专题07 《整式乘法与因式分解》解答题压轴题专练(解析版) -七年级数学下册考点培优训练(苏科版)
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专题07 《整式乘法与因式分解》解答题压轴题专练(1)(满分120分时间:60分钟)班级姓名得分
一、解答题
1.阅读材料
小明遇到这样一个问题:求计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得多项式的一次项系数.
小明想通过计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得的多项式解决上面的问题,但感觉有些繁琐,他想探寻一下,是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始,先找(x+2)(2x+3)所得多项式中的一次项系数.通过观察发现:
也就是说,只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3,再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2,两个积相加1×3+2×2=7,即可得到一次项系数.
延续上面的方法,求计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得多项式的一次项系数.可以先用x+2的一次项系数1,2x+3的常数项3,3x+4的常数项4,相乘得到12;再用2x+3的一次项系数2,x+2的常数项2,3x+4的常数项4,相乘得到16;然后用3x+4的一次项系数3,x+2的常数项2,2x+3的常数项3,相乘得到18.最后将12,16,18相加,得到的一次项系数为46.
参考小明思考问题的方法,解决下列问题:
(1)计算(2x+1)(3x+2)所得多项式的一次项系数为.
(2)计算(x+1)(3x+2)(4x﹣3)所得多项式的一次项系数为.
(3)若计算(x2+x+1)(x2﹣3x+a)(2x﹣1)所得多项式的一次项系数为0,则a=.
(4)若x2﹣3x+1是x4+ax2+bx+2的一个因式,则2a+b的值为.
【答案】(1)7(2)-7(3)-3(4)-15
【解析】
试题分析:(1)用2x+1中的一次项系数2乘以3x+2中的常数项2得4,用2x+1中的常数项1乘以3x+2中的一次项系数3得3,4+3=7即为积中一次项的系数;
(2)用x+1中的一次项系数1,3x+2中的常数项2,4x-3中的常数项-3相乘得-6,用x+1中的常数项1,3x+2中的一次项系数3,4x-3中的常数项-3相乘得-9,用x+1中的常数项1,3x+2中的常数项2,4x-3中的一次项系数4相乘得8,-6-9+8=-7即为积中一次项系数;
(3)用每一个因式中的一次项系数与另两个因式中的常数项相乘,再把所得的积相加,列方程、解方程即
可得;
(4)设422x ax bx +++可以分成(231x x -+ )(x 2+kx+2),根据小明的算法则有k -3=0,a=-3k+2+1,b=-3×2+k ,解方程即可得.
试题解析:(1)2×2+1×3=7,
故答案为7;
(2)1×2×(-3)+3×1×(-3)+4×1×2=-7,
故答案为-7;
(3)由题意得:1×a×(-1)+(-3)×1×(-1)+2×1×a=0,解得:a=-3,
故答案为-3;
(4)设422x ax bx +++可以分成(231x x -+ )(x 2+kx+2),
则有k -3=0,a=-3k+2+1,b=-3×2+k ,
解得:k=3,a=-6,b=-3,
所以2a+b=-15,
故答案为-15.
b=3-6=-3
2.阅读材料:若x 2-2xy +2y 2-8y +16=0,求x 、y 的值.
解:∵x 2-2xy +2y 2-8y +16=0,∵(x 2-2xy +y 2)+(y 2-8y +16)=0,∵(x -y )2+(y -4)2=0,∵(x -y )2=0,(y -4)2=0,∵y =4,x =4.
根据你的观察,探究下面的问题:
已知∵ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数,且满足a 2+b 2-4a -6b +13=0.求∵ABC 的边c 的值.
【答案】2或3或4
【分析】
先通过配方法,利用完全平方公式进行配方求出a ,b 的值,再根据三角形的三边关系即可确定c 的值.
【详解】
∵2246130a b a b +--+=
∵22(44)(69)0a a b b -++-+=即22(2)(3)0a b -+-=
∵20a -=,30b -=
∵23a b ==,
根据三角形的三边关系得a b c a b -<<+,即15c <<
∵c 是正整数
∵c 的值为2或3或4.
【点睛】
本题主要考查了配方法及三角形边长的确定,熟练掌握完全平方公式及三角形的三边关系是解决本题的关键.
3.阅读下列材料:
某同学在计算3(4+1)(42+1)时,发现把3写成4-1后,可以连续运用平方差公式计算,
3(4+1)(42+1)
=(4-1)(4+1)(42+1)
=(42-1)(42+1)
=44-1
=256-1
=255.
