机械波习题答案

第十一章 机械波
一. 选择题
[ C ]1. 一沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 2 s 时的波形曲线如图所示,则原点O 的振动方程为
<A> )21(cos 50.0ππ+=t y , <SI>．
<B> )21
21(cos 50.0ππ-=t y , <SI>．
<C> )21
21(cos 50.0ππ+=t y , <SI>．
<D> )2
1
41(cos 50.0ππ+=t y ,<SI>．
提示：设O 点的振动方程为O 0()cos()y t A t ωϕ=+。

由图知,当t=2s 时,O 点的振动状态为：
O 0(2)cos(2)=0 0y A v ωϕ=+>，且,∴0322πωϕ+=
,0322
π
ϕω=-,将0ϕ代入振动方程得：O 3()cos(2)2y t A t πωω=+
-。

由题中所给的四种选择,ω取值有三种：,,24
ππ
π,将ω的三种取值分别代入O 3()cos(2)2
y t A t π
ωω=+-中,发现只有答案〔C 是正确的。

[ B ]2. 图中画出一向右传播的简谐波在t 时刻的波形图,BC 为波密介质的反射面,波由P 点反射,则反射波在t 时刻的波形图为
提示：
由题中所给波形图可知,入射波在P 点的振动方向向下；而BC 为波密介质反射面,故在P 点反射波存在"半波损失",即反射波与入射波反相,所以,反射波在P 点的振动方向向上,又P 点为波节,因而得答案B 。

[ A ]3. 一平面简谐波沿x 轴正方向传播,t = 0 时刻的波形图如图所示,则P 处质点的振动在t = 0时刻的旋转矢量图是
提示：由图可知,P 点的振动在t=0[ B ]4.一平面简谐波在弹性媒质中传播时,某一时刻媒质中某质元在负的最大位移处,则它的能量是
<A> 动能为零,势能最大． <B> 动能为零,势能为零． <C>动能最大,势能最大． <D> 动能最大,势能为零．
提示：动能=势能,在负的最大位移处时,速度=0,所以动能为零,势能也为零。

[ B ]5. 在驻波中,两个相邻波节间各质点的振动
<A> 振幅相同,相位相同． <B> 振幅不同,相位相同．
<C>振幅相同,相位不同． <D> 振幅不同,相位不同．
提示：根据驻波的特点判断。

[ C ]6. 在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是I 1 / I 2 = 4,则两列波的振幅之比是
<A> A 1 / A 2 = 16．<B> A 1 / A 2 = 4．<C> A 1 / A 2 = 2．<D> A 1 / A 2 = 1 /4．
提示：22
1
21
==∴I I A A 成正比，波的强度与振幅的平方
二. 填空题
1. 一平面简谐机械波在媒质中传播时,若一媒质质元在t 时刻的总机械能是10 J,则在)(T t +〔T 为波的周期时刻该媒质质元的振动动能是 5〔J .
提示：）
（）
（时刻的总机械能，时刻的总机械能J 5E 2
1
E E J 10E t T P K =∆=∆=∆∴=∆∴=+t 2. 一列强度为I 的平面简谐波通过一面积为S 的平面,波速u
与该平面的法线0n 的夹
角为θ,则通过该平面的能流是cos IS θ。

提示：θIScos IS ==⊥流过该平面的能流
3. 如图所示,波源S 1和S 2发出的波在P 点相遇,P 点距波源S 1和
S 2的距离分别为 3和10 3 ,为两列波在介质中的波长,若P 点的合振幅总是极大值,则两波在P 点的振动频率 相
同 ,波源S 1的相位比S 2的相位领先
43
π
． 提示：201021201020102102()()()(3)()33
k r r πλπϕϕϕϕϕλϕϕλ∆=---=--
-=--, 因为P 点的合振幅总是极大值,2n ϕπ∴∆=,即20102()23
n π
ϕϕπ--
=,取n 1=-,得201043ϕϕπ-=-,或102043
ϕϕπ-=124S S 3
π∴波源的相位比的相位超前。

4.设沿弦线传播的一入射波的表达式为
]2cos[1λ
ωx
t A y π-=,
波在x = L 处〔B 点发生反射,反射点为自由端〔如图．设波在传播和反射过程中振幅不变,
P
S 1
S
3λ
10λ/3
则反射波的表达式是y 2 = 24cos x
L A t ππωλ
λ⎛⎫
=+
-
⎪⎝
⎭
． 提示：因为反射点为自由端,所以反射波没有半波损失,反射波与入射波在B 点引起的振动
同相。

