苏科版八年级上册数学期末易错试题汇总(含答案)

苏科版八年级上册数学期末易错试题汇总（含答案）
一、选择题
1．摩托车开始行驶时，油箱中有油4升，如果每小时耗油0.5升，那么油箱中余油量y （升）与它工作时间t （时）之间函数关系的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列四个实数：22
3,0.1010017
π，3,，其中无理数的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．若b ＞0，则一次函数y =﹣x +b 的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图,将边长为1的正方形OABC 沿x 轴正方向连续翻转2020次,点A 依次落在点1A 、2A 、3A 、4A …2020A 的位置上,则点2020A 的坐标为（ ）
A ．2019,0（）
B ．2019,1（）
C ．2020,0（）
D ．2020,1（）
5．若2
1
49
x kx ++是完全平方式，则实数k 的值为（ ） A ．
43
B ．13
C ．43
±
D ．1
3
±
6．2
0.3•、227-38（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．已知点M (1，a )和点N (2，b )是一次函数y =－2x ＋1图象上的两点，则a 与b 的大小关
系是( ) A ．a ＞b
B ．a =b
C ．a ＜b
D ．以上都不对
8．在平面直角坐标系中，把直线34y x =-+沿x 轴向左平移2个单位长度后，得到的直线函数表达式为（ ） A ．31y x =-+
B ．32y x =-+
C ．31y x =--
D ．32y x =--
9．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在平面直角坐标系xOy 中，线段AB 的两个点坐标分别为A （﹣1，﹣1），B （1，2）．平移线段AB ，得到线段A ′B ′．已知点A ′的坐标为（3，1），则点B ′的坐标为（ ） A ．（4，4）
B ．（5，4）
C ．（6，4）
D ．（5，3）
二、填空题
11．已知实数x 、y 满足|3|20x y ++-=，则代数式()2019
x y +的值为______.
12．在平面直角坐标系中，点A （2，1）向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位后
的坐标为______． 13．4的平方根是 ．
14．如图，在ABC ∆中，90C =∠，AD 平分CAB ∠，交BC 于点D ，若
ADC 60∠=，2CD =，则ABC ∆周长等于__________．
15．等边三角形有_____条对称轴．
16．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，30A ∠=︒，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于
D ，
E 是垂足，连接CD ，若1BD =，则AC 的长是__________．
17．在平面直角坐标系中，把直线y=-2x+3沿y 轴向上平移两个单位后，得到的直线的函数关系式为_____．
18．等腰三角形的两边长分别为5cm 和2cm ，则它的周长为_____． 19．一次函数y ＝2x －4的图像与x 轴的交点坐标为_______．
20．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点F ，点点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E 。

若BD=3，DE=5，则线段EC 的长为______．
三、解答题
21．如图,已知ABC ∆各顶点的坐标分别为()3,2A -,() 4,3B --,()1,1C --,直线l 经过点()1,0-,并且与y 轴平行,11
1
A B C ∆与ABC ∆关于直线l 对称.
(1)画出111
A B C ∆,并写出点1 A 的坐标 . (2)若点()P m n ,是ABC ∆内一点,点1P 是111 A B C ∆内与点P 对应的点,则点1P 坐标 .
