 2=AC 2，
∴∠E =90°，
∴∠BAD =90°，
即△ABD 为直角三角形，
∴△ABD 的面积=
12
AD •AB =15． 故答案为15．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 20．x ＜1．
【解析】
【分析】
结合图象，写出直线y1=ax+3在直线y2=kx ﹣1上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
∵一次函数y1=ax+3与y2=kx ﹣1的图象的交点坐标为(1，2)，
∴
解析：x ＜1．
【解析】
【分析】
结合图象，写出直线y 1=ax +3在直线y 2=kx ﹣1上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
∵一次函数y 1=ax +3与y 2=kx ﹣1的图象的交点坐标为(1，2)，
∴当x ＜1时，y 1＞y 2，
∴不等式kx ﹣1＜ax +3的解集为x ＜1．
故答案为：x ＜1．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
三、解答题
21．（1）3k =-；（2）画图见解析；（3）256
OBC S =
△ 【解析】
【分析】
（1）把点(2,1)A -代入解析式5y kx =+即可求出k 的值；
（2）用两点法画出函数图像即可；
（3）利用三角形面积公式进行计算．
【详解】
解：
（1）将2,1x y ==-代入5y kx =+得：251k +=-，解得3k =-；
（2）∵3k =-，
∴35y x =-+，
当x=0时，y=5；
当y=0时，-3x+5=0，53
x =
, 如图：
（3）由（2）知，53
OB =，OC=5， 则5
5•253226
OBC OC OB S ⨯
===. 【点睛】 本题主要考查了满足函数解析式的点一定在函数的图象上，一次函数与坐标轴的交点，以及图形与坐标的性质，求出一次函数解析式是解答本题的关键．
22．（1）详见解析；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）在三角形ABE 与三角形ABC 中，由一对公共角相等，以及已知角相等，利用内角和定理即可得证；
（2）由FD 与BC 平行，得到一对同位角相等，再由第一问的结论等量代换得到一对角相等，根据AF 为角平分线得到一对角相等，再由AF=AF ，利用ASA 得到三角形ABE 与三角形ADF 全等，利用全等三角形对应边相等得到AB=AD ，由AC-AD 求出DC 的长即可．
【详解】
（1）证明：在ABE ∆中，180ABE BAE AEB ∠=-∠-∠︒，
在ABC ∆中，180C BAC ABC ∠=︒-∠-∠，
∵AEB ABC ∠=∠，BAE BAC ∠=∠，
∴ABE C ∠=∠；
（2）解：∵FD BC ，∴ADF C =∠∠，
又ABE C ∠=∠，∴ABE ADF ∠=∠，
∵AF 平分BAE ∠，∴BAF DAF ∠=∠，
在ABE ∆和ADF ∆中，
ABE ADF AF AF
BAF DAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴()ABE ADF ASA ∆∆≌， ∴AB AD =，∵8AB =，10AC =，
∴1082DC AC AD =-=-=．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．详见解析.
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质画出图形即可．
【详解】
解：如图所示：
．
【点睛】
本题考查的利用轴对称设计图案，用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
24．（1）2＜c ＜14；（2）△ABC 的面积为24或7．
【解析】
【分析】
（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，再由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）分b 是直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求出另一直角边，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）∵a ，b 6a -（b ﹣8）2＝0，
∴a ﹣6＝0，b ﹣8＝0，
∴a ＝6，b ＝8，
∴8﹣6＜c ＜8+6，即2＜c ＜14．
故边长c 的取值范围为：2＜c ＜14；
（2）b ＝8是直角边时，6是直角边，△ABC 的面积＝
12×6×8＝24；
b ＝8，
△ABC 的面积＝12
×6×．
综上所述，△ABC 的面积为24或．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．同时考查了勾股定理，难点在于要分情况讨论．
25．小明和小红不能买到相同数量的笔
【解析】
【分析】
首先设每支水笔x 元，则每支圆珠笔（x+2）元，根据题意可得等量关系：30元买水笔的数量=用45元买圆珠笔的数量，求出每支水笔的价钱，再算出购买的水笔的数量，数量是整数就可以，不是整数就不合题意．
【详解】
设每支水笔x 元，则每支圆珠笔(2)x +元. 假设能买到相同数量的笔，则
30452
x x =+. 解这个方程，得4x =.
