大纲版数学理科高考总复习11-2互斥事件有一个发生的概率

B ． P(A) ＋ P(B)
• C．P(A)＋P(B)>1
D ． P(A) ＋
P(B)≤1
• 解析：若A、B互斥但不对立．则P(A) ＋P(B)<1，若A、B对立，则P(A)＋P(B) ＝1.
• 答案：D
4．从 20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参
加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女
∵P(A)＝CA525·52，P(B)＝AC5535，P(C)＝A155 ∴所求概率 P(A)＋P(B)＋P(C)＝13210 答：至少有两封信配对的概率是13210.
• 【方法技巧】 “至多”“至少”问 题往往需要分解为几个互斥事件，若 包含的互斥事件较多，而其对立事件 比较简单时，可求出对立事件的概 率．
解析：设该队员每次罚球的命中率为 p(其中 0<p<1)， 则依题意有 1－p2＝1265，p2＝295.又 0<p<1，因此有 p＝35.
∵P(B)＝CC35033＝4106，P(C)＝CC130033＝41026， ∴P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)， 即41036＝P(A)＋4106＋41026.
• ∴P(A)＝0. • 由红球的个数n≤2，又n≥2， • ∴红球有2个．
(3)记“3 个球中至少有一个红球”为事件 D，则 事件 D 为“3 个球中没有红球”．
• 【错因分析】 对于事件A、B未能认 清，误认为A、B是互斥事分成事件 C 为“朝 上一面的数出现 1、2、3”与事件 D 为“朝上一面的数 出现 5”这两个事件，则事件 C 和事件 D 互斥，
∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝36＋16＝46＝23.
事件彼此互斥，是指由各个事件所含
的结互果不组相交成的集合彼此
•
．
• (3)概率公式：
• ① 如 果 事 件 A 、 B 互 斥 ， 则P(PA()＋A P＋(B)B)
＝
．
• ②如果事件A1、A2、…、An两两互斥 (彼此互斥)，那么事件A1＋A2＋…＋An 发 的P概生(A率的1)＋的概P(和A率2)＋，，…即等＋P于P((AA这n1)＋n个A2＋事…件＋分A别n)发＝生
解法二：由题意有 P(ξ＝0)＝CC113522＝2365， ∴发言代表中至少有一名使用人教 B 版的女教师的 概率为 1－2365＝395.
【方法技巧】 互斥事件与对立事件的特征：互斥事件 A 与 B 至少有一个事件发生的概率可按公式 P(A＋B)＝P(A) ＋P(B)计算，它们具有以下三个特征：①这些基本事件是发 生在同一次试验中；②这些基本事件不能同时出现；③互斥 事件研究的是两个及其以上基本事件之间的关系．以上三点 是判断“互斥事件”的三条标准，而对立事件是互斥事件的 特殊情况，只有事件 A 和 A 两种试验结果，这类问题多以 “至少”、“至多”等为基本特征．
• 答案：D
5．若 A、B 为一对对立事件，其概率分别为 P(A)
＝4x、
P(B)＝1y，则 x＋y 的最小值为( )
A．9
B．10
C．6
D．8
解析：∵A、B 为对立事件， ∴P(A)＋P(B)＝4x＋1y＝1， x＋y＝(x＋y)(4x＋1y)＝5＋4xy＋yx ≥5＋2 4＝9.故选 A.
• 答案：A
2．现随机安排一批志愿者到 3 个社区服务，则其中
来自同一个单位的 3 名志愿者恰好被安排在 2 个不同的
社区服务的概率是( )
2
4
A.3
B.9
8
2
C.27
D.9
解析：C332A3 33＝1287＝23.
• 答案：A
• 3．(2010年河南商丘模拟)若A、B是互 斥事件，则( )
• A．P(A)＋P(B)<1 ＝1
• 答案：D
2．一个口袋内有 9 张大小相同的卡片，其号数为
1,2,3，…，9.从中任取两张，其号数至少有一个为偶数
的概率为( )
5
4
A.9
B.9
5
13
C.18
D.18
解析：解法一：从 9 张卡片中任取 2 张卡片的方法共 有 C92 种，其号数至少有一个为偶数可分为，1 偶 1 奇共 C51C41,2 个均为偶数共有 C42.