22．一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动．快车离乙地的路程y 1（km ）与行驶的时间x （h ）之间的函数关系，如图中线段AB 所示，慢车离乙地的路程y 2（km ）与行驶的时间x （h ）之间的函数关系，如图中线段OC 所示，根据图像进行以下研究：
（1）甲、乙两地之间的距离为 km ；线段AB 的解析式为 ；线段OC 的解析式为 ；
（2）经过多长时间，快慢车相距50千米？
（3）设快、慢车之间的距离为y （km ），并画出函数的大致图像．
23．已知，如图，//AB CD ，E 是AB 的中点，CE DE =，求证：AC BD =．
24．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，格点△ABC 的顶点A （2，3）、B （﹣1，2），将△ABC 平移得到△A ′B ′C ′，使得点A 的对应点A ′，请解答下列问题：
（1）根据题意，在网格中建立平面直角坐标系； （2）画出△A ′B ′C ′，并写出点C ′的坐标为 ．
25．涟水外卖市场竞争激烈，美团、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，具体方案如下：每月不超出750单，每单收入4元；超出750单的部分每单收入m 元．
（1）若某“外卖小哥”某月送了500单，收入 元；
（2）若“外卖小哥”每月收入为y （元），每月送单量为x 单，y 与x 之间的关系如图所示，求y 与x 之间的函数关系式；
（3）若“外卖小哥”甲和乙在某个月内共送单1200单，且甲送单量低于乙送单量，共收入5000元，问：甲、乙送单量各是多少？
四、压轴题
26．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，∠1与∠2互补． （1）试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH ⊥EG ，求证：PF ∥GH ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，求∠HPQ 的度数．
27．（1）填空
①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在
1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；
②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______． （2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．
（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设
ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．
28．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．
（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC
（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝120°时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的数量关系式为：（不写证明过程）
29．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．
（1）求证：DG＝BC；
（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．
（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．30．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°
（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF
①求证：△AED≌△AFD；
②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；
（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
由题意根据剩余油量等于油箱中的原有的油量减去用去的油量，列出y、x的关系式，然后根据一次函数的图象选择答案即可．
【详解】
解：∵油箱中有油4升，每小时耗油0.5升， ∴y=4-0.5x ， ∵4-0.5x ≥0， ∴x ≤8，
∴x 的取值范围是0≤x ≤8， 所以，函数图象为：
故选：D ． 【点睛】
本题考查一次函数的应用，一次函数的图象，比较简单，难点在于根据实际意义求出自变量x 的取值范围．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据无理数的定义解答即可. 【详解】
22
7
，0.101001是有理数； 33. 故选B. 【点睛】
本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，
3
π
等；②235③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
3．C
解析：C 【解析】
分析：根据一次函数的k 、b 的符号确定其经过的象限即可确定答案． 详解：∵一次函数y x b =+中100k b =-，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选C ．
点睛：主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当k ＞0，b ＞0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限；
②当k ＞0，b ＜0，函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y =kx +b 的图象经过第二、三、四象限．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意分别求出1A 、2A 、3A 、4A …横坐标，再总结出规律即可得出. 【详解】 解：根据规律
1A (0,1)、2A (2,1)、3A (3,0)、4A (3,0), 5A (4,1)、6A (6,1)、7A (7,0)、8A (7,0) …
每4个一个循环，可以判断2020A 在505次循环后与4A 一致，即与2019A 相等，坐标应该是(2019,0) 故选 A 【点睛】
此题主要考查了通过图形观察规律的能力，并根据规律进行简单计算的能力.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k 的值． 【详解】
由完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2可得： kx=±2•2x•13
， 解得k=±43
． 故选：C 【点睛】
本题关键是有平方项求乘积项，掌握完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2是关键．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合题
意判断即可． 【详解】
解：在实数
2
、•0.3、227-中，
•
0.3循环小数，是有理数； 22
7
-
是分数，是有理数；
=2，是整数，是有理数；
所以无理数共1个． 故选：A ． 【点睛】
此题考查了无理数的概念，解答本题的关键是掌握无理数的定义，属于基础题，要熟练掌握无理数的三种形式，难度一般．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 ∵k=﹣2＜0，
∴y 随x 的增大而减小， ∵1＜2， ∴a ＞b ． 故选A ．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
求直线平移后的解析式时要注意平移时k 的值不变，只有b 发生变化．上下平移时只需让b 的值加减即可． 【详解】
y=-3x+4的k=-3，b=4，沿x 轴向左平移2个单位后，新直线解析式为：y=-3（x+2）+4=-3x-2． 故选：D. 【点睛】
本题考查了一次函数的平移变换，属于基础题，关键掌握将直线上下平移时k 的值不变，只有b 发生变化．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
A 图形中三角形和三角形内部图案的对称轴不一致，所以不是轴对称图形；
B 为轴对称图形，对称轴为过长方形两宽中点的直线；
C 外圈的正方形是轴对称图形，但是内部图案不是轴对称图形，所以也不是；
D 图形中圆内的两个箭头不是轴对称图象，而是中心对称图形，所以也不是轴对称图形.故选B.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意可得线段AB 平移的方式，然后根据平移的性质解答即可． 【详解】
解：∵A （﹣1，﹣1）平移后得到点A ′的坐标为（3，1）， ∴线段AB 先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，
∴B （1，2）平移后的对应点B ′的坐标为（1+4，2+2），即（5，4）． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平移变换的性质，一般来说，坐标系中点的平移遵循：上加下减，左减右加的规律，熟练掌握求解的方法是解题关键．
二、填空题 11．－1 【解析】 【分析】
先根据非负数的性质求出x 、y 的值，再求出的值即可． 【详解】
解：由题意可得，3+x=0,y-2=0, 解得x=-3,y=2.