2cos B B L y y A t πωλ⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭入反,
∴2cos x L L y A t u πωλ⎡-⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦反 5. 一静止的报警器,其频率为1000 Hz,有一汽车以79.2 km 的时速驶向和背离报警器时,坐在汽车里的人听到报警声的频率分别是1065Hz
和
935Hz 〔设空气中声速为
340
m/s ．
提示：汽车速度3
79.210v 79.2/22/6060
R km h m s ⨯==
=⨯ 汽车驶向报警器：v 34022
10001065340R R S u Hz u νν++=
=⨯= 汽车背离报警器：v 34022
1000935340
R R S u Hz u νν--==⨯=
6. 一球面波在各向同性均匀介质中传播,已知波源的功率为100 W,若介质不吸收能量,则距波源10 m 处的波的平均能流密度为
7.96×10
-2
W/m 2．
提示：根据平均能流密度I 和功率P 的关系,得
2
21000.0796(/)44100
P P I W m S r ππ⊥=
===⨯ 7. 一弦上的驻波表达式为t x y 1500cos 15cos 100.22
-⨯= <SI>．形成该驻波的两个
反向传播的行波的波速为100 m/s ．
提示：与驻波的表达式22cos cos
y A x t T π
πλ
=比较,得215πλ=
,21500
T π
=, ∴21500
100/152u m s T
λ
ππ
=
=
⨯= 8. 在真空中沿着z 轴负方向传播的平面电磁波,O 点处电场强度为
)
3
1
2cos(300π+π=t E x ν<SI>,则O 点处磁场强度为0.796cos(2ππ/3) (A/m)y H t ν=-+．在图上表示出电场强度,磁场强度和传播速度之
间的相互关系．
提示：根据电磁波的性质,E H S ⨯=,三者的关系如图所示。

E H 和同相,01
cos(2)3
y y H H t πνπ∴=-+； E H εμ=又,
80000090310300
0.796(/)9104y x x H E cE A m εεμπ
⨯⨯∴====⨯⨯,
0.796cos(2ππ/3) (A/m)y H t ν=-+
三. 计算题
1.图示一平面余弦波在t = 0 时刻与t = 2 s 时刻的波形图．已知波速为u ,求 <1> 坐标原点处介质质点的振动方程；
<2> 该波的波动表达式．
解：<1> 比较t = 0 时刻波形图与t = 2 s 时刻波形图,可知此波向左传播〔向x 轴负向传
播。

设坐标原点O 处质点的振动方程为()00,cos()y t A t ωϕ=+.
在t = 0时刻,O 处质点的振动状态为：0(0,0)cos 0y A ϕ==,00v sin 0A ωϕ=->, 故02
ϕ=-
π 又t = 2 s,O 处质点位移为/
2cos(2)2
A A ω=-π
,且振动速度>0,
所以224
ω-
=-ππ, 得 8
ω=
π
∴振动方程为()0,cos()82
y t A t =-ππ
<SI>
<2> 由图中可见,波速为u = 20 /2 m/s = 10 m/s,向x 轴负向传播；
又有()0,cos()82
y t A t =-ππ ∴波动表达式为
(),cos 8102x y x t A t ⎡⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
ππ 〔SI
2. 一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播,波长为,P 处质点的振动规律如图所示．
<1> 求P 处质点的振动方程； <2> 求此波的波动表达式；
<3> 若图中λ2
1=d ,求坐标原点O 处质点的振动方程．
解：<1> 设P 处质点振动方程为0()cos()P y t A t ωϕ=+,
由振动曲线可知,在t = 0时刻,0cos A A ϕ-=,∴0ϕπ=； t=1s 时,0cos()A ωπ=+,且振动速度>0,∴32πωπ+=
,2
πω=；
∴cos()2
P y A t π=+π <SI>
<2> 设波速为u,则24
u T
λ
ωλλ
π=
=
=,且波沿Ox 轴的负方向传播, ∴
波
动
表
达
式
为
2(,)cos cos ()22x d y x t A t A t x d u λ⎡π-⎤ππ⎛⎫⎡⎤
=++π=+-+π ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎣⎦⎣⎦<SI> <3> λ2
1=d 时,将x=0代入波动表达式,即得O 处质点的振动方程
3. 如图所示,两相干波源在x 轴上的位置为S 1和S 2,其间距离为d = 30 m,S 1位于坐标原点O ．设波只沿x 轴正负方向传播,单独传播时强度保持不变．x 1 = 9 m 和x 2 = 12 m 处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点．求两波的波长和两波源间最小相位差．
解：设S 1
和S 2
的振动初相位分别为10ϕ和20ϕ,在x 1
点两波因干涉而静止,所以在x 1
点两波
引起的振动相位差为π的奇数倍,即
()()12010112π
d x x ϕϕϕλ∆=----⎡⎤⎣
⎦π+=)12(K ① 同理,在x 2点两波引起的振动相位差
()()22010222π
d x x ϕϕϕλ∆=--
--⎡⎤⎣
⎦π+=)32(K ② ②－①得：
214()2x x λ
-=π
π, ∴6)(212=-=x x λm ；
由①得：1
20102(21)2(25)d x K K ϕϕλ
--=++=+ππ
π；
当K = -2、-3时相位差最小：2010ϕϕ-=±π
4. 一平面简谐波在介质中以速度u = 20 m/s 自左向右传播．已知在传播路径上的某点A 的振动方程为)4cos(3.0π-π=t y <SI>。

