知识资料材料力学(七)(新版)(2)

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第七节弯曲应力
一、弯曲正应力正应力强度条件
（一）纯弯曲
梁的横截面上惟独弯矩而无剪力时的弯曲，称为纯弯曲。

（二）中性层与中性轴
中性层杆件弯曲变形时既不伸长也不缩短的一层。

中性轴中性层与横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线。

中性轴位置当杆件发生平面弯曲，且处于线弹性范围时，中性轴通过横截面形心，且垂直于荷载作用平面。

中性层的曲率杆件发生平面弯曲时，中性层(或杆轴)的曲率与弯矩间的关系为
式中ρ为变形后中性层(或杆轴)的曲率半径；EI2为杆的抗弯刚度，轴z为横截面的中性轴。

（三）平面弯曲杆件横截面上的正应力
分布逻辑正应力的大小与该点至中性轴的垂直距离成正比，中性轴一侧为拉应力，另一侧为压应力，如图5—7—1(a)。

计算公式
任一点应力
最大应力
式中M为所求截面的弯矩，I z为截面向中性轴的惯性矩，W z为抗弯截面系数。

W z是一个只与横截面的形状及尺寸有关的几何量。

对于矩形截面：
对于圆形截面：
其余W z按式W z＝I z/y max计算。

研究：1，公式适用于线弹性范围、且材料在拉伸和压缩时弹性模量相等情况。

2．在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面，公式为确切解；横力弯曲时，因为剪应力的存在，横截面发生翘曲，但确切研究指出，工程实际中的梁，只要跨度与截面高度之比L／h>5，纯弯曲时的正应力公式仍适用。

（四）梁的正应力强度条件
强度条件梁的最大工作正应力不得超过材料的许用正应力，即
注重，当梁内σtmax≠σcmax，且材料的[σt]≠[σc]时，梁的拉伸与压缩强度均应得到满意。

二、弯曲剪应力剪应力强度条件
（一）矩形截面梁的剪应力
两个假设：1．剪应力方向与截面的侧边平行。

2．沿截面宽度剪应力匀称分布(见图5—7—2)。

计算公式
式中V为横截面上的剪力，b为横截面的宽度，I z为囫囵横截面向中性轴的惯性矩，S z*为横截面上距中性轴为y处横线一侧的部分截面向中性轴的静矩。

最大剪应力发生在中性轴处
（二）其他常用截面图形的最大剪应力
工字型截面
式中d为腹板厚度，
S可查型钢表。

工字型钢中，I z/*
z
m ax
圆形截面
环形截面
最大剪应力均发生在中性轴上。

（三）剪应力强度条件
梁的最大工作剪应力不得超过材料的许用剪应力，即
式中V max为全梁的最大剪力；*
m ax
z
S为中性轴一边的横截面面积对中性轴的静矩；b为横截面在中性轴处的宽度；I z为囫囵横截面向中性轴的惯矩。

三、梁的合理截面
梁的强度通常是由横截面上的正应力控制的。

由弯曲正应力强度条件
]
[
W
M
z
max
max
σ
σ≤
＝
，
可知，
在截面积A一定的条件下，截面图形的抗弯截面系数愈大，梁的承载能力就愈大，故截面就愈合理。

因此就Wz／A而言，对工字形、矩形和圆形三种形状的截面，工字形最为合理，矩形次之，圆形最差。

此外对于[σt]=[σc]的塑性材料，普通采用对称于中性轴的截面，使截面上、下边缘的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。

对于[σt]≠[σc]的脆性材料，普通采用不对称于中性轴的截面如T形、门形等，使最大拉应力σtmax和最大压应力σcmax一同时达到[σt] 和[σc]，如图5—7—3所示。

四、弯曲中央的概念
横向力作用下，梁分离在两个形心主惯性平面xy和xz内弯曲时，横截面上剪力V y和V z作用线的交点，称为截面的弯曲中央，也称为剪切中央。

当梁上的横向力不通过截面的弯曲中央时，梁除了发生弯曲变形外还要发生扭改变形。

弯曲中央是截面几何性质之一，仅与截面的几何形状有关，而与荷载大小和材料性质无关。

若截面具有一对称轴，则弯曲中央必在截面的对称轴上。

若截面具有两个对称轴，其交点即为弯曲中央。

T形、L形等狭长矩形组成的截面，两个狭长矩形中线的交点即为截面的弯曲中央。

[例5-7-3] 起吊一根50b工字钢如图5-7-6所示。

已知工字钢长度L=19m，单位长度分量q=0．99kN／m，材料的许用应力[σ]=80MPa。

试求吊索的合理位置，并校核起吊时工字钢的强度。

[解] 计算简图如图所示，画出弯矩图。

吊索的合理起吊位置应使梁中最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等，即
|M
A |=M
C
因跨中点c的弯矩为
又
由
解得
最大弯矩为
按照型钢截面特性表查得150b的W z=146cm3工字钢中的最大正应力为
故满意强度要求。

[例5-7-5] 图5—7—8所示悬臂梁，由三块尺寸相同的木板胶合而成。

胶合面上的许用剪应力[τ]胶=0．34MPa，木材的许用剪应力[τ]=IMPa，许用正应力[σ]=10MPa，试求许可荷载[P]。

[解] 作梁的剪力图、弯矩图如图(b)、(c)所示。

由梁的正应力强度条件
由梁的剪应力强度条件
由胶合处的剪应力强度条件
故梁的许可荷载[P]=3．75kN。