2016年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模
试卷（理科）
一、填空题
1．（5分）设集合A＝{x||x|＜2，x∈R}，B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝．
3．（5分）设a＞0且a≠1，若函数f（x）＝a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．
4．（5分）计算：＝．
5．（5分）在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2＝0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为．
6．（5分）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），则tan2θ＝．
7．（5分）定义在R上的偶函数y＝f（x），当x≥0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．
9．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共
点的坐标为．
10．（5分）记的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝．11．（5分）从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望Eξ＝．
12．（5分）若数列{a n}是正项数列，且++…+＝n2+3n（n∈N*），则++…
+＝．
13．（5分）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共10道选择题，每题均有四个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合
为．
14．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝x﹣（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是．
二、选择题
15．（5分）sin x＝0是cos x＝1的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．（5分）下列命题正确的是（）
A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2
B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥α
C．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）
D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2
17．（5分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）
A．1B．2C．D．
18．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f
（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）
三、解答题
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点
（1）求证：BC⊥平面ACC1A1；
（2）求二面角B1﹣CD﹣C1的大小（结果用反三角函数值表示）
20．（12分）已知函数f（x）＝sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）＝0，•＝，且a+c＝4，试求b的值．
21．（12分）定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
（1）设f（x）＝，判断f（x）在[﹣，]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；
（2）若函数g（x）＝1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
22．（12分）如图，设F是椭圆+＝1的下焦点，直线y＝kx﹣4（k＞0）与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P
（1）若＝，求k的值；
（2）求证：∠AFP＝∠BF0；
（3）求面积△ABF的最大值．
23．（12分）已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
2016年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数
学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题
1．（5分）设集合A＝{x||x|＜2，x∈R}，B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B＝（﹣2，1]．【解答】解：A＝{x||x|＜2，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜2}，
B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}＝{x|x≥3或x≤1}，
则A∩B＝{x|﹣2＜x≤1}，
故答案为：（﹣2，1]．
2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝1．
【解答】解：设z＝a+bi，则＝＝i，
∴1﹣a﹣bi＝﹣b+（a+1）i，
∴，解得，
故z＝﹣i，|z|＝1，
故答案为：1．
3．（5分）设a＞0且a≠1，若函数f（x）＝a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（3，1）．
【解答】解：∵函数f（x）＝a x﹣1+2经过定点（1，3），
∴函数f（x）的反函数的图象经过定点P（3，1），
故答案为：（3，1）．
4．（5分）计算：＝．
【解答】解：＝＝
＝．
故答案为：．
5．（5分）在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2＝0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y
轴旋转一周，所得几何体的体积为．
【解答】解：由题意可知：V＝，
∴V＝π（y3﹣），
＝．
方法二：由题意可知绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，