• 题型一 互斥事件的概率
• 典例1 今有标号为1,2,3,4,5的五封信， 另有同样标号的五个信封．现将五封 信任意地装入五个信封，每个信封装 入一封信，试求至少有两封信配对的 概率．
【解】 设恰有两封信配对为事件 A，恰有三封信配 对为事件 B，恰有四封信(也即五封信配对)为事件 C，则 “至少有两封信配对”事件等于 A＋B＋C，且 A、B、C 两两互斥．
同学的概率为( )
9
10
A.29
B.29
19
20
C.29
D.29
解析：依题意得，从这些同学中任选 3 名同学的方法 有 C303 种，其中既有男同学又有女同学的方法有 C303－ (C203＋C103)种，因此选到的 3 名同学中既有男同学又有女 同学的概率等于 1－C20C3＋303C103＝2209，选 D.
(1)求 ξ＝4 时的概率； (2)求 A 取到“圆圆”的概率．
• 解：通过等可能事件的概率公式可求 出“圆圆”的个数，ξ＝4的概率即前3 次取到“团团”，第4次取到“圆圆” 的概率；求A取到“圆圆”的概率的关 键是明确A可能在哪次取到“圆圆”．
(1)设袋中原有玩具“圆圆”n 个，由题意知： CCn722＝17⇒n(n－1)＝6，解得 n＝3(n＝－2 舍去)． 设 ξ＝4 对应的事件为 C. P(C)＝CC43C7431＝1325.
• 答案：C
• 题型三 互斥事件与对立事件的综合 应用
• 典例3 某市举行的一次数学新课程骨
干教课培训，共邀请15名使用不同版
本教材的教师参加，数据如下表所示：
版本
人教A版
人教B版
性别 男教师 女教师 男教师 女教师
人数
6
3
4
2
• (1)从这15名教师中随机选出2名，求2 人恰好是教不同版本的男教师的概率；
又因为事件 A，B，C 是互斥事件， 所以所求事件的概率为 P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B) ＋P(C)＝1240＋1120＋1120＝210.
(2)解法一：三本书中至少有一本是数学书的事件可分 为：三本都是数学书；三本中恰有两本数学书；三本书中 恰有一本是数学书，它们为互斥事件，概率分别为CC13033， CC321·C0371，CC311·C0372，
解法一：由题意知 P(ξ＝1)＝CC21C151231＝12065；P(ξ ＝2)＝CC12522＝1015，
∴发言代表中至少有一名使用人教 B 版的女教师 的概率 P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝12065＋1105＝12075 ＝395，即发言代表中至少有一名使用人教 B 版的女教 师的概率为395.
1．甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛，假设每场
比赛各队取胜的概率相等，现任意将这 4 个队分成两个
组(每组两个队)进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概
率为( )
1
1
A.6
B.4
1
1
C.3
D.2
解析：甲、乙在同一组：P1＝13. 甲、乙不在同一组，但相遇的概率：P2＝23·12·12＝16， 综上，甲、乙相遇的概率为 P＝13＋16＝12.
所以所求事件的概率为CC13033＋CC321·C0371＋CC311·C0372＝1274.
解法二：该事件的对立事件为“3 本均不是数学 书”，其概率为CC17033＝274，
所以所求事件的概率为 1－274＝1274.
【方法技巧】 在求某些稍复杂的事件的概率时通常 有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的 事件的概率的和；二是先求出此事件的对立事件的概率， 再利用公式 P(A)＝1－P( A )求此事件的概率．
变式 2 (2010 年湖北高考)投掷一枚均匀硬币和一
枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A，“骰
子向上的点数是 3”为事件 B，则事件 A，B 中至少有一
件发生的概率是( )
5
1
A.12
B.2
7
3
C.12
D.4
解析：依题意得 P(A)＝12，P(B)＝16，事件 A，B 中 至少有一件发生的概率等于 1－P( A ·B )＝1－P( A )·P( B ) ＝1－12×56＝172，选 C.