∴=（-3+2）2019=（-1）2019=
解析：－1 【解析】 【分析】
先根据非负数的性质求出x 、y 的值，再求出()2019
x y +的值即可．
【详解】
解：由题意可得，3+x=0,y-2=0,
解得x=-3,y=2.
∴()
2019x y +=（-3+2）2019=（-1）2019=-1. 故答案为：-1.
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，熟知算术平方根具有非负性是解答此题的关键． 12．（-1，-3）
【解析】
【分析】
让点A 的横坐标减4，纵坐标减2即可得到平移后的坐标．
【详解】
点A （2，1）向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后点的横坐标为2−3＝−1；纵坐标
解析：（-1，-3）
【解析】
【分析】
让点A 的横坐标减4，纵坐标减2即可得到平移后的坐标．
【详解】
点A （2，1）向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后点的横坐标为2−3＝−1；纵坐标为1−4＝−3；即新点的坐标为（-1，-3），
故填：（-1，-3）.
【点睛】
本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
13．±2．
【解析】
试题分析：∵，∴4的平方根是±2．故答案为±2．
考点：平方根．
解析：±2．
【解析】
试题分析：∵2(2)4±=，∴4的平方根是±2．故答案为±2．
考点：平方根．
14．6+6
【解析】
【分析】
根据含有30°直角三角形性质求出AD,根据勾股定理求出AC ，再求出AB 和BD
【详解】
因为在中，，
所以
所以AD=2CD=4
所以AC=
因为平分，
所以=2
解析：+6
【解析】
【分析】
根据含有30°直角三角形性质求出AD,根据勾股定理求出AC ，再求出AB 和BD 即可.
【详解】
因为在ABC ∆中，90C =∠，ADC 60∠=
所以30DAC ∠=o
所以AD=2CD=4
所以==
因为AD 平分CAB ∠，
所以CAB ∠=2o DAC 60∠=
所以o B BAD 30∠=∠=
所以
所以ABC ∆周长=AC+BC+AB=
故答案为：
【点睛】
考核知识点：含有30°直角三角形性质，勾股定理；理解直角三角形相关性质是关键. 15．3
【解析】
试题解析：等边三角形有3条对称轴．
考点：轴对称图形．
解析：3
【解析】
试题解析：等边三角形有3条对称轴．
考点：轴对称图形．
16．【解析】
解：，，∴．又∵垂直平分，∴，．∵，∴，∴，，．由勾股定理可得．故答
解析：【解析】
解：90B ∠=︒，30A ∠=︒，∴60ACB ∠=︒．又∵DE 垂直平分
AC ，∴CD AD =，30ACD A DCB ∠=∠=︒=∠．∵1BD =，∴2CD AD ==，∴
3AB =，30A ∠=︒，12
BC AC =．由勾股定理可得AC =故答案为 17．y=-2x+5．
【解析】
【分析】
根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式．
【详解】
解：由题意得：平移后的解析式为：y=-2x+3+2=-2x+5．
故答案为y=-2x+5．
【点睛】
本题
解析：y=-2x+5．
【解析】
【分析】
根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式．
【详解】
解：由题意得：平移后的解析式为：y=-2x+3+2=-2x+5．
故答案为y=-2x+5．
【点睛】
本题考查一次函数图形的平移变换和函数解析式之间的关系，解题关键是在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．
18．12cm ．
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为5cm 和2cm ，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：①5cm 为腰，2
解析：12cm ．
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
所以其周长是12cm．
故答案为12cm．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的周长，解题的关键熟知等腰三角形的性质及三角形的构成条件. 19．(2，0)
【解析】
【分析】
把y=0代入y=2x+4求出x的值，即可得出答案．
【详解】
把y=0代入y=2x－4得：0=2x－4，