请借鉴该同学的经验,计算下列各式的值:
(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22048+1)
(2)24815
1
1111(1)(1)(1)(1)22222+++++. 【答案】(1)24096-1;(2)2.
【分析】
(1)在前面乘一个(2-1),然后再连续利用平方差公式计算;
(2)在前面乘一个2×(1-
12
),然后再连续利用平方差公式计算. 【详解】
解:(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22048+1)
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22048+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22048+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)…(22048+1)
=24096-1;
(2)24815
21111111112222⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 24815111111211111222222
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1615112122
⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭ 1515
11222=-
+ =2. 【点睛】
本题考查了平方差公式的运用,熟练掌握平方差公式是解题的关键.
4.阅读下列分解因式的过程:
x 2+2ax -3a 2
=x 2+2ax+a 2-a 2-3a 2
=(x+a)2-4a 2
=(x+a+2a)(x+a -2a)
(x+3a)(x -a).
像上面这样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法,叫做配方法,请你用配方法将下面的多项式因式分解:
(1)m 2-4mn+3n 2;
(2)x 2-4x -12.
【答案】(1)(m -n )(m -3n );(2)(x+2)(x -6).
【分析】
(1)、(2)分别利用阅读材料中的配方法分解即可.
【详解】
解:(1)m 2-4mn+3n 2
=m 2-4mn+4n 2-4n 2+3n 2
=m 2-4mn+4n 2-n 2
=(m -2n )2-n 2
=(m -2n+n )(m -2n -n )
=(m -n )(m -3n );
(2)x 2-4x -12
=x 2-4x+4-4-12
=(x -2)2-42
=(x -2+4)(x -2-4)
=(x+2)(x -6).
【点睛】
本题考查了因式分解的应用.要运用配方法,只要二次项系数为1,只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式.
5.如图,长为m ,宽为x()m x >的大长方形被分割成7小块,除阴影,A B 外,其余5块是形状、大小完全相同的小长方形,其较短一边长为y ,记阴影A 与B 的面积差为S .
(1)分别用含,,m x y 的代数式表示阴影,A B 的面积,并计算S ;
(2)当6,1m y ==时,求S 的值;
(3)当x 取任何实数时,面积差S 的值都保持不变,问m 与y 应满足什么条件?
【答案】(1)阴影A 的面积为(3)(2)m y x y --,阴影B 的面积为3(3)y x y m +-,
236S y my xy mx =-+-+;(2)S 的值为3;(3)6m y =.
【分析】
(1)先分别求出阴影A 与B 的长、宽,再根据长方形的面积公式,即可得;
(2)将6,1m y ==代入,计算含乘方的有理数混合运算即可得;
(3)将S 的值进行变形,再根据其值与x 无关,列出等式求解即可得.
【详解】
(1)由图可知,阴影A 的长为3m y -,宽为2x y -;阴影B 的长为3y ,宽为(3)3x m y x y m --=+- 则阴影A 的面积为(3)(2)m y x y --,阴影B 的面积为3(3)y x y m +-
S A B =-
(3)(2)3(3)m y x y y x y m =---+-
22236393mx my xy y xy y my =--+--+
236y my xy mx =-+-+;
(2)由(1)可知,236S y my xy mx =-+-+
将6,1m y ==代入得:2316166363S x x =-⨯+⨯-+=-+=
即S 的值为3;
(3)由(1)可知,22363(6)S y my xy mx y my m y x =-+-+=-++-
要使当x 取任何实数时,面积差S 的值都保持不变
则60m y -=
整理得6m y =.
【点睛】
本题考查了整式的加减乘除运算、含乘方的有理数混合运算等知识点,理解题意,根据图形正确求出阴影A 与B 的长、宽是解题关键.
6.如图∵所示是一个长为2m ,宽为2n 的长方形,沿虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图∵的方式拼成一个正方形.
(1)你认为图∵中的阴影部分的正方形的边长等于__________;
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积:
方法∵____________;方法∵________________;
(3)观察图∵,直按写出22(),(),m n m n mn +-这三个代数式之间的等量关系;
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若8,5a b ab +==,求2()a b -的值
【答案】(1)m -n ;(2)2()m n -;2()4m n mn +-;(3)2()m n -=2()4m n mn +-;(4)44.
【分析】
(1)根据图∵可知,剪开后的小长方形长为m ,宽为n ,可以看出图∵中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ;
(2)图∵中阴影部分的面积:方法∵利用阴影小正方形的边长直接计算面积;方法∵利用大正方形的面积减去四个小长方形的面积计算;
(3)根据图∵里图形的面积关系,可以得出这三个代数式之间的等量关系;
(4)根据(3)中的等量关系式,代入数值求解即可.