(3)根据(2)的结论，计算从袋中任取 3 个小球至少有一 个是红球的概率．
• 解：(1)将5个黄球排成一排有A55种排 法；将3个蓝球放在5个黄球所形成的6 个空位上，有A63种排法．
• ∴ 由 分 步 计 数 原 理 ， 共 有 A55A63 ＝ 14400种排法．
(2)记“3 个球全红色”为事件 A，“3 个球全蓝色”为 事件 B，“3 个球全黄色”为事件 C，则 A、B、C 互斥．
变式 1 袋中装有写着“团团”和“圆圆”的玩具共 7 个，从中任取 2 个玩具都是“圆圆”的概率为17，A、B 两人 不放回地从袋中轮流摸取一个玩具，A 先取，B 后取，然后 A 再取，……，直到两人中有一人取到“圆圆”时即停止游 戏，每个玩具每一次被取出的机会是均等的．用 ξ 表示游戏 终止时取玩具的次数．
• (1)3本是同科目的书；
• (2)3本书中至少有1本是数学书．
【解】 (1)从 10 本书中取 3 本共有 C103 种取法，若 设抽取 3 本都是语文书，数学书，英语书的事件分别记 为 A，B，C，
则它们的概率分别为 P(A)＝CC14033＝1240，P(B)＝CC13033＝ 1120，P(C)＝CC13033＝1120.
•
．
• 2．对立事件
• 3.两个事件对立，它们一定互斥，反之，
两个事件互斥，它们未必对立．“事
件互必斥要”不是充分“事件对立”的
条
件．
• 1．从装有红球和绿球的口袋内任取2 个球(其中红球和绿球都多于2个)，那 么互斥而不对立的两个事件是( )
• A．至少有一个红球，至少有一个绿球 • B．恰有一个红球，恰有两个绿球 • C．至少有一个红球，都是红球 • D．至少有一个绿球，都是绿球
故所求概率 P＝C51CC419＋2 C42＝1138
解法二：取的两张卡号数全为奇数时，方法有 C52 种，所求事件概率为 P＝1－CC5922＝1138.
• 答案：D
3．(2010 年重庆高考)某篮球队员在比赛中每次罚 球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概 率为1265，则该队员每次罚球的命中率为________．
(2)因为 A 先取，所以 A 只有可能在第 1 次、第 3 次 或第 5 次取到“圆圆”，设上三次事件分别为 D1、D2、 D3，
则 P(A)＝P(D1＋D2＋D3) ＝P(D1)＋P(D2)＋P(D3) ＝37＋365＋315＝2325.
• 题型二 对立事件的概率
• 典例2 书架上有10本不同的书，其中 语文书4本，数学书3本，英语书3本， 现从中取3本书，求下列各事件的概率：
• (2)一项培训活动是随机选出2名代表发 言，求发言代表中至少有一名使用人 教B版的女教师的概率．
【解】 (1)∵从 15 名教师中随机选出 2 名共 C152 种选法，
∴这 2 人恰好是教不同版本的男教师的概率是 CC611C5241＝385.
(2)设发言代表中使用人教 B 版的女教师人数为 ξ，由题意知有 ξ＝0,1,2 三种情况，则
变式 3 在袋里装 30 个小球，其中彩球有 n 个红色、5 个蓝色、10 个黄色，其余为白球．
(1)如果已经从中取定出 5 个黄球和 3 个蓝球，并将它 们编上不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻 的排法有多少种？
(2)如果从袋里取出 3 个都是相同颜色彩球(无白色)的 概率是41036，且 n≥2，计算红球有几个？
∵P( D )＝CC238033＝111475， ∴3 个球中至少有一个红球的概率为： P(D)＝1－P( D )＝12485.
• 易错点 基本概念理解不透彻致误
• 例 抛掷一均匀的正方体骰子(各面分 别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件 A表示“朝上一面的数是奇数”，事件 B表示“朝上一面的数不超过3”，求 P(A＋B)．
• 1．了解互斥事件的意义，会用互斥事 件的概率加法公式计算一些事件的概 率．
• 2．在高考中，求概率时经常需要将复 杂的事件分解为易于计算的彼此互斥 的事件之和，常以解答题形式出现， 是必考内容．
• 1．互斥事件
• (1)概念： 不可能同时发生 件叫做互斥事件．
的两个事
• (2)集合解释：从集合的角度看，几个