春季初二第二十四讲 八年级下重难点期末冲刺(通用) (教师版)

复习检查
折叠问题与勾股定理
问题定位
1如图，把矩形OABC放⼊平⾯直⻆坐标系xO中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB＝15，对⻆线AC所在直线解析式为y＝﹣x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC 上的点D处．
（1）求点B的坐标；
（2）求EA的⻓度；
（3）点P是y轴上⼀动点，是否存在点P使得△PBE的周⻓最⼩，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案
解答【解答】解：（1）∵AB ＝15，四边形OABC 是矩形，
∴OC ＝AB ＝15，
∴C （0，15），代⼊y ＝y ＝﹣x +b 得到b ＝15，
∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x +15，
令y ＝0，得到x ＝9，
∴A （9，0），B （9，15）．
（2）在Rt △BCD 中，BC ＝9，BD ＝AB ＝15，
∴CD ＝＝12，
∴OD ＝15﹣12＝3，
设DE ＝AE ＝x ，
在Rt △DEO 中，∵DE ＝OD +OE ，
∴x ＝3+（9﹣x ），
∴x ＝5，
∴AE ＝5．
（3）如图作点E 关于y 轴的对称点E ′，连接BE ′交y 轴于P ，此时△BPE 的周⻓最⼩
．
∵E （4，0），
∴E ′（﹣4，0），
222222
设直线BE′的解析式为y＝kx+b，则有，解得，
∴直线BE′的解析式为y＝x+，
∴P（0，）．
2如图，点E是矩形ABCD的边AD上⼀点，且∠CED＝67.5°，把△CDE沿CE所在的直线对折，得到△CHE，EH的延⻓线恰好经过点B，连接AH并延⻓，交CD于点F．
（1）若AB＝1，求AD的⻓；
（2）求证：EH＝FC．
答案
解答【解答】（1）解：∵∠CED＝67.5°，把△CDE沿CE所在的直线对折，得到△CHE，∴∠CEH＝∠CED＝67.5°，
∴∠BED＝2∠CED＝135°，
∴∠AEB＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB＝45°，
∵∠CED＝67.5°，∠D＝90°，
∴∠DCE＝22.5°，
∴∠ECH＝∠DCE＝22.5°，
∴∠DCH＝45°，
∴∠BCH＝45°，
∴∠BHC＝90°，
∴△BHC是等腰直⻆三⻆形，
∵HC＝DC，DC＝AB＝1，
∴BC＝，
折叠常⻅模型：
（⼀）顶点折叠到对边
上
∴AD ＝BC ＝；
（2）证明：∵BH ＝CH ＝CD ，CD ＝AB ，
∴BH ＝AB ，
∵∠ABE ＝45°，
∴∠ABH ＝∠AHB ＝67.5°，
∵∠BAE ＝90°，
∴∠HAE ＝22.5°，
∵∠AHB ＝67.5°，∠BHC ＝90°，
∴∠CHF ＝22.5°，
∴∠EAH ＝∠CHF ，
∵∠AEB ＝∠ABE ＝45°，
∴AB ＝AE ，
∴CH ＝AE ，
在△AEH 和△HCF 中
，
，
∴△AEH ≌△HCF （AAS ），
∴EH ＝FC
．
精准突破
（⼆）顶点折叠到对⻆线上
（三）将矩形沿对⻆线折叠
（四）将对⻆顶点重合
巩固练习
3如图，⼀次函数y ＝﹣x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合、直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）求OC的⻓度
；
答案
解答
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y＝3，
故点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，3）．（每空1分）
（2）设OC ＝x ，则AC ＝CB ＝4﹣x ，
∵∠BOA ＝90°，
∴OB +OC ＝CB ，
3+x ＝（4﹣x ），（2分）
解得，
∴OC ＝．（3分）
2222224如图1，将⼀张矩形纸⽚ABCD 沿着对⻆线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F ．
（1）求证：BF ＝DF ；
（2）如图2，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连结FG 交BD 于点O ．
①求证：四边形BFDG 是菱形；
②若AB ＝3，AD ＝4，求FG 的⻓
．
答案
解答
【解答】（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC ＝∠DBE ，
⼜AD ∥BC ，