另一点D 在A 点右方9米处．
<1> 若取x 轴方向向左,并以A 为坐标原点,试写出波的表达式,并求出D 点的振动方程．
<2> 若取x 轴方向向右,以A 点左方5米处的O 点为x 轴原点,再写出波的表达式及D 点的振动方程．
解：该波波速u = 20 m/s,
(1) 若取x 轴方向向左,并以A 为坐标原点,
则由已知条件知：
)4cos(3.0),0(ππ-=t t y 〔m
所以,波的表达式为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=-+=πππ)20(4cos 3.0))(4cos(3.0),(x t u x t t x y π〔m D 点的坐标为x D = -9 m 代入上式有
)544cos(3.0)5144cos(3.0)209(4cos 3.0),(ππππππ-=-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--+=t t t t x y D 〔m
(2) 若取x 轴方向向右,以A 点左方5米处的O 点为x 轴原点,
则由已知条件知：
)4cos(3.0),5(ππ-=t t y 〔m
所以,波的表达式为)54cos(3.0)5(4cos 3.0),(x t u x t t x y πππ-=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡---
=π〔m D 点的坐标为x D = 14 m 代入上式, 有)5
4
4cos(3.0)5/144cos(3.0ππ-=-=t t y D ππ <m>
此式与<1> 结果相同. 5． 由振动频率为 400 Hz 的音叉在两端固定拉紧的弦线上建立驻波．这个驻波共有三个波腹,其振幅为0.30 cm ．波在弦上的速度为320 m/s ．
<1> 求此弦线的长度．
<2> 若以弦线中点为坐标原点,试写出弦线上驻波的表达式．
解：<1> 2
3λ
⨯
=L
= u
∴20.1400
320
2323=⨯==
νu L m 〔2设驻波的表达式为)cos()cos(103),('
3ϕωϕ++⨯=-t kx t x y πππνλπ2
5320400222=⨯===u k 〔m -1
πππνω80040022=⨯== 〔rad/s
弦的中点x=0是波腹, 故πϕϕϕor kx x 0
,
1cos )
cos(''0
'=∴==+=
所以)800cos(2
5
cos 100.3),(3
ϕπ+⨯±=-t x t x y π <m>
式中的ϕ由初始条件决定。

[选做题]
1．如图,一角频率为,振幅为A 的平面简谐波沿x 轴正方向传播,设在t = 0时该波在原点O 处引起的振动使媒质元由平衡位置向y 轴的负方向运动．M 是垂直于x 轴的波密媒质反射面．已知OO ＇= 7 /4,PO ＇= /4〔为该波波长；设反射波不衰减,求： <1> 入射波与反射波的表达式;；
<2> P 点的振动方程．
解：<1> 设O 处振动方程为00cos()y A t ωϕ=+
当t = 0时,y 0 = 0,v 0 < 0,∴01
2
ϕπ=
∴)2
1
cos(0π+=t A y ω
入射波朝x 轴正向传播,
故入射波表达式为)2
2cos(2)(cos ),π
λωπω+-=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
+-=x t A u
x t A t x y π（入
在O ′处入射波引起的振动方程为
由于M 是波密媒质反射面,所以O ′处反射波振动有一个相位的突变．
∴)cos(t 4
7π+π-=t A y ωλ
），（反
t A ωcos = 所以反射波表达式为 <2> 合成波为
),(),(),(t x y t x y t x y 反入+=]22cos[π+π
-
=x t A λω]2
2cos[π
+π++x t A λω 将P 点坐标λλλ2
3
4147=-=
x 代入上述方程,得P 点的振动方程为)2
cos(2π
+-=t A y P ω。