2017-2018学年广东省中山一中高二级第二学期第一次段考数学(理)试题-解析版

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广东省中山一中2017-2018学年高二级第二学期第一次段考
数学（理）试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．函数在区间上的平均变化率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值，再利用平均变化率公式求出该函数在区间上的平均变化率.
详解：，
该函数在区间上的平均变化率为，故选B.
点睛：本题主要考查函数在区间上的平均变化率，意在考查学生的计算能力与理解能力，属于简单题.
2．若，则复数在复平面上对应的点在
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数在复平面上对应的点的坐标，即可得结果.
详解：因为
所以复数在复平面上对应的点的坐标为，
位于第四象限，故选D.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3．已知曲线上一点，则处的切线斜率等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：求出曲线的导函数，然后把切点的横坐标代入导函数即可求出切线的斜率.
详解：，
时，，
即处切线的斜率是，故选B.
点睛：本题主要考查导数的几何意义，以及已知切点坐标求斜率，属于简单题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导，再将切点横坐标代入即可.
4．方程有实根，且，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由复数相等的意义将方程转化为实系数方程，解方程求出两根.
详解：方程，
可以变为，
由复数相等的性质得，解得，
方程有实根，故，
复数，故选A.
点睛：本题主要考查复数相等的意义，两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部
与虚部相等. 5．在用反证法证明时的反设为
A. 且
B.
或
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，命题“”
的否定，即是所求.
详解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立， 因为命题“”的否定为“”，
用反证法证明时的反设为 “
或
”，故选B.
点睛：本题考查命题的否定，用反证法证明数学命题，属于简单题.
6．某个命题与正整数有关，如果当()
*
n k k N =∈时，该命题成立，那么可推得当
1n k =+时命题也成立．现在已知当5n =时，该命题不成立，那么可推得( )
A. 当6n =时该命题不成立
B. 当6n =时该命题成立
C. 当4n =时该命题不成立
D. 当4n =时该命题成立 【答案】C
【解析】如果当()
*
n k k N =∈时，该命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成
立．所以其逆命题为：当1n k =+时命题不成立，那么()
*
n k k N =∈时，该命题也不
成立，故已知当5n =时，该命题不成立，那么可推得当4n =时该命题不成立
7．复数不可能在
A. 在第一象限
B. 在第二象限
C. 在第三象限
D. 在第四象限
【答案】A
【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，令复数实部、虚部大于零，得到不等式组无解，即对应的点不在第一象限.
详解：由已知，
复平面对应的点如果在第一象限，则，
而此不等式无解，
即在复平面对应的点不可能在第一象限，故选A.
点睛：本题主要考查数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，考查复数的几何意义，复数与复平面内的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应.
8．函数的切线方程为，则
A. 2
B. 1
C. 3
D. 0
【答案】A
【解析】分析：求出导函数，令可得切点坐标，将切点坐标代入切线方程即可得结果.
详解：因为，所以，
令，得，
时，切点坐标为，代入切线方程可得，不合题意；
时，切点坐标为，代入切线方程可得，符合题意，故选A.
点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方
程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用
求解.
9．数列，则此数列的第项是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：分析给数列的变化规律，可以将数列如下分组：第一组个数，为；第二组个数，为；第三组个数，为，分析可得项应该在第组，列举第组的每个数，即可得到结论.
详解：根据题意，数列，
可以将数列如下分组：第一组个数，为；
第二组个数，为；
第三组个数，为，
前组共有个数，
第组有个数，
第项应该在第组，
第组为，
则第项是，故选B.
点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
10．某运动员罚球命中得1分，不中得0分，如果该运动员罚球命中的概率为，那么他罚球一次的得分的方差为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：直接利用期望公式与方差公式求解即可.
详解：，
，
，故选B.
点睛：本题考查离散型随机变量的期望与方差，属于中档题. 求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．
11．计算（其中）的结果为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：，利用微积分基本定理求解即可.
详解：，
，故选A.
点睛：本题考查定积分的求法，考查计算能力.对于求分段函数以及含绝对值符号的函数求定积分，往往将所求定积分化为多个定积分的和或差解答.
12．若存在使不等式成立，则实数的范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：,先证明符合题意，若
，利用单调性可得，利用导数可得，利用
可得结果.
详解：由，
（1）若，当时，，而，此时结论成立；
（2）若，由于，所以在是减函数，
则.
由于与轴的交点为，
那么，如果存在使不等式成立，
则，
由（1）、（2）得实数的范围为，故选C.
点睛：本题考查不等式能成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中。

