九年级数学上册第23章图形的相似23
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【点拨】根据黄金分割的概念得AACB＝BACC，∴AC2＝BC·AB.
2 已知点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC，BC，下列说法错误 的是( C ) A．如果AACB＝BACC，那么线段 AB 被点 C 黄金分割 B．如果 AC2＝AB·BC，那么线段 AB 被点 C 黄金分割 C．如果线段 AB 被点 C 黄金分割，那么 AC 与 AB 的比叫 做黄金比 D．0.618 是黄金比的近似值
第23章
图形的相似
23.1. 平行线分线段成比例
2
目标二 黄金分割
习题链接
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1C 2C 3C 4A
5A 6 7
答案呈现
1 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC， 则下列各式成立的是( C ) A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB C．AC2＝BC·AB D．AC2＝2BC·AB
解：作边AB的垂直平分线交AC于D， 交AB于E，连结BD，如图所示：
(2)△BDC是黄金三角形吗？如果是，请给出证明，如果 不是，请说明理由．
解：△BDC 是黄金三角形，证明如下： ∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°. ∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝12(180°－36°)＝72°， ∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝72°－36°＝36°. 又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C， ∴BD＝BC，∴△BDC 是黄金三角形．
课后延伸
给自己一份坚强，擦干眼泪； 给自己一份自信，不卑不亢； 给自己一份洒脱，悠然前行。 为了看阳光，我来到这世上； 为了与阳光同行，我笑对忧伤。
学习延伸
3 若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AB＝8 cm，AC
＞BC，则 AC 的长为( C )
5－1 A. 2 cm
B．2( 5－1)cm
C．4( 5－1)cm D．6( 5－1)cm
【点拨】根据黄金分割的概念得 AC＝ 52－1AB＝4( 5－1)cm.
4 【2020·泸州】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例 理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点 G 将一线段
A．10－4 5
B．3 5－5
5－2 5 C. 2
D．20－8 5
【点拨】如图，作 AH⊥BC 于 H，根据等腰三角形的性质得到 BH＝CH＝12BC＝2，再根据勾股定理可计算出 AH＝ 5，接着根 据线段的“黄金分割”点的定义得到 BE＝ 52－1BC＝2 5－2，则 计算出 HE＝2 5－4，同理可求出 DH 的长，然后根据三角形面
积公式计算出 S△ADE＝12(4 5－8) × 5＝10－4 5.故选 A.
5 【教材 P56 阅读材料改编】主持人主持节目时，站在舞 台的黄金分割点处最自然得体．如图所示，如果舞台 AB 的长为 12 米，一名主持人现在站在 A 处，则她 至少走( A )米才最理想．
A．18－6 5 B．6 5－6 C．6 5＋6 D．18－6 5或 6 5－6
7 如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB 的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝ PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上． (1)求AM，DM的长；
解：∵正方形 ABCD 的边长是 2，点 P 是 AB 的中点， ∴AB＝AD＝2，AP＝1，∠BAD＝90°. ∴PD＝ AP2＋AD2＝ 5. ∵PF＝PD，∴AF＝ 5－1. 在正方形 AMEF 中，AM＝AF＝ 5－1. ∴DM＝AD－AM＝3－ 5.
【点拨】如图所示，AP<BP.
∵当主持人至少走到点 P 时才最理想，且满足ABBP
∴AP＝AB－BP＝(18－6 5)米．故选 A.
