2018版高中数学北师大版必修五学案：第二章 解三角形

[学习目标] 1.会用正弦、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题.2.培养分析问题、独立解决问题的能力，激发探索精神．
知识点一 三角形常用面积公式及其证明 1．公式
(1)三角形面积公式S ＝1
2ah .
(2)三角形面积公式的推广 S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2
ca sin B . (3)S ＝1
2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．
2．证明
(1)三角形的高的计算公式
在△ABC 中，边BC ，CA ，AB 对应的边长分别为a ，b ，c ，边上的高分别记为h a ，h b ，h c ，则h a ＝b sin C ＝c sin B ，h b ＝c sin A ＝a sin C ，h c ＝a sin B ＝b sin A .
借助上述结论，如图，若已知△ABC 中的边AC ，AB ，角A ，那么AB 边上的高CD ＝b sin_A ，△ABC 的面积S ＝1
2bc sin A .
(2)三角形的面积与内切圆
已知△ABC 内切圆半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则△ABC 的面积为S ＝1
2r (a
＋b ＋c )．
如图，设△ABC 内切圆圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，
则S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △BOC ＝12cr ＋12br ＋12ar ＝1
2
(a ＋b ＋c )r .
思考 (1)已知△ABC 的面积为3
2，且b ＝2，c ＝3，则A ＝________.
(2)在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积等于________． 答案 (1)60°或120° (2)
3
2
解析 (1)S ＝12bc sin A ＝3
2，
∴12·2·3·sin A ＝32，∴sin A ＝3
2， 又∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝60°或120°. (2)由正弦定理a sin A ＝c sin C ，
∴sin C ＝c sin A a ＝2·sin 30°
1＝1，
又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝90°， ∴b ＝c 2－a 2＝22－12＝ 3. ∴S △ABC ＝12×1×3＝3
2.
知识点二 多边形的面积
对于多边形的有关几何计算问题，可以利用“割补法”将多边形转化为三角形，利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解决． 知识点三 几个常用结论
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边 (1)若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π
2；
(2)若cos A ＝cos B ，则A ＝B ；
(3)若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； (4)若a 2＝b 2＋c 2，则△ABC 为直角三角形；
(5)若a 2<b 2＋c 2且b 2<a 2＋c 2且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形．
题型一 三角形的面积公式及其应用
例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝4
5，b ＝ 3.
(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．
解 (1)因为角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且B ＝π3，cos A ＝45，所以C ＝2π3－A ，sin A ＝3
5
.
于是sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32cos A ＋1
2sin A ＝3＋4310. (2)由(1)知sin A ＝3
5，sin C ＝3＋4310，
又因为B ＝π
3
，b ＝3，
所以在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝6
5
.
于是△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×6
5×3×3＋4310＝36＋9350.
反思与感悟 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，使之转化为求
两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用，另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根．
跟踪训练1 如图所示，已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．
解 连接BD ，则四边形ABCD 的面积为 S ＝S △ABD ＋S △CDB
＝12AB ·AD sin A ＋1
2BC ·CD sin C . ∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ， ∴S ＝1
2(AB ·AD ＋BC ·CD )sin A
＝1
2(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 在△ABD 中，由余弦定理得 BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A . 在△CDB 中，由余弦定理得
BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ＝52－48cos C . ∴20－16cos A ＝52－48cos C .
∵cos C ＝－cos A ，∴64cos A ＝－32，∴cos A ＝－12，
又A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°， ∴S ＝16sin 120°＝8 3.
题型二 求平面几何图形中线段的长度
例2 如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，
∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2. (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .
解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°，
∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋2
4
. (2)在△ABE 中，AB ＝2，
由正弦定理AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，
得AE ＝2sin 30°
cos 15°＝2×1
26＋2
4
＝6－ 2.
反思与感悟 在平面几何中，求线段的长度往往归结为求三角形的边长，求三角形边长一般会涉及正弦、余弦定理及勾股定理，恰当地选择或构造三角形是解这类问题的关键． 跟踪训练2 如图，在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．
解 在△ACD 中，由余弦定理，
得cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝72＋32－522×7×3＝1114.
∵C 为三角形的内角， ∴C ∈(0，π)， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝
1－(1114)2＝53
14.
在△ABC 中，由正弦定理得
AB sin C ＝AC sin B
， ∴AB ＝AC ·sin C
sin B ＝7×
5314sin 45°＝562.
题型三 三角形面积的最值问题
例3 已知△ABC 的外接圆半径为R ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )·sin B ，求△ABC 面积的最大值． 解 由正弦定理得a 2－c 2＝(2a －b )b ， 即a 2＋b 2－c 2＝2ab .
由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab
＝2ab 2ab ＝2
2
，
∵C ∈(0，π)，∴C ＝π
4
.