∴∠DBC ＝∠ADB ，
∴∠DBE ＝∠ADB ，
∴DF ＝BF ；
（2）①∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，
∴FD ∥BG ，
⼜∵DG ∥BE ，
∴四边形BFDG 是平⾏四边形，
∵DF＝BF，
∴四边形BFDG是菱形；
②∵AB＝3，AD＝4，
∴BD＝5．
∴OB ＝BD ＝．
假设DF＝BF＝x，∴AF＝AD﹣DF＝4﹣x．
222222∴在直⻆△ABF中，AB+AF＝BF，即3+（4﹣x）＝x，解得x ＝，
即BF ＝，
∴FO ＝＝＝，
．
∴FG＝2FO ＝
【查缺补漏
】
总结优化
5已知：如图1，在平⾯直⻆坐标系中，⼀次函数y ＝x +3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 是点A 关于y 轴对称的点，过点C 作y 轴平⾏的射线CD ，交直线AB 与点D ，点P 是射线CD 上的⼀个动点．
（1）求点A ，B 的坐标．
（2）如图2，将△ACP 沿着AP 翻折，当点C 的对应点C ′落在直线AB 上时，求点P 的坐标
．
答案
解答【解答】解：（1）令x ＝0，则y ＝3，
∴B （0，3），
令y ＝0，则x +3＝0，
∴x ＝﹣4，
∴A （﹣4，0）；
（2）∵点C 是点A 关于y 轴对称的点，
∴C （4，0），
∵CD ⊥x 轴，
∴x ＝4时，y ＝6，∴D （4，6），
∴AC ＝8，CD ＝6，AD ＝10，
由折叠知，AC '＝AC ＝8，
∴C 'D ＝AD ﹣AC '＝2，
设PC ＝a ，
∴PC '＝a ，DP ＝6﹣a ，
在Rt △DC 'P 中，a +4＝（6﹣a ），
∴a ＝，
22
∴P（4，）；
6如图，⻓⽅形纸⽚ABCD，AD∥BC，将⻓⽅形纸⽚折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF．
（1）求证：BE＝BF．
（2）若∠ABE＝18°，求∠BFE的度数．
．
（3）若AB＝4，AD＝8，求AE的⻓
答案
解答【解答】解：（1）由题意得：∠BEF＝∠DEF；
∵四边形ABCD为矩形，
∴DE∥BF，
∴∠BFE＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABF＝90°；⽽∠ABE＝24°，
∴∠EBF＝90°﹣24°＝66°；
⼜∵BE＝BF，
∴∠BFE的度数＝＝57°；
（3）由题意知：BE＝DE；
设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x，
222
由勾股定理得：（8﹣x）＝4+x，解得：x＝3．
即AE的⻓为3．
【举⼀反三】
7如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上⼀点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B
落在点B ′处．当△CEB ′为直⻆三⻆形时，BE 的⻓为
．
答案
解答【解答】解：当△CEB ′为直⻆三⻆形时，有两种情况
：
①当点B ′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC ，
在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，
∴AC ＝＝5，
∵∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，
∴∠AB ′E ＝∠B ＝90°，
当△CEB ′为直⻆三⻆形时，只能得到∠EB ′C ＝90°，
∴点A 、B ′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对⻆线AC 上的点B ′处，
∴EB ＝EB ′，AB ＝AB ′＝3，
∴CB ′＝5﹣3＝2，
设BE ＝x ，则EB ′＝x ，CE ＝4﹣x ，
在Rt △CEB ′中，
∵EB ′+CB ′＝CE ，
∴x +2＝（4﹣x ），解得x ＝，
∴BE ＝；
②当点B ′落在AD 边上时，如答图2所示．
222222
此时ABEB ′为正⽅形，∴BE ＝AB ＝3．
综上所述，BE 的⻓为或3．
故答案为：或3．
8以矩形OABC 的OC 边所在直线为x 轴，OA 边所在直线为y 轴建⽴平⾯直⻆坐标系如图所示，已
知OA ＝8，OC ＝10，将矩形OABC 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点E 处．
（1）求点E 的坐标；
（2）求直线AD 的解析式；
（3）x 轴上是否存在⼀点P ，使得△PAD 的周⻓最⼩？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