x=2，
即一次函数y=2x－4与x轴的交点坐标是（2，0）
解析：(2，0)
【解析】
【分析】
把y=0代入y=2x+4求出x的值，即可得出答案．
【详解】
把y=0代入y=2x－4得：0=2x－4，
x=2，
即一次函数y=2x－4与x轴的交点坐标是（2，0）．
故答案是：（2，0）．
【点睛】
考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意：一次函数与x轴的交点的纵坐标是0．20．2
【解析】
【分析】
根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．求证∠DBF＝∠FBC，∠ECF ＝∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝
∠BCF，即
解析：2
【解析】
【分析】
根据△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点F ．求证∠DBF ＝∠FBC ，∠ECF ＝
∠BCF ，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DFB ＝∠DBF ，∠CFE ＝∠BCF ，即BD ＝DF ，FE ＝CE ，然后利用等量代换即可求出线段CE 的长．
【详解】
∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点F ，
∴∠DBF ＝∠FBC ，∠ECF ＝∠BCF ，
∵DF ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ．
∴∠DFB ＝∠FBC ，∠EFC ＝∠BCF ，
∴∠DFB ＝∠DBF ，∠CFE ＝∠ECF ，
∴BD ＝DF ＝3，FE ＝CE ，
∴CE ＝DE−DF ＝5−3＝2．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题难度不大，是一道基础题．
三、解答题
21．(1) (1,2) ； (2) ()2,m n --.
【解析】
【分析】
(1)根据轴对称的性质找到各点的对应点，然后顺次连接即可，画出图形即可直接写出坐标.
(2)根据轴对称的性质可以直接写出1P .
【详解】
(1)如图所示：
直接通过图形得到1A (1,2)
(2) 由题意可得：由于()P m n ,与1P 关于x=-1 对称
所以()12,P m n --.
【点睛】 此题主要考查了轴对称作图的知识，注意掌握轴对称的性质，找准各点的对称点是关键. 22．（1）450, y 1＝﹣150x +450，y 2＝75x;（2）当经过
169、209
小时，快慢车相距50千米；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用A 点坐标为（0，450），可以得出甲，乙两地之间的距离，B 点坐标为（3，0），代入y 1=kx+b 求出即可，利用线段OC 解析式为y 2=ax 求出a 即可；
（2）分两种情况考虑：y 1﹣y 2＝50，y 2﹣y 1＝50，得出方程求解即可；
（3）利用（2）中所求得出，y=|y 1-y 2|进而求出函数解析式，得出图象即可．
【详解】
（1）由图象可得，
甲、乙两地之间的距离为450km
设线段AB 对应的函数解析式为y 1＝kx +b ， 45030b k b =⎧⎨+=⎩，得150450k b =-⎧⎨=⎩
， 即线段AB 对应的函数解析式为y 1＝﹣150x +450，
设线段OC 对应的函数解析式为y 2＝ax ，
450＝6a ，得a ＝75，
即线段OC 对应的函数解析式为y 2＝75x ，
（2） y 1﹣y 2＝50，即﹣150x+450-75x=50,169=
x y 2﹣y 1＝50，即75x ﹣(﹣150x+450)=50,209x =
当经过169、209
小时，快慢车相距50千米 （3）甲车的速度为：450÷3＝150km /h ，乙车的速度为：450÷6＝75km /h ，
故甲乙两车相遇的时间为：450÷（150+75）＝2h ，
设快、慢车之间的距离为y （km ），这个函数的大致图象如右图所示．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求解析式，根据已知图象上的点得出函数解
析式以及利用分段函数分析是解题关键．
23．见解析
【解析】
【分析】
由CE=DE 易得∠ECD=∠EDC ，结合AB ∥CD 易得∠AEC=∠BED ，由此再结合AE=BE ，CE=DE 即可证得△AEC ≌△BED ，由此即可得到AC=BD.