第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题
13．复数为纯虚数，则的取值是________
【答案】
【解析】分析：根据纯虚数的定义可得，从而可得结果.
详解：复数为纯虚数，
，解得，故答案为.
点睛：本题主要考查复数的基本概念，函数与方程思想，意在考查系数利用所学知识解决问题的能力，属于简单题.
14．在某次考试中，学号为()1,2,3,4i i =的同学的考试成绩
(){}85,87,88,90,93,94f i ∈，
且()()()()1234f f f f <<<，则这四位同学的考试成绩的共有__________种； 【答案】15
【解析】先从集合{}85,87,88,90,93,94里任意取四个数，共有4
615C =种方法.
再把这四个成绩分配给四个同学，由于要满足()()()()1234f f f f <<<，所以只有一种分配方法，所以由乘法分步原理得这四位同学的考试成绩共有15×1=15种，故填15.
15．若在1
)n x
的展开式中，第4项是常数项，则n = 【答案】18 【解析】 试
题
分
析
：
设
展
开
式
中
第
1r +项为
1
r T +，则
6
511()(1)n r
r n r
r r r
r n
n T C C x x
--+=⋅⋅-=-⋅⋅，
又展开式中第4项是常数项，∴3r =时，18
05
n -=，∴18n =. 考点：考查二项式定理.计算能力.
点评：易出现以下错误：展开式中第4项是常数项，4r =时，24
05
n -=，∴24n =.
16．将集合
，且
中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成
如下的三角形数表： 3 5 6 9 10 12 --- --- --- --- --- --- --- --- ---
则该数表中，从小到大第50个数为______________________ 【答案】
【解析】分析：用
表示
，利用前几个数找到其规律，是每一个的横坐标从增
加到对应的行数，而纵坐标为行数，由，则
是第行的
第个数，即可求出.
详解：用
表示
，如表的规律为：
，
，
，
，
则第个数是第行的第五个数，
，故答案为
.
点睛：归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实
验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.
三、解答题
17．（1）用分析法证明：;
（2）如果是不全相等的实数，若成等差数列，用反证法证明：不成等差数列.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】分析：（1）利用分析法证明，平方、化简、再平方，可得显然成立，从
而可得结果；（2）假设成等差数列，可得，结合可得，与
是不全相等的实数矛盾，从而可得结论.
详解：（1）欲证
只需证：即
只需证：即显然结论成立
故
（2）假设成等差数列，则
由于成等差数列，得①
那么，即②
由①、②得与是不全相等的实数矛盾。