解答【解答】解：（1）由折叠得：AB ＝AE ＝10，
∵∠AOC ＝90°，OA ＝8，
∴OE ＝6，
∵E （6，0）；
（2）EC ＝OC ﹣OE ＝10﹣6＝4，
设DB ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，DC ＝8﹣x ，
Rt △EDC 中，由勾股定理得：DE ＝DC +EC ，
∴x ＝（8﹣x ）+4，
x ＝5，
∴DC ＝8﹣5＝3，
∵D （10，3），
设直线AD 的解析式为：y ＝kx +b ，∴
，解得：，
222222
【⽅法总结
】
∴直线AD 的解析式为：y ＝﹣x +8；
（3）存在，作A 关于点O 的对称点A '（0，﹣8），
连接A 'D 交x 轴于P ，此时△PAD 的周⻓最⼩，
设直线A 'D 的解析式为：y ＝kx +b ，∴
，解得：，
∴直线AD 的解析式为：y ＝
x ﹣8；
当y ＝0时，x ＝
，∴P （，0
）．
效果验证
9如图1，在平⾯直⻆坐标系中，⼀次函数y ＝﹣2x +8的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，过
点A 作AB ⊥x 轴，垂⾜为点A ，过点C 作CB ⊥y 轴，垂⾜为点C ，两条垂线相交于点B
．
（1）线段AB ，BC ，AC 的⻓分别为AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ；
（2）折叠图1中的△ABC ，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图2．求线段AD 的⻓；
答案
解答【解答】解：（1）∵⼀次函数y ＝﹣2x +8的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，
∴A （4，0），C （0，8），
∴OA ＝4，OC ＝8，
∵AB ⊥x 轴，CB ⊥y 轴，∠AOC ＝90°，
∴四边形OABC 是矩形，
∴AB ＝OC ＝8，BC ＝OA ＝4，
在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AC ＝
＝4，
故答案为：8，4，
4；（2）由（1）知，BC ＝4，AB ＝8，
由折叠知，CD ＝AD ，
在Rt △BCD 中，BD ＝AB ﹣AD ＝8﹣AD ，
根据勾股定理得，CD ＝BC +BD ，
即：AD ＝16+（8﹣AD ），
∴AD ＝5，
2222210如图，在矩形纸⽚ABCD 中，已知AB ＝2，BC ＝，点E 在边CD 上移动，连接AE ，将多边形
ABCE 沿直线AE 翻折，得到多边形AB ′C ′E ，点B 、C 的对应点分别为点B ′、C ′．
（1）当点E与点C重合时，求DF的⻓；
（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE＝22.5°，求△DFG的⾯积；答案
解答【解答】解：（1）如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝2，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴AC=4
∴∠ACB＝30°，
由翻折不变性可知：∠ACB＝∠ACF＝30°，∠DCF＝30°，
∴设DF＝x；FC=2x；
∴
x=
（2）如图2中，
∵∠DAE＝22.5°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝∠EAB′＝67.5°，
∴∠B′AF＝45°，
∵∠B′＝90°，
∴∠B′AF＝∠B′F A＝45°，
∵B′A＝B′F＝2，
∴AF＝2，
∴DF＝2﹣2，
∵∠AFB′＝∠DFG＝45°，
∴DG＝DF＝2﹣2，
2
∴S＝•（2﹣2）＝
△DFG
强化提升
11如图所示，把矩形纸⽚OABC放⼊直⻆坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，连接AC，且AC＝，
（1）求A、C两点的坐标；及AC所在直线的解析式；
（2）将纸⽚OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸⽚重叠部分的⾯积．（3）求EF所在的直线的函数解析式．
答案
解答【解答】解：
（1）∵＝，
∴可设OC＝x，则OA＝2x，
222
在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC+OA＝AC，
∴x +（2x ）＝（4
），解得x ＝4（x ＝﹣4舍去），
∴OC ＝4，OA ＝8，∴A （8，0），C （0，4），