经检验，4x =是原方程的解.
但是，3047.5÷=，
7.5不是整数，不符合题意，
答：小明和小红不能买到相同数量的笔.
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出分式方程，注意要检验． 四、压轴题
26．（1）8;（2）145°;（3）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）作AD ⊥ x 轴于D,BE ⊥x 轴于E,由点A,B 的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;
（2）作CH ∥x 轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;
（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论．【详解】
解：（1）作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,如图1,
∵A（﹣2,2）、B（4,4）,
∴AD＝OD＝2,BE＝OE＝4,DE＝6,
∴S△ABC＝S梯形ABED﹣S△AOD﹣S△AOE＝1
2
×（2+4）×6﹣
1
2
×2×2﹣
1
2
×4×4＝8;
（2）作CH // x轴,如图2,
∵D（0,﹣4）,M（4,﹣4）,
∴DM // x轴,
∴CH // OG // DM,
∴∠AOG＝∠ACH,∠DEC＝∠HCE,
∴∠DEC+∠AOG＝∠ACB＝90°,
∴∠DEC＝90°﹣55°＝35°,
∴∠CEF＝180°﹣∠DEC＝145°;
（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC＝∠ACB＝90°,
而∠HEC+∠CEF＝180°,∠NEC+∠CEF＝180°,
∴∠NEC＝∠HEC,
∴∠NEF＝180°﹣∠NEH＝180°﹣2∠HEC,
∵∠HEC＝90°﹣∠AOG,
∴∠NEF＝180°﹣2（90°﹣∠AOG）＝2∠AOG．
【点睛】
本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
27．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；
（2）根据运动速度得到OQ=t，OP=8-2t，根据△ODP与△ODQ的面积相等列方程求解即可；
（3）由∠AOC=90°，y轴平分∠GOD证得OG∥AC，过点H作HF∥OG交x轴于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可证得
2∠GOA+∠ACE=∠OHC.
【详解】
（180
b-=，
∴a-b+2=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
∴A（0，6），C（8，0）；
故答案为：（0，6），（8，0）；
（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），
∴OA=6，OB=8，
由运动知，OQ=t，PC=2t，
∴OP=8-2t，
∵D（4，3），
∴
11
42
22
ODQ D
S OQ x t t
=⨯=⨯=
△
，
11
823123 22
ODP D
S OP y t t
=⨯=-⨯=-△
（），
∵△ODP与△ODQ的面积相等，
∴2t=12-3t，
∴t=2.4，
∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，
∴∠OAC+∠ACO=90°.
又∵∠DOC=∠DCO，
∴∠OAC=∠AOD.
∵x轴平分∠GOD，
∴∠GOA=∠AOD.
∴∠GOA=∠OAC.
∴OG∥AC，
如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥AC，
∴∠FHC=∠ACE.
∵OG∥FH，
∴∠GOD=∠FHO，
∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，
即∠GOD+∠ACE=∠OHC，
∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．
【点睛】
此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.