∴S ＝12ab sin C ＝12×2R sin A ·2R sin B ·22
＝2R 2sin A sin B ＝2R 2sin A sin(3
4π－A )
＝2R 2sin A (
22cos A ＋2
2
sin A ) ＝R 2(sin A cos A ＋sin 2A ) ＝R 2(1
2sin 2A ＋1－cos 2A 2)
＝R 2[
22sin(2A －π4)＋12
] ∵A ∈(0，34π)，∴2A －π4∈(－π4，5
4
π)，
∴sin(2A －π4)∈(－2
2，1]，∴S ∈(0，2＋12R 2]，
∴面积S 的最大值为
2＋12
R 2
. 反思与感悟 求三角形面积的取值时，我们一般先求出面积与三角形的边(或角)之间的函数关系或(注意消元)，再利用三角函数的有界性、二次函数等方法来求面积的最值．
跟踪训练3 若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且S ＝c 2－(a －b )2，a ＋b ＝2，求面积S 的最大值．
解 S ＝c 2－(a －b )2＝c 2－a 2－b 2＋2ab ＝2ab －(a 2＋b 2－c 2)，
由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， ∴c 2－(a －b )2＝2ab (1－cos C )， 即S ＝2ab (1－cos C )，
∵S ＝1
2
ab sin C ，∴sin C ＝4(1－cos C )．
又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，∴17cos 2C －32cos C ＋15＝0， 解得cos C ＝15
17或cos C ＝1(舍去)．
∴sin C ＝8
17
，
∴S ＝12ab sin C ＝417a (2－a )＝－417(a －1)2＋417
.
∵a ＋b ＝2，∴0<a <2，∴当a ＝1，b ＝1时，S max ＝417
. 题型四 三角形中的综合问题
例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34
(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；
(2)求sin A ＋sin B 的最大值．
解 (1)由题意可知12ab sin C ＝3
4×2ab cos C .
所以tan C ＝3，因为0<C <π，所以C ＝π
3.
(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－A －π
3 ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋1
2sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤3(0<A <2π3)， 当A ＝π
3
，
即△ABC 为等边三角形时取等号．
所以sin A ＋sin B 的最大值为 3.
反思与感悟 (1)本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．
(2)此类问题常以三角形为载体，以正弦、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，当然有时会以向量的知识作为切入点进行破题．
跟踪训练4 已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．
(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；
(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，∠C ＝π
3，求△ABC 的面积．
(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B . ∴a ·a 2R ＝b ·b
2R (2R 为△ABC 外接圆直径)，
∴a 2＝b 2，∴a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．
(2)解 由题意可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .
由余弦定理得4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，
∴(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4或－1(舍)， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12·4·sin π
3＝ 3.
故△ABC 的面积为 3.
1．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1
3BC ，则sin A ＝( )
A.3
10 B.
1010
C.55
D.31010
答案 D
解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝2
3BC ，tan ∠BAD ＝1，
tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2
＝－3，所以sin A ＝310
10.
2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆直径为( ) A ．4 3 B ．60 C ．5 2 D ．6 2
答案 C
解析 ∵S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12c ·sin 45°＝24c ＝2，
∴c ＝42，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 45°＝25， ∴b ＝5.
∴△ABC 的外接圆直径为
b
sin B
＝5 2. 3．设A 是△ABC 中最小的内角，则sin A ＋cos A 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．[－2， 2 ] C ．(1，2) D ．(1， 2 ]
答案 D
解析 sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π
4)．
∵A 为△ABC 中最小内角，∴A ∈(0，π
3)，
∴A ＋π4∈(π4，712π)，∴sin(A ＋π4)∈(2
2，1]，
∴sin A ＋cos A ∈(1， 2 ]．
4．在△ABC 中，已知B ＝π
4，D 是BC 边上一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，则AB 的长为________．
答案 5 6
解析 在△ADC 中，∵AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6， ∴cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝102＋62－1422×10×6＝－1
2.
又∵∠ADC ∈(0，π)，∴∠ADC ＝2π3，∴∠ADB ＝π
3.
在△ABD 中，由正弦定理得
AB sin ∠ADB ＝AD sin B
，
∴AB ＝AD ·sin ∠ADB
sin B ＝10×
322
2
＝5 6.
5．已知AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，AC ＝1，AB ＝2，∠BAC ＝120°，求BD 的长． 解 如图，连接BC ，
BC ＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝7， 在△ABC ，由正弦定理知：
2sin ∠ACB ＝7sin 120°，∴sin ∠ACB ＝21
7.
又∵∠ACD ＝90°， ∴cos ∠BCD ＝
217，sin ∠BCD ＝27
7
， 由AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∠BAC ＝120°得∠BDC ＝60°. 由正弦定理得，BD ＝BC ·sin ∠BCD
sin 60°
＝
7×
2773
2
＝433.
1.正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，有些平面几何问题通过转化变为解三角形问题，便需要用正弦定理、余弦定理解决．解决时抓住两点：①合理的运用题目中的三角形资源，②尽量将所有的条件集中到某个三角形之中，会使问题更容易解决． 2．三角形面积计算的解题思路
对于此类问题，一般要用公式S ＝1
2
ab sin C
＝12bc sin A ＝1
2
ac sin B 进行求解，可分为以下两种情况： (1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面
积．
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．
3．与面积有关的三角形综合问题的解决思路．选取适当的面积公式，结合正弦、余弦定理及三角恒等变换的知识，将问题转化为求函数的最值或范围，进而予以解决．。