设直线AC 解析式为y ＝kx +b ，∴，解得，
∴A （8，0），C （0，4），直线AC 解析式为y ＝﹣x +4；
（2）由折叠的性质可知AE ＝CE ，
设AE ＝CE ＝y ，则OE ＝8﹣y ，
在Rt △OCE 中，由勾股定理可得OE +OC ＝CE ，
∴（8﹣y ）+4＝y ，解得y ＝5，
∴AE ＝CE ＝5，
∵∠AEF ＝∠CEF ，∠CFE ＝∠AEF ，
∴∠CFE ＝∠CEF ，
∴CE ＝CF ＝5，
∴S ＝CF •OC ＝×5×4＝10，
即重叠部分的⾯积为10；
（3）由（2）可知OE ＝3，CF ＝5，
∴E （3，0），F （5，4），
设直线EF 的解析式为y ＝k ′x +b ′，∴，解得，
∴直线EF 的解析式为y ＝2x ﹣6．
222222222△CEF 12在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 、E 分别是斜边AB 和直⻆边CB 上的点，把△ABC 沿
着直线DE 折叠，顶点B 的对应点是B ′．
（1）如图（1），如果点B ′和顶点A 重合，求CE 的⻓；
（2）如图（2），如果点B ′和落在AC 的中点上，求CE 的⻓．
答案
解答【解答】解：（1）如图（1），设CE ＝x ，则BE ＝8﹣x ；
由题意得：AE ＝BE ＝8﹣x ，
由勾股定理得：x +6＝（8﹣x ），
解得：x ＝，
即CE 的⻓为：．
（2）如图（2），
∵点B ′落在AC 的中点，
∴CB ′＝AC ＝3；
设CE ＝x ，类⽐（1）中的解法，可列出⽅程：x +3＝（8﹣x ）解得：x ＝．
即CE 的⻓为：
．222222
四边形存在性问题
问题定位
13如图，边⻓为3的正⽅形OABC摆放在平⾯直⻆坐标系xOy中．点A在x轴上．点C在y轴上．点P是BC边上的动点（不与B，C重合），点E是射线CO上的动点，连接AP，射线PE交x轴于点D．
．
∠CPE＝∠APB，EF∥AP交x轴于点F
（1）当△APD为等边三⻆形时，求点P的坐标；
（2）当以A、P、E、F为顶点的四边形是平⾏四边形时，求直线PE的解析式．
答案解：（1）∵四边形OABC为边⻓为3的正⽅形，
∴OA∥BC，AB＝3，∠B＝90°，
∴∠APB＝∠P AD．
⼜∵△APD为等边三⻆形，
∴∠APB＝∠P AD＝60°，
∴BP ＝AP．
222222
在Rt△ABP中，AP﹣BP＝AB，即4BP﹣BP＝3，
∴BP ＝，
∴CP＝3﹣，
∴当△APD为等边三⻆形时，点P的坐标为（3﹣，3）．
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，如图所示．
∵以A、P、E、F为顶点的四边形是平⾏四边形，AP∥EF，
∴PD＝ED．
在△PDM和△EDO中，，
∴△PDM和△EDO（AAS），
∴DM＝DO，PM＝EO＝3，
类型⼀：三个定点⼀个动点
∴点E 的坐标为（0，﹣3）．
∵∠CPE ＝∠APB ，BC ∥OA ，
∴∠P AD ＝∠PDA ，
⼜∵PM ⊥x 轴，
∴AM ＝DM ，
∴DO ＝DM ＝AM ＝OA ＝1，
∴OM ＝2，
∴点P 的坐标为（2，3）．
设直线PE 的解析式为y ＝kx +b ，
将P （2，3）、E （0，﹣3）代⼊y ＝kx +b ，得：，解得：，
∴当以A 、P 、E 、F 为顶点的四边形是平⾏四边形时，直线PE 的解析式为y ＝3x ﹣3
．
解
答
精准突破
如上图，平⾏四边形ABCM 在坐标系中，点A 和B 的坐标分别为（a,n ）、（b,m ），根据平⾏四边形的性质和平移原理，B 点怎么移动到A 点，C 点就怎么移动到M 点，⽐如若点B 先向右平移3个单位，纵坐标不变，那么同样的把点C 的“横坐标+3” “纵坐标不变”即可到点M 的坐标。

类型⼆：两个定点，两个动点
分类讨论：以BC 为边，以BC 为对⻆线
已知点C （2，0）、B （4，0），点A 为x 轴上⼀个动点，试在直⻆坐标平⾯内确定点M ，使得点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是菱形
以BC 为边：BC=BA ，BC=CA ，BC=BA 以BC 为对⻆线：BA =A
C
解题⽅法
（1）分析定点、动点；
14 2 33（2）连接定线段，这时往往要分两种情况，若定线段是平⾏四边形的边，则通过平移确定点的坐标；若定线段是平⾏四边形的对⻆线，则利⽤四边形的性质确定点的坐标；
（3）结合图形进⾏验
证
巩固练习
14
如图，在平⾯直⻆坐标系中，函数y ＝2x +8的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点．（1）求直线AM 的函数解析式．（2）试在直线AM 上找⼀点P ，使得S ＝S ，请直接写出点P 的坐标．
