【精品解析】河北省石家庄市2012届高三数学第二次教学质量检测 文(教师版)

【精品解析】河北省石家庄市2012届高三数学第二次教学质量检测
文（教师版）
【试题总体说明】试题总体看来,结构是由易到难,梯度把握比较好,有利于各类考生的发展,具有一定的区分度，完全遵守了新课标全国卷的试题模式。

试题难度适当，适合文科学生解答。

试题的主要特点如下：第一,立足教材,紧扣考纲,突出基础。

试题平稳而又不乏新意,平中见奇。

如选择题1,5等；第二,强化主干知识,知识涵盖广,题目亲切,如选择2,7等；第三,突出思想方法,注重能力考查，如选择12，填空题16等。

如解答题"考查基础知识的同时,注重考查能力"为命题的指导思想,将知识、能力和素质融为一体,如解答题19题;第四,结构合理,注重创新,展露新意。

如选择题12题和填空题16题，立意新颖，充分考查了学生的解题能力。

试卷充分关注对考生创新意识和创造思维能力的考查，如解答题如20题。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡或答题纸上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡或答题纸一并交回．
第I 卷(选择题60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．
150sin =
A ．21
B ．-2
1
C ．23
D ．-23
【答案】A
【解析】1
sin150=sin(18030)sin 30,2
-==
故答案为A. 2．已知全集U =N ，集合P ={1，2，3，4，5}，Q ={1，2，3，6，8}，则U (C Q)P
=
N
P 4 5
6,8
Q 1, 2, 3
A ．{1，2，3}
B ．{4，5}
C ．{6，8}
D ．{1，2，3，4，5} 【答案】B
【解析】由韦恩图可知，U (C Q)={4,5}.P
3．复数111i
z i i
=
+
-+，则z = A ．i B ．-i C ．1+i D ．1-i 【答案】D 【解析】
11(1)221,1.11(1)(1)2
i i i i i z i z i i i i i ++-+=
+===+∴=--+-+
4．已知中心在原点，焦点在y ，则它的渐近线方程为
A ．2y x =±
B ．y x =
C ．1
2
y x =± D ．y = 【答案】D
【解析】2,c b e c a a
=====∴=
6．函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 在[-2，1]上的最小值为
A ．-1
B ．0
C ．2
D ．3 【答案】A
【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2
()(0),
(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点
（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2
()2f x x x ∴=+， 则()x f 在[-2，1]上的最小值为()1 1.f -=-
7．已知平面向量a 、b ，|a |=1，|b |=3，且|b a +2|=7，则向量a 与向量b a +的夹角为 A ．
2π B ．3
π C ．6π
D ．π 【答案】B 【解析】
2
2
2447,1,3,4437,a b a a b b a b a b +=+⋅+===∴+⋅+=
0,a b ⋅=如图所示，+a a b 与的夹角为,
COA ∠tan .3
CA COA COA OA π
∠=
=∴∠= 8．图示是计算1+31+51+…+29
1值的程序框图，则图中(1)处应填写的语句是
A ．15≤i ?
B ．15>i ?
C ．16>i ?
D ．16≤i ?
【答案】B 【解析】
1
0,1,01,123,112;1
s n s n i ==∴=+==+==+=
14
1,3,1,325,213;33
s n s n i ==∴=+==+==+=
441
,5,,527,314;335s n s n i ==∴=+=+==+=
11111
1,7,1,729,415;35357s n s n i =++=∴=+++=+==+=
1111357⋅⋅⋅，，，的数列的通项公式为121n -，11
,15,2921n n =∴=-此时15,i =故图中(1)
处应填写的语句是15>i ?
9．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，求第一次为白球第二次为黑球的概率为 A ．
53 B ．103 C ．21 D ．25
6 【答案】B
【解析】
第一次为白球的概率为131535C C =，第二次为黑球的概率1
2141
2
C C =，则第一次为白球第二
次为黑球的概率3
5⨯
13.210
= 10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A ．
3
4
B ．6+5
C ．4+25
D ．
6+25 【答案】
D
【解析】根据三视图可知其几何体为四棱锥，且,SA ABCD ⊥面底面ABCD 为正方形，则有,,CD SD BC SB ⊥⊥11SA AB AD ===，，
则 11
1212
22422
SAD SAB SBC SCD ABCD
S S S S S
∆∆∆∆==⨯⨯===⨯==⨯=，，
故四棱锥的表面积为
11．已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边
长为
A ．6
B ．
C ．3
D ．2
【答案】A
【解析】正三棱柱111,A B C ABC -设底面边长为,a 其高为,SE h =，
O 为其外接球的球心，在Rt OAE ∆
中，,,,2h AO R OE AE ===
2222
2
2
2
222,()(),4()22343432h h h a
h AO AE OE R a a ∴=+∴=+∴=+=+≥⨯ah ∴≤此时正三棱柱的侧面积最大为333a h ah ⨯⨯==⨯=当且仅当
2h h ==时等号成立，故有3a a =∴= 12．对向量12(,)a a a =，12(,)b b b =定义一种运算“⊗”．
12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=，已知动点P 、Q 分别在曲线sin y x =和()y f x =上
运动，且OQ m OP n =⊗+(其中O 为坐标原点)，若1
(,3),(,0)2
6
m n π
==，则()
y f x =的最大值为 A ．
1
2
B ．2
C ．3
D 【答案】C 【解析】设
11(,),(,),P x y Q x y ==1(,3),(,0)26m n π==∴，11111
(,3)(,)(,3),22x m OP x y y ⊗=⊗=
(,)OQ m OP n x y =⊗+∴=，11(,3)2x y +(,0)6
π
，
1111,3,2,,2633
x y x y y x x y ππ∴=+=∴=-=
又11sin ,sin(2),3sin(2),333y y x x y x ππ=∴=-∴=-显然当sin(2)13
x π
-=时，取得最大
值为3.
第II 卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题至第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数()f x =的定义域为 ．
【答案】(]
[),01,-∞+∞
C
S A
B
O
E
A 1
B 1
C 1
【解析】
20,0 1.x x x x -≥∴≤≥或
14．在ABC ∆
中，60,2,A BC AC ∠===，则B ∠= ． 【答案】45
【解析】利用正弦定理可知：
223,,sin 26,,,45.sin sin sin 60sin 23
BC AC B BC AC A B B A B B =∴=∴=>∴>∠>∠∴∠=15．已知点Q (5，4)，动点P (x ，y )满足
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤-+≥+-0102022y y x y x ，则|PQ |的最小值为 ． 【答案】5
【解析】如图所示的可行域，直线AB 为
20,x y +-=过Q 点与直线AB 垂直的直线为
()45,10,
y x x y -=-∴--=与
20x
y +-=的交点为31(,)22，而B(1,1),A(0,2),因3
1,2
>故点Q 在20x y +-=的射影
不在AB 上，则最短距离为即为Q 点到B 5.=
16．抛物线2
4y x =的焦点为F ，则经过点F 、)4,4(M 且与抛物线的准线相切的圆的个数为 ． 【答案】2
【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，其准线为 1.x =-过点F 且与抛物线的准线相切，根据抛物线的定义可知圆心必落在抛物线上。