【详解】
∵CE DE =，
∴ECD EDC ∠=∠，
∵//AB CD ，
∴AEC ECD ∠=∠，BED EDC ∠=∠，
∴AEC BED ∠=∠，
又∵E 是AB 的中点，
∴AE BE =，
在AEC 和BED 中，AE BE AEC BED CE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴AEC ≌BED ．
∴AC BD =．
【点睛】
熟悉“等腰三角形的性质、平行线的性质和全等三角形的判定方法”是解答本题的关键.
24．（1）见解析；（2）（﹣3，﹣4）
【解析】
【分析】
（1）根据点A 和点B 的坐标可建立平面直角坐标系；
（2）利用平移变换的定义和性质可得答案．
【详解】
解：（1）如图所示，
（2）如图所示，△A ′B ′C ′即为所求，其中点C ′的坐标为（﹣3，﹣4），
故答案为：（﹣3，﹣4）．
【点睛】
本题考查的知识点是作图-平移变换，找出三角形点A的平移规律是解此题的关键．25．（1）2000；（2）y＝5x﹣750；（3）甲送250单，乙送950单
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以求得“外卖小哥”某月送了500单的收入情况；
（2）分段函数，运用待定系数法解答即可；
（3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得甲、乙送单量各是多少．
【详解】
解：（1）由题意可得，
“外卖小哥”某月送了500单，收入为：4×500＝2000元，
故答案为：2000；
（2）当0≤x＜750时，y＝4x
当x≥750时，
当x＝4时，y＝3000
设y＝kx+b，根据题意得
3000750 55001250
k b
k b
=+
⎧
⎨
=+
⎩
，
解得
5
750
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴y＝5x﹣750；
（3）设甲送a单，则a＜600＜750，
则乙送（1200﹣a）单，
若1200﹣a＜750，则4a+4（1200﹣a）＝4800≠5000，不合题意，
∴1200﹣a＞750，
∴4a+5（1200﹣a）﹣750＝5000，
∴a＝250，
1200﹣a＝950，
故甲送250单，乙送950单．
【点睛】
本题考查的知识点是一次函数的应用以及二元一次方程组，从函数图象中找出有用的信息是解此题的关键．
四、压轴题
26．（1）AB∥CD，理由见解析；（2）证明见解析；（3）45°．
【解析】
【分析】
（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证
AB∥CD；
（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，故结合已知条件GH ⊥EG ，易证PF ∥GH ； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得
90902KPG PKG HPK ︒︒∠=-∠=-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知
1452
QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ =45°．
【详解】
（1）AB ∥CD ，
理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
又∵∠1=∠AEF ，∠2=∠CFE ，
∴∠AEF +∠CFE =180°，
∴AB ∥CD ；
（2）由（1）知，AB ∥CD ，∴∠BEF +∠EFD =180°．
又∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ， ∴1()902
FEP EFP BEF EFD ︒∠+∠=∠+∠= ∴∠EPF =90°，即EG ⊥PF ．
∵GH ⊥EG ，
∴PF ∥GH ；
（3）∵∠PHK =∠HPK ，
∴∠PKG =2∠HPK ．
又∵GH ⊥EG ，
∴∠KPG =90°﹣∠PKG =90°﹣2∠HPK ，
∴∠EPK =180°﹣∠KPG =90°+2∠HPK ．
∵PQ 平分∠EPK ， ∴1452
QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠， ∴∠HPQ =∠QPK ﹣∠HPK =45°．
答：∠HPQ 的度数为45°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．
27．90︒，45︒；20︒，30︒；2a γβ+=，2a γβ-=.
【解析】
【分析】
（1）①如图①知1112EMC BMC ∠=∠，1112
C MF C MC ∠=∠得
()1112
EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=
∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.