（3）若点H 为坐标平⾯内任意⼀点，在坐标平⾯内是否存在这样的点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是平⾏四边形？若存在，请直接写出所有点H 的坐标；若不存在，请说明理由．
△
ABP
△
AOB
答案解：（1）当x ＝0时，y ＝2x +8＝8，
∴点B 的坐标为（0，8）；
当y ＝0时，2x +8＝0，解得：x ＝﹣4，∴点A 的坐标为（﹣4，0）．∵点M 为线段OB 的中点，∴点M 的坐标为（0，4）．
设直线AM 的函数解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （﹣4，0），M （0，4）代⼊y ＝kx +b ，得：，解得：，
∴直线AM 的函数解析式为y ＝x +4．（2）设点P 的坐标为（x ，x +4），∵S ＝S ，
∴BM •|x ﹣x |＝OA •OB ，即×4×|x +4|＝×4×8，解得：x ＝﹣12，x ＝4，
△
ABP
△
AOB
P A 12
∴点P 的坐标为（﹣12，﹣8）或（4，8）．（3）设点H 的坐标为（m ，n ）．分三种情况考虑（如图所示
）：
①当AM 为对⻆线时，8-4=0-n ；0-（-4）=0-m ，解得：，
∴点H 的坐标为（﹣4，﹣4）；
②当AB 为对⻆线时，0-（-4）=0-m ；8-4=n-0解得：，
∴点H 的坐标为（﹣4，4）；
③当BM 为对⻆线时0-（-4）=m-0，n-4=8-0，解得：，
∴点H 的坐标为（4，12）．
综上所述：在坐标平⾯内存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是平⾏四边形，点H 的坐标为（﹣4，﹣4），（﹣4，4）或（4，12）．
12
3总结优化
15
如图，直线l ：y ＝﹣0.5x +b 分别与x 轴、y 轴交于A ．B 两点，与直线l ：y ＝kx ﹣6交于点C （4，2）．
（1）点A 坐标为（ ， ），B 为（ ， ）；
（2）在线段BC 上有⼀点E ，过点E 作y 轴的平⾏线交直线l 于点F ，设点E 的横坐标为m ，当m 为何值时，四边形OBEF 是平⾏四边形．
122
答案解：（1）将C （4，2）代⼊y ＝﹣0.5x +b ，得：
﹣2+b ＝2，解得：b ＝4，∴直线l 的解析式为y ＝﹣0.5x +4．当x ＝0时，y ＝﹣0.5x +4＝4，∴点B 的坐标为（0，4）；当y ＝0时，﹣0.5x +4＝0，解得：x ＝8，
∴点A 的坐标为（8，0）．故答案为：（8，0）；（0，4）．（2）将C （4，2）代⼊y ＝kx ﹣6，得：4k ﹣6＝2，解得：k ＝2，∴直线l 的解析式为y ＝2x ﹣6．∵点E 的横坐标为m ，
∴点E 的坐标为（m ，﹣0.5m +4），点F 的坐标为（m ，2m ﹣6），∴EF ＝﹣0.5m +4﹣（2m ﹣6）＝﹣2.5m +10．∵四边形OBEF 是平⾏四边形，∴EF ＝OB ，即﹣2.5m +10＝4，解得：m ＝2.4，
∴当m 为2.4时，四边形OBEF 是平⾏四边形．
12
解答
16如图，平⾯直⻆坐标系中，矩形OABC的对⻆线AC＝12，∠ACO＝30°，过点G（0，﹣6）作GF⊥AC，垂⾜为F，直线GF分别交AB、OC于点E、D，
（1）直接写出B、C两点的坐标；B ；C ；
（2）求直线DE的解析式；
（3）判断三⻆形AOF形状，并说明理由；
（4）若点M在直线DE上，平⾯内是否存在点P，使以O、F、M、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解：（1）在Rt△AOC中，∠ACO＝30°，AC＝12，
∴AO＝AC＝＝6，
由勾股定理得：OC＝＝6，
∵四边形OABC是矩形，
∴C（6，0），B（6，6）；
故答案为：（6，6），（6，0）；
（2）∵G（0，﹣6），
∴OG＝6，
∵GF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠GOD＝∠DFC＝90°，
∵∠ODG＝∠FDC，
∴∠OGD＝∠ACO＝30°，设OD=x，则DG=2x
在直⻆△ODG中， ；得 OD＝2 ．
∴D（2，0），
设直线DE的解析式为：y＝kx+b，
把G（0，﹣6），D（2，0）代⼊得：，得，∴直线DE的解析式为：y＝x﹣6；
（3）证明：△AOF是等边三⻆形，理由是：连接OF，如图1，
Rt△AOC中，∠ACO＝30°，
∴∠OAC＝60°，
∵∠AGF＝30°，AG=6+6=12，
∴AF=6，则AF=AO
∴△AOF是等边三⻆形；
（4）由（2）知F为线段AC中点，
∵A（0，6），B的坐标是（6，6）；
∴F（3，3）
设点M为（m，）
①当FM是菱形的边时，如图2，OP∥FM，
OF=FM
FM=
OF=6
∴m=，点M为，此时P为