又(1,0)F 、)4,4(M 在圆上，并且M 点在抛物线上，因直线F M 的垂直平分线过圆心，故此时问题转化为求直线FM 与抛物线的交点个数，即为存在几个圆，显然直线FM 的垂直平分线与抛物线有2个交点，故满足条件的圆有2个。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)
已知数列{n a }为公差不为零的等差数列，1a =1，各项均为正数的等比数列{n b }的第1 项、第3项、第5项分别是1a 、3a 、21a ． (I)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)求数列{n a n b }的前n 项和．
（Ⅱ）1
(43)3n n n a b n -=-,
0122135393(47)3(43)3n n n S n n --∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯.
1231335393(47)3(43)3n n n S n n -=+⨯+⨯+
+-⨯+-⨯.……………8分
两式两边分别相减得：
2312143434343(43)3n n n S n --=+⨯+⨯+⨯+
+⨯--⨯……………10分
231114(3333)(43)343(13)1(43)313
(54)35
n n
n n
n n n n --=+++++--⨯⨯⨯-=+--⨯-=-⨯-
(45)352
n n n S -+∴=.………………12分
18．(本小题满分l2分)
如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 为菱形，∠ABC=60 ，EC ⊥面A BCD ，FA ⊥面ABCD ，G 为BF 的中点，若EG//面ABCD ．
(I)求证：EG ⊥面ABF ；
(Ⅱ)若AF=AB=2，求多面体ABCDEF 的体积．
【命题分析】本题考查线面垂直的证明和多面体的体积，考查学生的空间想象能力和转换划归能力.第一问中关键通过中点寻找平行，利用线面平行的性质和线面垂直的判定定理进行证明；第二问中利用体积分割进行求解.
(Ⅰ)解:取AB 的中点M ，连结GM,MC. 可得GM //FA,
因为EC ⊥面ABCD, F A ⊥面ABCD, 所以CE//FA,
∴EC//GM.……………2分 ∵面CEGM ⋂面ABCD=CM, EG// 面ABCD,
∴EG//CM,……………4分
∵在正三角形ABC 中，CM ⊥AB,又FA ⊥CM ∴EG ⊥AB, EG ⊥AF,
∴EG ⊥面ABF.……………6分
（Ⅱ）V =B ACEF D ACEF V V --+,……………8分
1
3ACEF S BD =⋅,………………10分 11
(12)232
=⨯+⨯⨯=.……………12分 19．(本小题满分12分)
某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人l0次训练的成绩(单位：秒)如下：
(I)请画出适当的统计图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从
成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)．
(Ⅱ)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11．5，14．5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0．8秒的概率． 【命题分析】本题考查茎叶图、频率分布直方图和几何概型的概率问题.考查学生的画图能力和计算能力。