28．（1）见解析；（2）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3+BD
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；
（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE2AD，可得结论；
（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH 3
，由AD＝AE，
AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD3AD+BD，即可解决问题；【详解】
证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
（2）CD2AD+BD，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
∴BD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴DE2AD，
∵CD ＝DE +CE ，
∴CD ＝2AD +BD ；
（3）作AH ⊥CD 于H ．
∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，
∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；
∴BD ＝CE ，
∵∠DAE ＝120°，AD ＝AE ， ∴∠ADH ＝30°，
∴AH ＝
12AD ， ∴DH 22AD AH -32
AD ， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，
∴DH ＝HE ，
∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3+BD ，
故答案为：CD 3+BD ．
【点睛】
本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键. 29．（1）BC BD =，理由见解析；（2）BF BP BD +=，证明见解析；（3）BF BP BD +=．
【解析】
【分析】
（1）利用含30的直角三角形的性质得出12
BC AB =，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出BC BD =进而得出BCD ∆是等边三角形，进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ∆≅∆，得出CP BF =即可解答；
（3）同（2）的方法得出结论．
【详解】
解：（1）90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，
60CBA ∴∠=︒，12BC AB =
， 点D 是AB 的中点， BC BD ∴=，
故答案为：BC BD =；
（2）BF BP BD +=，
理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，
60CBA ∴∠=︒，12
BC AB =， 点D 是AB 的中点，
BC BD ∴=，
DBC ∴∆是等边三角形，
60CDB ∴∠=︒，DC DB =，
线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，
60PDF ∴∠=︒，DP DF =，
CDB PDB PDF PDB ∴∠-∠=∠-∠，
CDP BDF ∴∠=∠，
在DCP ∆和DBF ∆中，
DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DCP DBF ∴∆≅∆，
CP BF ∴=，
CP BP BC +=，
BF BP BC ∴+=，
BC BD =，
BF BP BD ∴+=；
（3）如图③，BF BD BP =+，
理由：
90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，
60CBA ∴∠=︒，12
BC AB =， 点D 是AB 的中点，
BC BD ∴=，
DBC ∴∆是等边三角形，
60CDB ∴∠=︒，DC DB =，
线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，
60PDF ∴∠=︒，DP DF =，
CDB PDB PDF PDB ∴∠+∠=∠+∠，
CDP BDF ∴∠=∠，
在DCP ∆和DBF ∆中，
DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DCP DBF ∴∆≅∆，
CP BF ∴=，
CP BC BP =+，
BF BC BP ∴=+，
BC BD =，
BF BD BP ∴=+．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了含30的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出DCP DBF ∆≅∆，是一道中等难度的中考常考题．
30．（1）（2，0），∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC 与△ACD 是偏差三角形，理由见解析；（3）
272
【解析】
【分析】
（1）根据偏差三角形的定义，即可得到C 的坐标，根据等腰三角形的性质和平角的定义，即可得到结论；
（2）在AD 上取一点H ，使得AH=AB ，易证△CAH ≌△CAB ，进而可得∠D=∠CHD ，根据偏差三角形的定义，即可得到结论；
（3）延长CA 至点E ，使AE=BD ，连接BE ，由SAS 可证∆BDC ≅∆EAB ，得EA=BD ，点B 到直线EA 的距离是3，根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】
（1）∵当AC=AB 时，△OAB 与△OAC 是偏差三角形，A (3，2)，B (4，0)，
∴点C 的坐标为（2，0），如图1，
∵AC=AB ，
∴∠ACB=∠ABC ，
∵∠OCA+∠ACB=180°，
∴∠OBA+∠OCA=180°，
故答案为：(2，0)，∠OBA+∠OCA=180°；
（2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由如下：
如图2中，在AD上取一点H，使得AH=AB．
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAH=∠CAB，
又∵ AC=AC，
∴△CAH≌△CAB（SAS），
∴CH=CB，∠B=∠AHC，
∵∠B+∠D=180°，∠AHC+∠CHD=180°，
∴∠D=∠CHD，
∴CH=CD，
∴CB=CD，
∵△ACD和△ABC中，AC=AC，∠CAD=∠CAB，BC=CD，△ADC与△ABC不全等，∴△ABC与△ACD是偏差三角形；
（3）如图3中，延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，
∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAE=180°，
∴∠BDC=∠BAE，
又∵AB=CD，
∴∆BDC≅∆EAB（SAS），
∴EA=BD，
∵点C到直线BD的距离是3，
∴点B到直线EA的距离是3，
∴S△ABC+S△BCD=S△ABC+S△EAB= S△BCE=1
2
∙（AC+EA）×3 =
1
2
∙（AC+BD）×3 =
1
2
×9×3=
27
2
．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．。