m=，M为，此时P为
②当OF是对⻆线时，OM=MF
【⽅法总结
】
OM=FM=解得m=
，点M 为
，点P 为
③当OF 为边时，M 与G 重合，如图4，这个时候P 在第四象限，此时点P 的坐标为：（ 3 ，﹣
3）．
则P 的坐标是：（ 3 ，﹣3）或（3， 3 ）或（﹣3，﹣ 3 ）或（，3）．
解
答效果验证
17
如图所示，直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点C 是y 轴负半轴上⼀点，BA ＝BC ．（1）求△ABC 的⾯积和点C 的坐标；
（2）在平⾯内是否存在点P ，使以P 、A 、B 、C 为顶点的四边形为平⾏四边形？若存在，请直接写出所有的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解：（1）令x ＝0代⼊解析式可得：y ＝3，
令y ＝0代⼊解析式可得：x ＝4，所以A （4，0），B （0，3），∵点C 是y 轴负半轴上⼀点，BA ＝BC ，∴点C 坐标为（0，﹣2），∴△ABC 的⾯积＝
；
（2）当AB 是对⻆线时，AP ∥BC ，AP ＝BC ＝5，A （4，0），∴点P （4，5
）；
当BA ∥CP ，且BA ＝CP 时，∴点P （﹣4，1）；
当AC 是对⻆线时，AP ∥BC ，AP ＝BC ＝5，A （4，0），∴点P （4，﹣5）；
∴存在P （4，5）或（﹣4，1）或（4，﹣5），使以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为平⾏四边形．123解
答
强化提升
18如图，在平⾯直⻆坐标系中，直线y ＝﹣x +8分别交两轴于点A 、B ，点C 的横坐标为4，点D 在线段OA 上，且AD ＝7．（1）求点D 的坐标；（2）求直线CD 的解析式；
（3）在平⾯内是否存在这样的点F ，使以A 、C 、D 、F 为顶点的四边形为平⾏四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，不必说明理由．
解：（1）∵直线y＝﹣x+8分别交两轴于点A、B，
∴当x＝0时，y＝8，当y＝0时，x＝8
∴点A（8，0），点B（0，8）
∵点D在线段OA上，且AD＝7．
∴点D（1，0）
（2）∵点C的横坐标为4，且在直线y＝﹣x+8上，
∴y＝﹣4+8＝4
∴点C（4，4）
设直线CD的解析式y＝kx+b
∴解得：k＝，b＝﹣
∴直线CD解析式为：y＝x﹣
（3）设点F（x，y）
若以CD，AD为边，
∵四边形ADCF是平⾏四边形，点A（8，0），点D（1，0），点C（4，4），点F（x，y）
∴x＝11，y＝4
∴点F（11，4）
若以AC，AD为边
∵四边形ADFC是平⾏四边形，点A（8，0），点D（1，0），点C（4，4），点F（x，y）
∴x＝﹣3，y＝4
∴点F（﹣3，4）
若以CD，AC为边，
∵四边形CDF A是平⾏四边形，点A（8，0），点D（1，0），点C（4，4）
∴点F（x，y）x＝5，y＝﹣4
∴点F（5，﹣4）
综上所述：点F的坐标是（11，4），（5，﹣4），（﹣3，4），
解答
19如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），矩形OABC沿直线BD 折叠，使得点C落在对⻆线OB上的点E处，折痕与OC交于点D．
（1）求直线OB的解析式及线段OE的⻓；
（2）求直线BD的解析式及点E的坐标；
（3）若点P 是平⾯内任意⼀点，点M 是直线BD 上的⼀个动点，过点M 作MN ⊥x 轴，垂⾜为点N ，在点M 的运动过程中是否存在以P 、N 、E 、O 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解：（1）设直线OB 的解析式为y ＝kx ，
将点B （6，8）代⼊y ＝kx 中，得8＝6k ，∴k ＝，
∴直线OB 的解析式为y ＝x ，
∵四边形OABC 是矩形，且B （6，8），∴A （6，0），C （0，8），∴BC ＝OA ＝6，AB ＝OC ＝8，根据勾股定理得，OB ＝10，由折叠知，BE ＝BC ＝6，∴OE ＝OB ﹣BE ＝10﹣6＝4；（2）设OD ＝m ，∴CD ＝8﹣m ，
由折叠知，∠BED ＝∠OCB ＝90°，DE ＝CD ＝8﹣m ，在Rt △OED 中，OE ＝4，
根据勾股定理得，OD ﹣DE ＝OE ，∴m ﹣（8﹣m ）＝16，∴m ＝5，
∴DE ＝8﹣m ＝3，D （0，5），设直线BD 的解析式为y ＝k 'x +5，∵B （6，8），∴6k '+5＝8，
22222
∴k'＝，
∴直线BD的解析式为y＝x+5，
由（1）知，直线OB的解析式为y＝x，
设点（e，e），根据△OED的⾯积得，OD•e＝DE•OE，∴e＝，
∴E（，）；