对于第二问根据几何概型的基本思路求解. 解：(Ⅰ)
茎叶图
…
…4分或 …………4分
从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛更好；……6分
（Ⅱ）设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，则
0.8x y -<,……………8分
得0.80.8x y x -+<<+，如图阴影部分面积即为
33 2.2 2.2 4.16⨯-⨯=，…………10分
则(0.8)(0.80.8)P x y P x y x -<=-+<<+
4.16104
33225
=
=
⨯.……………12分 20．(本小题满分12分)
点P 为圆O ：42
2=+y x 上一动点，PD ⊥x 轴于D 点，记线段PD 的中点M 的运动轨
迹为曲线C ．
(I)求曲线C 的方程；
(II)直线l 经过定点（0，2）与曲线C 交于A 、B 两点，求△OAB 面积的最大值． 【命题分析】本题考查轨迹问题、直线和曲线相交问题和三角形面积的最值问题，考查学生利用解析法解题的能力和计算能力。

第一问中，利用相关点法求轨迹；第二问设出直线方程的斜距式，利用直线和曲线联立借助韦达定理、弦长公式和三角形的面积公式得到关于k 的函数关系式，通过构造均值不等式求解面积的最值。

解：（Ⅰ）设()00,P x y ，(),M x y ，由0
01
2
x x y y =⎧⎪
⎨=⎪⎩，得002x x y y =⎧⎨=⎩，………2分 代入2
2
4x y +=，得 2
214
x y +=,轨迹为焦点在x 轴上的椭圆.……………4分
原点到直线l 距离为
d = ④…………8分
由面积公式及③④得
12OAB
S AB d ∆=⨯==
,
1=≤=,……………10分 当且仅当 22164343
k k -=-，即2434k -=时，等号成立. 此时OAB S ∆最大值为1.…………12分
21．(本小题满分l2分)
已知函数)1(ln )(--=x a x x f ，a ∈R．
(I)讨论函数)(x f 的单调性；
(Ⅱ)当1≥x 时，)(x f ≤1
ln +x x 恒成立，求a 的取值范围．
当0a >时， ()f x 在)1
,0(a 上单调递增，在),1(+∞a
单调递减.……………4分 (Ⅱ)1
)1(ln 1ln )(2+--=+-x x a x x x x x f , 令)1)(1(ln )(2
≥--=x x a x x x g , ax x x g 21ln )(-+=',令()()ln 12F x g x x ax '==+-,
12()ax F x x
-'=,………………6分 (1)a 0,≤若()0F x '>,[)g (x)1,g (x)g (1)1-2a 0'''+∞≥=>在递增，
[)0)1()(,,1)(=≥+∞∴g x g x g 递增在,
不符合题意从而,01
x lnx -
f(x)≥+.……………8分 (2)1110a ,),()0,(()(1,,)2122x F x g x a a ''<<>∴∈若当在递增, g (x)g (1)1-2a,''>=从而以下论证(1)同一样，所以不符合题意.……………10分
[)1(3),()01,2
a F x '≥≤+∞若在恒成立, [)02a -1(1)g (x )g 1,(x )g ≤='≤'+∞'∴递减，在,
[)01ln )(,0)1()(,,1g(x)≤+-
=≤∴+∞x x x f g x g 递减在从而, 综上所述，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21
………………12分
请者生在第22～24三题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题记分．
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 为圆O 的直径，P 为圆O 外一点，过P 点作PC ⊥AB 于C ，交圆O 于D 点，PA 交圆O 于E 点，BE 交PC 于F 点．
(I)求证：P ABE ∠=∠；
(Ⅱ)求证：2
CD CF CP =．
【命题分析】本题考查几何证明包括角的相等和三角形相似，考查学生的平面几何的想象能力和目标意识.
证明：（Ⅰ）依题意， 090AEB ACP ∠=∠=，
所以在 Rt ACP ∆中，90;P PAB ∠=-∠……………2分
在 Rt ABE ∆中,90;ABE PAB ∠=-∠…………4分
所以.P ABE ∠=∠……………5分
（Ⅱ）在ADB Rt ∆中，2CD AC CB =⋅，…………6分
由①得BCF ∆∽PCA ∆, ∴BC CF PC AC
=,……………8分 ∴2CD BC AC CF CP
=⋅=⋅, 所以2CD CF CP =.……………10分
【命题分析】本题坐标系与参数方程的互化，考查学生的转化能力和灵活应用参数几何含义的解题能力.
解：(Ⅰ)21:(0),C y x x =≠
2:10C x y +-=,则2C 的参数方程
为：1,(2.x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）
，…………2分 代入1C 得0222
=-+t t ，……………4分 104)(2122121=-+=-=∴t t t t t t AB .……………6分
(Ⅱ)221==⋅t t MB MA .…………10分
24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲
已知函数|32||12|)(-++=x x x f ．
(I)求不等式)(x f ≤6的解集；
(Ⅱ)若关于x 的不等式)(x f >a 恒成立，求实数a 的取值范围．。