（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出
11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.
②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出
()112906090A MC ︒︒︒-+∠=，即可求出解.
（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.
【详解】
解：（1）①如图①中，
1112EMC BMC ∠=∠，1112
C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=
∠⨯=+∠=， 故答案为90︒. ②如图②中，111111,22
EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠， ()111111904522
EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=
∠+∠=⨯=， 故答案为45︒.
（2）①如图③中由折叠可知， 11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，
1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，
11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，
11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，
111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=；
②如图④中根据折叠可知，
11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，
112290CMF ABE A MC ︒∠+∠+∠=，
112()90CMF ABE A MC ︒∴∠+∠+∠=，
()
1129090EMF AMC ︒︒∴-∠+∠=，
()
112906090AMC ︒︒︒∴-+∠=， 1130A MC ︒∴∠=；
（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，
2a γβ∴+=；
如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，
2a γβ∴-=.
【点睛】
本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.
28．（1）见解析；（2）CD 2AD +BD ，理由见解析；（3）CD 3+BD
【解析】
【分析】
（1）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ；
（2）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ，可得BD ＝CE ，由直角三角形的性质可得DE 2AD ，可得结论；
（3）由△DAB ≌△EAC ，可知BD ＝CE ，由勾股定理可求DH ＝32
AD ，由AD ＝AE ，AH ⊥DE ，推出DH ＝HE ，由CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3AD +BD ，即可解决问题；
【详解】
证明：（1）∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，
∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；
（2）CD 2AD +BD ，
理由如下：∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，
∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；
∴BD ＝CE ，
∵∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，
∴DE＝2AD，
∵CD＝DE+CE，
∴CD＝2AD+BD；
（3）作AH⊥CD于H．
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，
∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，
∴AH＝1
2 AD，
∴DH22
AD AH
3
2
AD，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，
故答案为：CD3+BD．
【点睛】
本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.
29．（1）见解析；（2）当F运动到AF＝AD时，FD∥BG，理由见解析；（3）FH＝HD，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）证明△DEG≌△CEB（AAS）即可解决问题．
（2）想办法证明∠AFD＝∠ABG＝45°可得结论．
（3）结论：FH＝HD．利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，
∵E是DC的中点，即DE＝CE，
∴△DEG≌△CEB（AAS），
∴DG＝BC；
（2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG．
理由：由（1）知DG＝BC，
∵AB＝AD+BC，AF＝AD，
∴BF＝BC＝DG，
∴AB＝AG，
∵∠BAG＝90°，
∴∠AFD＝∠ABG＝45°，
∴FD∥BG，
故答案为：F运动到AF＝AD时，FD∥BG；
（3）解：结论：FH＝HD．
理由：由（1）知GE＝BE，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG，
∵FD∥BG，
∴AE⊥FD，
∵△AFD为等腰直角三角形，
∴FH＝HD，
故答案为：FH＝HD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
30．（1）①见解析；②DE＝29
7
；（2）DE的值为517
【解析】
【分析】
（1）①先证明∠DAE＝∠DAF，结合DA＝DA，AE＝AF，即可证明；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．在Rt△DCF中，由DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，可得x2＝（7﹣x）2+32，解方程即可；
（2）分两种情形：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．由△EAD≌△ADC，推出∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝5，推出∠EBD＝90°，推出DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D在CB的延长线上时，如图3中，同法可得DE2＝153．
【详解】
（1）①如图1中，
∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，∴△BAE≌△CAF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，
∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，
∴∠DAE＝∠DAF，
∵DA＝DA，AE＝AF，
∴△AED≌△AFD（SAS）；
②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ABE＝∠ACF＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∵△AED≌△AFD（SAS），
∴DE＝DF＝x，
∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，
∴x2＝（7﹣x）2+32，
∴x＝29
7
，
∴DE＝29
7
；
（2）∵BD＝3，BC＝9，
∴分两种情况如下：
①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，
∴∠EBD＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，
∴DE＝
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．
同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，
∴DE＝
综上所述，DE的值为．
【点睛】
本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．。