（3）由（1）知，OE＝4，
∵以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形，
∴①当OE是菱形的边时，ON＝OE＝4，
∴N（4，0）或（﹣4，0），
Ⅰ、当N（4，0）时，
∵MN⊥x轴，
∴点M的横坐标为4，
∵点M是直线BD：y＝x+5上，
∴M（4，7），
Ⅱ、当N（﹣4，0）时，
∵MN⊥x轴，
∴点M的横坐标为﹣4，
∵点M是直线BD：y＝x+5上，
∴M（﹣4，3），
②当OE是菱形的对⻆线时，则NE=ON，
由（2）知，E（，），设点N为（m，0）
∴ON=m，NE=
∴m=
∴N（，0）
∵MN⊥x轴，
∴点M的横坐标为，
∵点M是直线BD：y＝x+5上，
∴M（，），
即：点M的坐标为M（4，7）或（﹣4，3）或（，）．
解答
最短路径问题
问题定位
20如图，在正⽅形ABCD中，E是AB上⼀点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上⼀动点，则PB+PE的最⼩值是 ．
答案10
解答
21如图，在平⾯直⻆坐标系中，⼀次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正⽐例函数y＝2x的图象交于点C（3，6）．
（1）求⼀次函数y＝mx+n的解析式；
（2）点P在x轴上，当PB+PC最⼩时，求出点P的坐标；
答案解：（1）∵⼀次函数y＝mx+n（m≠0）的图象经过点A（﹣3，0），点C（3，6），∴，
解得，
∴⼀次函数的解析式为y＝x+3．
（2）如图1中，作点P关于x轴的对称点B′，连接CB′交x轴于P，此时PB+PC的值最⼩．
∵B（0，3），C（3，6）
∴B′（﹣3，0），
∴直线CB′的解析式为y＝3x﹣3，
令y＝0，得到x＝1，
∴P（1，0）．
解答
精准突破
巩固练习
22如图，在正⽅形ABCD中，点E是BC上的⼀定点，且BE＝5，EC＝7，点P是BD上的⼀动点，则PE+PC的最⼩值是 ．
答案13
解答
23如图，在平⾯直⻆坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+2，直线AC交x轴于点C，交y轴于
点A．
（1）若⼀个等腰直⻆三⻆形OBD的顶点D与点C重合，直⻆顶点B在第⼀象限内，请直接写出点B的坐标；
（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在⼀点P，使得△AOP的周⻓最⼩？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解：（1）∵直线y＝﹣x+2交x轴于点C，交y轴于点A．
∴A（0，2），C（4，0），
如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵△OBD是等腰直⻆三⻆形，
∴OE＝OD＝×4＝2，
∴BE＝OE＝2，
∴B（2，2）；
（2）如图2所示，
∵B（2，2），
∴直线l的解析式为：x＝2，
作点A关于直线l的对称点A′，连接OA′交直线l于点P，则点P即为所求点，
∵A（0，2），
∴A′（4，2），
设直线OA′的解析式为y＝kx（k≠0），则2＝4k，
解得k＝，
∴直线OA′的解析式为y＝x，
∴当x＝2时，y＝1，
∴P（2，1）．
解答
总结优化
24如图所示，在平⾯直⻆坐标系中，已知⼀次函数y＝x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第⼆象限内作正⽅形ABCD．
（1）求边AB的⻓；
（2）求点C，D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周⻓最⼩？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解：（1）对于直线y＝x+1，令x＝0，得到y＝1；令y＝0，得到x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，1），
在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝1，
根据勾股定理得：AB＝＝；
（2）作CE⊥y轴，DF⊥x轴，可得∠CEB＝∠AFD＝∠AOB＝90°，
∵正⽅形ABCD，
∴BC＝AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠DAF+∠BAO＝90°，∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠DAF+∠ADF＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠ADF＝∠CBE，
