2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)-优质版

北京市西城区高二数学上学期期末考试试题理
试卷满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2
250x x ++=”的否定是______________________.
10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么
a 等于_______.
11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1,AD BD 所成角 的余弦值为_________.
12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的 侧视图的面积为_________.
13. 设O 为坐标原点，抛物线2
4y x =的焦点为F ，P 为抛物 线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.
正（主）视图
俯视图
14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴
旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出
抛物线的方程.
你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.
16．（本小题满分13分）
如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.
A
B
C
D
P
E
A
B C
P
M
17．（本小题满分13分）
已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为2
2
640x y y +-+=. (Ⅰ)当直线l
时，求l 与圆C 相交所得的弦长；
(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.
18．（本小题满分13分）
已知1F 为椭圆22
143
x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45，求PQ ；
（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.
19．（本小题满分14分）
如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，
EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.
（Ⅰ）求证BD ⊥平面ADE ；
（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得
平面B D F ⊥
E
A
B
C
D
平面CDE ，请说明理由.
20．（本小题满分14分）
如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和2
2:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分
别交于四个点1122,,,A B A B .
（Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；
（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.
北京市西城区第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.C ；
2.D ；
3. B ；
4. D ；
5. B ；
6. A ；
7. C ；
8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1；
12.
；
14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；222
4n m
y x h
-=.
注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）
解 (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，
因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，
所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分
因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分
又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，
所以BD CE ⊥. ……………13分
16.（本小题满分13分）
解 (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥. 因为BC AB ⊥，PA
AB A =，
所以BC ⊥平面PAB . ……………2分 所以AM BC ⊥. ……………3分
A
B
C
D
P
E O
因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥. ……………4分 所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，
则,,AP AB AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -.
则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .
(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分
设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,
0,
AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
即0,
20.
x y z =⎧⎨
+=⎩ 令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分
由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设,AM n 的夹角为α，
则cos 5AM AM
α⋅=
=
=n n . ……………12分 因为二面角A PC B
--为锐角， 所以二面角A PC B --
……………13分 17.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)由已知，直线l
的方程为y =
，圆C 圆心为(0,3)，
………3分
所以，圆心到直线l
=……………5分
所以，所求弦长为……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分 又,A B 圆C 上，
所以 2
2
111640x y y +-+=，
22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分
解得11y =，11x =±， ……………11分
即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分 所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分
18.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，
又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分 由22
1,
3412
y x x y =+⎧⎨
+=⎩得2
7880x x +-=， ……………3分
所以1287x x +=-
，128
7
x x =-. ……………4分
24
||7PQ ===. ……………5分
（Ⅱ）由22
(1),3412
y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222
(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分 所以2
122
834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分
依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+， 所以，12121212
()
y y k x x k x x x x --'=
=
++， ……………10分
其中12x x -== ……………11分
结合2
122
834k x x k
-+=+
，可得k '=2=. ……………12分 解得2
79k =
，k =……………13分
19.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.
可得BD =由EA ED ⊥,且2EA ED ==，
可得AD =
又4AB =. 所以BD AD ⊥. …………2分 又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE
平面ABCD AD =，
所以BD ⊥平面ADE . ……………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，
则(0,0,0)D ，(0,B ，(C ，E ，
(2,BE =-，(2,0,DE =,(DC =. …………6分
设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n ， 即0,
0.
x z x y +=⎧⎨
-+=⎩ 令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分
设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，
则||sin |cos ,|||||BE BE BE ⋅=<>=
==⋅αn n n . ……………8分
所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值3
. ……………9分 （Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.
又(DC =,CE =,(0,BD =-. 则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=
--+λλλλ. ……………10分
设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ， 即0,
(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨
-+-++=⎩λλλ
……………11分
令1x'=,则21
(1,0,)λλ
-=-
m . ……………12分
若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即21
10λλ
-+
=，1
[0,1]3
λ=∈.……13分
所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分
20.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2
p
x =-
和x p =-， ……………2分
所以，抛物线12,W W 准线间的距离为
2
p
. ……………4分 （Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是
212p k 和21
4p
k . ………5分 12||||OA
OA 1
2==，同理
12||1||2OB OB =， ……………7分 所以1122OA B OA B △△，
所以1122//A B A B . ……………8分 （Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，
代入曲线2
2y px =，得2
1220y pty pm --=，
所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分
由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2
222y px =，
所以22
12122
04y y y y p
+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分 所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+， 同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.
所以1112||2A B y =
-=， ……………12分
22||4A B =
平行线11A B l 与22A B l
之间的距离为d =，
所以梯形1221A A B B
的面积11221
()62
S A B A B d p =
+⋅= ……………13分 212p ≥
当0t =时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为2
12p . ……………14分。