最新版精选2019年高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题考核题库完整版(含参考答案)

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何
专题（含答案）
学校：
__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．已知三棱柱111ABC A B C
-的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为
ABC △的中心，则1
AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）
A ．
13
B
C D ．
2
3
(2008全国1理) C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a
，则1AB =，棱柱的高
1
3
AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为1
13
AO AB =
另
2．平面α 的法向量为m ，若向量m ⊥，则直线AB 与平面α 的位置关系为( ) (A )AB ⊂α (B )AB ∥α
(C )AB ⊂α 或AB ∥α (D )不确定
3．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，若a ⊥b ，则x ＝( ) (A )2 (B )－2
(C )
3
10
(D )3
10-
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
4．在空间直角坐标系O xyz -中，过点(4,2,3)M --作直线OM 的垂线l ，则直线l 与平面Oxy 的交点(,,0)P x y 的坐标满足条件 ． 5．（5分）直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，若
=，
=，
=，则
= ﹣
﹣
+ ．
6．（理）在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°，AB ＝3，AD ＝4，AA ′＝5，则|AC ′→
|＝________.
7．（理）已知(213)(142)(75)a b c λ=-=--=，
，，，，，，，，若a b c ，，三向量共面，则λ等于
8．在空间直角坐标系中，点（4，－1，2）关于原点的对称点的坐标是 ．
9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直
线1A M 与DN 所成角的大小是____________。

N
A 1
10．如图，正方体的棱长为
1，C ，D 分别是两条棱的中点，A ，B ，M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是______．
11．二面角α －l －β 为60°，点A ∈α ，且点A 到平面β 的距离为3，则点A 到棱l 的距离为
12．若空间三点A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)共线，则p ＝______，q ＝______．
13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 是DC 的中点，点N 在CC 1上，且D 1M ⊥AN ，则NC 的长度为______．
三、解答题 14
．
在
三
棱
柱
111
ABC A B C -中，
11
1
1
,60
,1,2.
A A
B
C A A C A A A C ⊥∠==
== （1）如果D 为AB 的中点，求证：1BC ⊥平面11;ACC A
（3）求直线AB 与平面11ACC A 所成角的大小。

15．如图，正棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都为4，D 为CC 1中点， (1)求证：AB 1⊥平面A 1BD ；
(2)求二面角A-A 1D-B 的大小。

16．已知长方体中1111D C B A ABCD -，
1244AB BC AA ===，，，点M 是棱11D C 的中点．
（1）试用反证法证明直线11AB BC 与是异面直线；
（2）求直线11AB DA M 与平面所成的角（结果用反三角函数值表示）．
17．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，c b a ===1,,AA AD AB ，E 为A 1D 1中点，用基底{a ，b ，c }表示下列向量
(1),,1；
(2)在图中画出CD DB DD ++1化简后的向量．
18．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AB ，A 1D 1的中点，求证：MN ∥平面BB 1D 1D ．
19．
1．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点。

如图，建立空间直角坐标系．
(1)求的坐标及BN 的长； (2)求><11,cos CB 的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M ．
20．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AEC 1F 为平行四边形且AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1．
(1)求BF 的长；
(2)求点C 到平面AEC 1F 的距离．
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD
，
AB =1BC =，2PA =，E 为PD 的中点.
(1）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；
(2）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ， 并求出点N 到AB 和AP 的距离．
22．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，
2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。

A
B
C
D
E
F
H
(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB ； (Ⅱ)求证：AC ⊥平面EDB ； (Ⅲ)求二面角B DE C --的大小。

23．已知在长方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，2=AD ，31=AA ，M ，N 分别
是棱1BB ，BC 上的点，且2=BM ，1=BN ，建立如图所示的空间直角坐标系．求：
（1）异面直线DM 与AN 所成角的余弦值； （2）直线DM 与平面AMN 所成角的正弦值。

24．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别在棱1AA 和1CC 上（含线段端点）．（10分）
⑴如果1AE C F =,试证明1,,,B E D F 四点共面；
⑵在⑴的条件下，是否存在一点E ，使得直线1A B 和平面BFE 所成角等于6
π
？如果存在，确定E 的位置；如果不存在，试说明理由．
25．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4
ABC π
∠=
, OA ⊥
底面ABCD , 2OA =,M 为OA 的中点. （1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；
（2）求平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值.
26．如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD . ⑴求PA 的长；
⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值.
27．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AA 1=AD=1，E 为CD 中点. （Ⅰ）求证：B1E ⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B1AE ？若存在，求AP 的行；若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由.
（Ⅲ）若二面角A-B 1EA 1的大小为30°，求AB 的长. 【2012高考真题福建理18】
28．如图，已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，
AB AC AB AA ，11===⊥AC ，M 是1CC 的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线1
1B A 上，且满足111B A A λ=.
（Ⅰ）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？
（Ⅱ）若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为
45，试确定点P 的位置.
D O
M
A
B C
P
B
C
D
A M 1A
1B
P
1C
29．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
DAB FC
∠=⊥平面,,
60,
⊥==.
ABCD AE BD CB CD CF
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；
--的余弦值.【2012高考真题山东理18】（18）（本小题满分（Ⅱ）求二面角F BD C
12分）
30．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC 2，M，N分别为AB，SB的中点．
＝2
(1)证明：AC⊥SB；
(2)求二面角N－CM－B的余弦值；
(3)求点B到平面CMN的距离．。