∴△BCE≌△DAF≌ABO，
∴BE＝DF＝OA＝2，CE＝AF＝OB＝1，
∴OE＝OB+BE＝2+1＝3，OF＝OA+AF＝2+1＝3，
∴C（﹣1，3），D（﹣3，2）；
（3）找出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，此时△BMD周⻓最⼩，
∵B（0，1），
∴B′（0，﹣1），
设直线B′D的解析式为y＝kx+b，
把B′与D坐标代⼊得：，
解得：，即直线B′D的解析式为y＝﹣x﹣1，
令y＝0，得到x＝﹣1，即M（﹣1，0）．
解答
25如图，直线l的解析式为y＝﹣2x+3，且l与x轴交于点D，直线l经过点A（4，0）、B（3，112
﹣1），直线l 、l 交于点C ．
（1）点D 的坐标： ；（直接写出结果）
（2）△ADC 的⾯积为： ；（直接写出结果）
（3）试问在y 轴上是否存在⼀点P ，使得△PAC 的周⻓最⼩？若存在，求出点P 的坐标和最⼩周⻓；若不存在，请说明理由
．
12答案解：
（1）在y ＝﹣2x +3中，令y ＝0可得﹣2x +3＝0，
解得x ＝，
∴D （，0），
故答案为：（，0）；
（2）设直线l 的解析式为y ＝kx +b ，
把A 、B 两点坐标代⼊可得
，解得，
∴直线l 的解析式为y ＝x ﹣4，联⽴两直线解析式可得，解得，
∴C （，﹣），
∵A （4，0），D （，0），
∴AD ＝4﹣＝，
∴S ＝××＝
，
故答案为：；（3）设A 点关于y 轴的对称点为A ′，如图1，连接A ′C 交y 轴于点P ，
22△ACD
【⽅法总结
】
则PA ′＝PA ，
∴PA +PC ＝PA ′+PC ，此时A ′、P 、C 三点在⼀条直线上，
∴PA +PC 最⼩，
∵A （4，0），
∴A ′（﹣4，0），
设直线A ′C 的解析式为y ＝mx +n ，
把A ′、C 的坐标代⼊可得，解得，
∴直线A ′C 的解析式为y ＝﹣
x ﹣，∴P 点坐标为（0，﹣
），此时A ′C ＝＝，AC ＝＝，∴PA +PC +AC ＝A ′C +AC ＝
，即△PAC 的周⻓的最⼩值为；解
答
效果验证
26已知，如图，在平⾯直⻆坐标系xoy 中，直线l ：y ＝x +3分别交x 轴、y 轴于点A 、B 两点，直线l
：y ＝﹣3x 过原点且与直线l 相交于C ，点P 为y 轴上⼀动点．
（1）求点C 的坐标；
（2）当PA +PC 的值最⼩时，求此时点P 的坐标，并求PA +PC 的最⼩值
．
121答案解：（1）∵直线l ：y ＝x +3①与直线l ：y ＝﹣3x ②相交于C ，
联⽴①②解得，x ＝﹣，y ＝，
∴C （﹣，）；
（3）如图2，作点A （﹣3，0）关于y 轴的对称点A '（3，0），连接CA '交y 轴于点P ，此时，PC +PA 最⼩，最⼩值为CA '＝＝，
由（1）知，C （﹣，），
∵A '（3，0），
∴直线A 'C 的解析式为y ＝﹣x +，
∴P （0，）．
12解
答
强化提升
第1天
第2天
27如图，直线y ＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，点D在y轴的负半轴上，C、D两点到x轴的距离均为2．
（1）点C的坐标为： ，点D的坐标为： ；
（2）点P为线段OA上的⼀动点，当PC+PD最⼩时，求点P的坐标．
答案解：（1）由题意点C的纵坐标为2，y＝2时，2＝x+4，
解得x＝﹣3，
∴C（﹣3，2），
∵点D在y轴的负半轴上，D点到x轴的距离为2，
∴D（0，﹣2），
故答案为（﹣3，2），（0，﹣2）；
（2）当C、P、D共线时，PC+PD的值最⼩，
设最⼩CD的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线CD的解析式为y ＝﹣x﹣2，
当y＝0时，x ＝﹣，
∴P （﹣，0）．
解答
28如图，⼀次函数y＝kx+b的图象与x，y轴分别交于A（2，0）和B（0，8）点C，D分别在OA，AB上，且C（1，0），D（1，m）．
（1）直接写出该函数的表达式和m的值．
（2）若P为OB上的⼀个动点，试求PC+PD的最⼩值．
（3）连接CD，若P为y轴上的⼀动点，△PCD为等腰三⻆形，试求点P的坐标．
41
答案解：（1）把A（2，0）和B（0，8）代⼊⼀次函数y＝kx+b得：
解得：
则⼀次函数解析式为y＝﹣4x+8，
把D（1，m）代⼊y＝﹣4x+8得：
m＝﹣4+8＝4．
（2）如图1，
∵点C的坐标为（1，0），
则C关于y轴的对称点为C′（﹣1，0），
⼜∵点D的坐标为（1，4），
连接C′D，设C′D的解析式为y＝kx+b，
有，
解得，
∴y＝2x+2是DC′的解析式，
∵x＝0，∴y＝2，
即P（0，2）．
∵PC+PD的最⼩值＝C′D，
42
∴CD＝4，CC′＝2，
由勾股定理得C′D＝＝2．
解答
43。