6 【2021·沧州期中】三角形中，顶角等于36°的等腰 三 角 形 称 为 黄 金 三 角 形 ， 如 图 ， △ABC 中 ， AB ＝ AC，且∠A＝36°. (1)在图中用尺规作边AB的垂直平分线交AC于D，交 AB于E，连结BD(保留作图痕迹)；
(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由． 解：点 M 是线段 AD 的黄金分割点． 理由如下：由(1)得 AD·DM＝2(3－ 5)＝6－2 5， AM2＝( 5－1)2＝6－2 5， ∴AM2＝AD·DM. ∴点 M 是线段 AD 的黄金分割点．
学习延伸
一、与同学们讨论下各自的学习心得 二、老师们指点下本课时的重要内容
MN 分为两线段 MG，GN，使得其中较长的一段 MG 是全 长 MN 与较短的一段 GN 的比例中项，即满足MMGN＝MGNG＝
52－1，后人把 52－1这个数称为“黄金分割”数，把点 G 称为线段 MN 的“黄金分割”点．
如图，在△ABC 中，已知 AB＝AC＝3，BC＝4，若 D，E
是边 BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为( A )
2 已知点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC，BC，下列说法错误 的是( C ) A．如果AACB＝BACC，那么线段 AB 被点 C 黄金分割 B．如果 AC2＝AB·BC，那么线段 AB 被点 C 黄金分割 C．如果线段 AB 被点 C 黄金分割，那么 AC 与 AB 的比叫 做黄金比 D．0.618 是黄金比的近似值
第23章
图形的相似
23.1. 平行线分线段成比例
2
目标二 黄金分割
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答案呈现
1 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC， 则下列各式成立的是( C ) A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB C．AC2＝BC·AB D．AC2＝2BC·AB
解：作边AB的垂直平分线交AC于D， 交AB于E，连结BD，如图所示：
(2)△BDC是黄金三角形吗？如果是，请给出证明，如果 不是，请说明理由．
解：△BDC 是黄金三角形，证明如下： ∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°. ∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝12(180°－36°)＝72°， ∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝72°－36°＝36°. 又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C， ∴BD＝BC，∴△BDC 是黄金三角形．
课后延伸
给自己一份坚强，擦干眼泪； 给自己一份自信，不卑不亢； 给自己一份洒脱，悠然前行。 为了看阳光，我来到这世上； 为了与阳光同行，我笑对忧伤。
学习延伸
3 若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AB＝8 cm，AC
＞BC，则 AC 的长为( C )
5－1 A. 2 cm
B．2( 5－1)cm
C．4( 5－1)cm D．6( 5－1)cm
【点拨】根据黄金分割的概念得 AC＝ 52－1AB＝4( 5－1)cm.
4 【2020·泸州】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例 理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点 G 将一线段
A．10－4 5
B．3 5－5
5－2 5 C. 2
D．20－8 5
【点拨】如图，作 AH⊥BC 于 H，根据等腰三角形的性质得到 BH＝CH＝12BC＝2，再根据勾股定理可计算出 AH＝ 5，接着根 据线段的“黄金分割”点的定义得到 BE＝ 52－1BC＝2 5－2，则 计算出 HE＝2 5－4，同理可求出 DH 的长，然后根据三角形面
积公式计算出 S△ADE＝12(4 5－8) × 5＝10－4 5.故选 A.
5 【教材 P56 阅读材料改编】主持人主持节目时，站在舞 台的黄金分割点处最自然得体．如图所示，如果舞台 AB 的长为 12 米，一名主持人现在站在 A 处，则她 至少走( A )米才最理想．
A．18－6 5 B．6 5－6 C．6 5＋6 D．18－6 5或 6 5－6
7 如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB 的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝ PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上． (1)求AM，DM的长；
解：∵正方形 ABCD 的边长是 2，点 P 是 AB 的中点， ∴AB＝AD＝2，AP＝1，∠BAD＝90°. ∴PD＝ AP2＋AD2＝ 5. ∵PF＝PD，∴AF＝ 5－1. 在正方形 AMEF 中，AM＝AF＝ 5－1. ∴DM＝AD－AM＝3－ 5.
【点拨】如图所示，AP<BP.
∵当主持人至少走到点 P 时才最理想，且满足ABBP
∴AP＝AB－BP＝(18－6 5)米．故选 A.
6 【2021·沧州期中】三角形中，顶角等于36°的等腰 三 角 形 称 为 黄 金 三 角 形 ， 如 图 ， △ABC 中 ， AB ＝ AC，且∠A＝36°. (1)在图中用尺规作边AB的垂直平分线交AC于D，交 AB于E，连结BD(保留作图痕迹)；
(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由． 解：点 M 是线段 AD 的黄金分割点． 理由如下：由(1)得 AD·DM＝2(3－ 5)＝6－2 5， AM2＝( 5－1)2＝6－2 5， ∴AM2＝AD·DM. ∴点 M 是线段 AD 的黄金分割点．
学习延伸
一、与同学们讨论下各自的学习心得 二、老师们指点下本课时的重要内容
MN 分为两线段 MG，GN，使得其中较长的一段 MG 是全 长 MN 与较短的一段 GN 的比例中项，即满足MMGN＝MGNG＝
52－1，后人把 52－1这个数称为“黄金分割”数，把点 G 称为线段 MN 的“黄金分割”点．
如图，在△ABC 中，已知 AB＝AC＝3，BC＝4，若 D，E
是边 BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为( A )