故不成等差数列。

点睛：本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.
18．已知为实数，函数,若.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ) 证明对任意的，不等式恒成立.
【答案】（1）单调增区间为，；单调减区间为．（2）见解析【解析】分析：(Ⅰ) 求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；(Ⅱ)对任意的，不等式恒成立,等价于的最大值与的最小值的差小于，利用导数研究函数的单调性，求出其最值即可的结果.
详解：(Ⅰ) ∵，∴，即．
∴．
由，得或
由，得．
因此，函数的单调增区间为，；
单调减区间为．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)的结论可知，
在上的最大值为，最小值为；
在上的的最大值为，最小值为．
∴在上的的最大值为，最小值为．
因此，任意的，恒有．
点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于中档题.求函数
极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数
；(3) 解方程
求出
函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在
的根左右两侧值的符号，如果左正
右负（左增右减），那么
在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么
在处
取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
19．甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是.
(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率；
(Ⅱ)用表示乙投篮3次的进球数,求随机变量的概率分布及数学期望；
【答案】（1）（2）
【解析】分析：(Ⅰ)综合利用独立事件的概率公式与对立事件的概率公式求解即可；(Ⅱ)
随机变量服从二项分布，直接利用二项分布的期望公式求解即可.
详解：(Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A 1 , "乙投篮1次投进"为事件A 2 , "丙投篮1次投进"为事件
A 3, "3人都没有投进"为事件A . 则 P(A 1)=, P(A 2)=, P(A 3)=,
∴ P(A) = P(
)=P()·P()·P()
= [1－P(A 1)] ·[1－P (A 2)] ·[1－P (A 3)]=(1－)(1－)(1－)= ∴3人都没有投进的概率为.
(Ⅱ)随机变量的可能值有0,1,2,3), ~ B(3,),
P(=k)=C 3k ()k ()3－k (k=0,1,2,3) ,
=np = 3×= .
点睛：“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问
题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则
此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(
)求得．因此，应熟记
常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度． 20
．已知函数()0)f x x >，数列{}n a 满足1()a f x =，1()n n a f a +=．
（1）求234a a a ，，；
（2）猜想数列{}n a 的通项，并用数学归纳法予以证明． 【答案】（1
）2a =
3a =
4a =
2
）n a =
【解析】
试题分析：在本题中，已给出函数()0)f x x =>与数列之间的关系式1()a f x =，
1()
n n a f a +=，根据关系式可得出1a ，再利用符合函数的概念将1a 带入到函数中即可得
出2a ，以此类推可得出234a a a ，，。

第二小问主要根据数学归纳法进行推理，首先根据第一问猜想出数列的通项，再证明该通项公式在正整数范围内成立即可。

试题解析：（1）由题意，得
1()a f x ==
21()a f a ==
=
=
，
32()a f a ==
=
43()a f a ==
=
（2
）猜想：)n a n *=
∈N .
证明：①当1n =
时，1()a f x ==
.
②假设当()n k k N *=∈
时，结论成立，即k a =，
那么，当1n k =+时，
1
()
k k
a f a
+
=
=
这就是说，当1
n k
=+时，结论成立.
由①，②可知，
n
a=()
n n*
∈N都成立．
考点：函数与数列的综合应用
21
．某班
名同学的数学小测成绩的频率分布表如图所示，其中
，且分数在的有人.
（1）求的值;
（2）若分数在的人数是分数在的人数的，求从不及格的人中任意选取3人，其中分数在50分以下的人数为，求的数学期.
【答案】（1）60（2）
【解析】分析：(1)由可得，在的有人，所以从而可得结果；(2)
的可能取值为，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.
详解：（1）依题意得
因为，在的有人，所以
故的值为
（2）由，
于是，分数在及内的人数分别为3人与9人，即不及格的人数为12人。

从中任选3人，其中分数在50分以下的人数为，则的可取值分别为：
所以，的分布列如下：
故的数学期为
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：
①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．
22．已知为实常数，函数.
（1）若在是减函数，求实数的取值范围；
（2）当时函数有两个不同的零点，求证：且.（注：为自然对数的底数）；
（3）证明
【答案】（1）（2）见解析
【解析】分析：(1)因，则，又在是减函数所
以在时恒成立，则实数的取值范围为；(2)先证明下当
时，，由（1）知，则在内单调递增，在
内单调递减，由，得.所以，；（3）由（1）知当时，，当时，有，即，累加可得结果.详解：（1）因，则，又在是减函数
所以在时恒成立，则实数的取值范围为
（2）因当时函数有两个不同的零点，则有
，
则有.设 . .
当时，；当时，；
所以在上是增函数，在上是减函数.最大值为 .
由于，且，所以，又，所以. 下面证明：当时， .设，
则 .在上是增函数，
所以当时， .即当时，..
由得 .所以.
所以，即，，.
又，所以，.
所以 .而，则有
.
由（1）知，则在内单调递增，在内单调递减，
由，得.所以， .
（3）由（1）知当时，在上是减函数，且
所以当时恒有，即
当时，有，即，
累加得：（）
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.。