【详解】
(1)剪开后的小长方形长为m ,宽为n ,所以图∵中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ,
故答案为:m -n ;
(2)方法∵阴影的面积为边长的平方,即2()m n -;
方法∵阴影的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积,则2()4m n mn +-,
故答案为:2()m n -;2
()4m n mn +-;
(3)根据图∵里图形的面积关系,可得2()m n -=2()4m n mn +-,
故答案为:2()m n -=2()4m n mn +-;
(4)由(3)中的等量关系可知,2()a b -=2()4a b ab +-=64-20=44, 故答案为:44.
【点睛】
本题考查了图形的面积的代数式表示以及代数式之间的等量关系,掌握图形面积的代数式表示是解题的关键.
7.因为()()2
632x x x x +-=+-,令26x x +-=0,则(x+3)(x -2)=0,x=-3或x=2,反过来,x =2能使多项式26x x +-的值为0.
利用上述阅读材料求解:
(1)若x ﹣4是多项式x 2+mx+8的一个因式,求m 的值;
(2)若(x ﹣1)和(x+2)是多项式325x ax x b +-+的两个因式,试求a,b 的值;
(3)在(2)的条件下,把多项式325x ax x b +-+因式分解的结果为 .
【答案】(1)m=-6;(2)26a b =-⎧⎨=⎩
;(3)(x -1)(x+2)(x -3) 【分析】
(1)由已知条件可知,当x=4时,x 2+mx+8=0,将x 的值代入即可求得;
(2)由题意可知,x=1和x=-2时,x 3+ax 2-5x+b=0,由此得二元一次方程组,从而可求得a 和b 的值; (3)将(2)中a 和b 的值代入x 3+ax 2-5x+b ,则由题意知(x -1)和(x+2)也是所给多项式的因式,从而问题得解.
【详解】
解:(1)∵x ﹣4是多项式x 2+mx+8的一个因式,则x=4使x 2+mx+8=0,
∵16+4m+8=0,解得m=-6;
(2)∵(x ﹣1)和(x+2)是多项式325x ax x b +-+的两个因式,
则x=1和x=-2都使325x ax x b +-+=0,
得方程组为:15084100a b a b +-+=⎧⎨-+++=⎩,解得26a b =-⎧⎨=⎩
; (3)由(2)得,x 3-2x 2-5x+6有两个因式(x ﹣1)和(x+2),
又36(1)2(3)x x x x =⋅⋅=-⨯⨯-,
, 则第三个因式为(x -3),
∵x 3-2x 2-5x+6=(x -1)(x+2)(x -3).
故答案为:(x -1)(x+2)(x -3).
【点睛】
本题考查了分解因式的特殊方法,根据阅读材料仿做,是解答本题的关键.
8.观察下列各式:
∵60×60=602-02=3600;
∵59×61=(60-1)×(60+1)=602-12=3599;
∵58×62=(60-2)×(60+2)=602-22=3596;
∵57×63=(60-3)×(60+3)=602-32=3591
……
(探究)(1)上面的式子表示的规律是:(60+m)(60-m)=;观察各等式的左边发现两个因数之和都是120,而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化,当两个因数时,乘积最大.
(应用)(2)根据上面的规律,思考若a+b=400,则ab的最大值是;
(拓展)(3)将一根长40厘米的铁丝折成一个长方形,设它的一边长为x厘米,面积为S,写出S与x 之间的等量关系?当x为何值时,S取得最大值?
【答案】(1)602-m2;相等;(2)40000;(3)S=-x2+20x;当x=10时,S取得最大值.
【分析】
(1)按照已知等式的规律或平方差公式写出结果即可;对比题干中给出的等式可知,当两个因数相等即m=0时,乘积最大;
(2)根据(1)中得出的规律可知,当a=b时,ab取得最大值,从而得出结果;
(3)设长方形的一边长为x厘米,则根据题意得长方形的另一边长为(20-x)厘米,根据长方形的面积公式可得出S与x之间的等量关系;再根据(1)中的结论可得出当长方形的长与宽相等时,S取得最大值,从而得出结果.
【详解】
解:(1)根据题中的等式可得,(60+m)(60-m)=602-m2;
对比题干中给出的等式可知,当两个因数相等时,即m=0时乘积最大,
故答案为:602-m2;相等;
(2)根据(1)中得出的规律可知,当a=b时,ab取得最大值,
∵a+b=400,
∵当a=b=200时,ab取得最大值,最大值为40000,
故答案为:40000;
(3)设长方形的一边长为x厘米,则根据题意得长方形的另一边长为(20-x)厘米,
∵S=x(20-x)=-x2+20x,
故S与x之间的等量关系式为:S=-x2+20x;
∵长方形的两边长分别为x厘米,(20-x)厘米,有x+(20-x)=20,
现要求S=x(20-x)的最大值,
由(1)知,当x=20-x时,S取得最大值,
故当x=10时,S取得最大值.
【点睛】
本题考查了通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力,一般先根据题意,找到规律,并进行推导得出答
案.
9.图1是一个长为2m,宽为2n的长方形,将该长方形沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按照图2所示拼成一个正方形.
(1)使用不同方法计算图2中小正方形的面积,可推出(m+n)2,(m-n)2,mn之间的等量关系为:;
(2)利用(1)中的结论,解决下列问题:
∵已知a-b=4,ab=5,求a+b的值;
∵已知a>0,a-3
a
=2,求a+
3
a
的值.
【答案】(1)(m-n)2=(m+n)2-4mn;(2)∵6或-6;∵4.
【分析】
(1)由题意知,阴影部分小正方形的边长为m-n.根据正方形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积,也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积求图中阴影部分的面积,
利用两种求法确定出所求关系式即可;
(2)∵利用(1)的结论,可知(a-b)2=(a+b)2-4ab,把已知数值整体代入即可;∵先利用完全平方公式
进行变形,即将a-3
a
=2两边同时平方,然后求出(a+
3
a
)2的值,从而得出结果.
【详解】
解:(1)阴影部分的面积可以看作是边长m-n的正方形的面积,也可以看作边长m+n的正方形的面积减去4个小长方形的面积,
∵(m-n)2=(m+n)2-4mn,
故答案为:(m-n)2=(m+n)2-4mn;
(2)∵∵a-b=4,ab=5,且由(1)知(a-b)2=(a+b)2-4ab,
∵(a+b)2=16+20=36,
∵a+b=6或-6;
∵∵a-3
a
=2,
∵(a -3a )2= a 2-6+29a
=4, ∵a 2+6+2
9a =16, ∵(a +
3a
)2=16, 又a >0,∵a +3a =4. 【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景,整式的混合运算以及分式的求值等知识,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
10.数学课堂上,老师提出问题:如图,如何在该图形中数出黑色正方形的个数,以下是两位同学的做法:
(1)甲同学的做法为:
当1n =时,黑色正方形的个数共有14610⨯+=
当2n =时,黑色正方形的个数共有24614⨯+=
当3n =时,黑色正方形的个数共有34618⨯+=
……则在第n 个图形中,黑色正方形的个数共有 (无需化简)
(2)乙同学的做法为:
当1n =时,黑色正方形的个数共有341210⨯-⨯=
当2n =时,黑色正方形的个数共有452314⨯-⨯=
当3n =时,黑色正方形的个数共有563418⨯-⨯=
……则在第n 个图形中,黑色正方形的个数共有 (无需化简)
(3)数学老师及时肯定了两位同学的做法,从而可以得到等式
(4)请利用学习过的知识验证(3)问中的等式.
【答案】(1)46n +;(2)(2)(3)(1)n n n n ++-+;(3)46(2)(3)(1)n n n n n +=++-+;(4)见解析.
【分析】
(1)根据所给算式总结规律即可;
(2)根据所给算式总结规律即可;
(3)根据两种算法都正确可得等式;
(4)利用整式混合运算法则对(2)(3)(1)
++-+进行化简,即可验证.
n n n n
【详解】
n+,
解:(1)由题中算式可知,在第n个图形中,黑色正方形的个数为:46
n+;
故答案为:46
(2)由题中算式可知,在第n个图形中,黑色正方形的个数为:(2)(3)(1)
n n n n
++-+,
故答案为:(2)(3)(1)
++-+;
n n n n
(3)数学老师及时肯定了两位同学的做法,从而可以得到等式:46(2)(3)(1)
+=++-+,
n n n n n
故答案为:46(2)(3)(1)
+=++-+;
n n n n n
(4)∵22
(2)(3)(1)32646
++-+=+++--=+,
n n n n n n n n n n
∵该等式成立.
【点睛】
本题考查了图形类规律探索以及整式混合运算的实际应用,熟练掌握运算法则是验证等式成立的关键.。