则V＝•π×12×2＝，
故答案为．
6．（5分）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），则tan2θ＝．
【解答】解：∵sin2θ+sinθ＝0，
⇒2sinθcosθ+sinθ＝0，
⇒sinθ（2cosθ+1）＝0，
∵θ∈（，π），sinθ≠0，
∴2cosθ+1＝0，解得：cosθ＝﹣，
∴tanθ＝﹣＝﹣，
∴tan2θ＝＝．
故答案为：．
7．（5分）定义在R上的偶函数y＝f（x），当x≥0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是[﹣2，2]．
【解答】解：当x≥0时，由f（x）＝2x﹣4＝0得x＝2，
且当x≥0时，函数f（x）为增函数，
∵f（x）是偶函数，
∴不等式f（x）≤0等价为f（|x|）≤f（2），
即|x|≤2，即﹣2≤x≤2，
即不等式的解集为[﹣2，2]，
故答案为：[﹣2，2]．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为y2＝4x．
【解答】解：∵点A（1，1），
依题意我们容易求得直线的方程为x+y﹣1＝0，
把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p＝2，
从而得到抛物线C的方程为：y2＝4x．
故答案为：y2＝4x．
9．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的坐标为（0，1），（，﹣2）．
【解答】解：先求参数t得直线的普通方程为2x+y＝1，即y＝1﹣2x
消去参数θ得曲线的普通方程为y2＝1+2x，
将y＝1﹣2x代入y2＝1+2x，
得（1﹣2x）2＝1+2x，
即1﹣4x+4x2＝1+2x，
则4x2＝6x，得x＝0或x＝，
当x＝0时，y＝1，
当x＝时，y＝1﹣2×＝1﹣3＝﹣2，
即公共点到坐标为（0，1），（，﹣2）
故答案为：（0，1），（，﹣2）
10．（5分）记的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝5．
【解答】解：根据二项式定理，可得，
根据题意，可得2n﹣2•∁n2＝2×2n﹣3•∁n3，
解得n＝5，
故答案为5．
11．（5分）从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这
三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望Eξ＝．
【解答】解：如图所有棱长均为2的正四棱锥S﹣ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，SO⊥底面ABCD，SO＝AO＝，
S△SAB＝S△SBC＝S△SCD＝S△SAD＝＝，
S△ABD＝S△BCD＝S△ADC＝S△ABD＝＝2，
S△SBD＝S△SAC＝＝2，
∴ξ的可能取值为，
P（ξ＝）＝，
P（ξ＝2）＝，
Eξ＝＝．
故答案为：．
12．（5分）若数列{a n}是正项数列，且++…+＝n2+3n（n∈N*），则++…
+＝2n2+6n．
【解答】解：令n＝1，得＝4，∴a 1＝16．
当n≥2时，
++…+＝（n﹣1）2+3（n﹣1）．
与已知式相减，得
＝（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）＝2n+2，
∴a n＝4（n+1）2，n＝1时，a1适合a n．
∴a n＝4（n+1）2，
∴＝4n+4，
∴++…+＝＝2n2+6n．
故答案为2n2+6n
13．（5分）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共10道选择题，每题均有四个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30}．
【解答】解：若甲全对，则乙的得分为54﹣3×10＝24，则此时乙做对了8道题，则甲乙恰有2道题的选项不同，
若乙全对，则甲的得分为54﹣3×10＝24，则此时甲做对了8道题，则甲乙恰有2道题的选项不同，
若甲做错了一道，则乙的得分为54﹣3×9＝27，则此时乙做对了9道题，即甲乙错的题目不是同一道题，
故乙的得分为{24，27，30}，
故答案为{24，27，30}．
14．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝x﹣（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是6+4．
【解答】解：∵f（x）＝x﹣（x∈[1，2]），a＞0，
∴A（1，1﹣a），B（2，2﹣）
∴直线l的方程为y＝（1+）（x﹣1）+1﹣a
设M（t，t﹣）
∴N（t，（1+）（t﹣1）+1﹣a）
∵|MN|≤1恒成立
∴|（1+）（t﹣1）+1﹣a﹣（t﹣）|≤1恒成立
∴|a|≤1
∵g（t）＝t2﹣3t+2，在t∈[1，2]上小于等于0恒成立
∴﹣a≤1
①t＝1或t＝2时，0≤1恒成立．
②t∈（1，2）时，a≤＝
∴由基本不等式得：a≤＝4+6
此时t＝
∴a的最大值为6+4
二、选择题
15．（5分）sin x＝0是cos x＝1的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若sin x＝0，则x＝kπ，k∈Z，此时cos x＝1或cos x＝﹣1，即充分性不成立，若cos x＝1，则x＝2kπ，k∈Z，此时sin x＝0，即必要性成立，
故sin x＝0是cos x＝1的必要不充分条件，
故选：B．
16．（5分）下列命题正确的是（）
A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2
B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥α
C．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）
D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2
【解答】解：对于A，若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1与l2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．
对于B，若直线l与平面α相交于O点，在交点两侧各取A，B两点使得OA＝OB，则A，B到平面α的距离相等，但直线l与α不平行，故B错误．
对于C，当直线l⊂α或l∥α时，直线l与平面α所成的角为0，当l⊥α时，直线l与平面α所成的角为，故C错误．
对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知D正确．
故选：D．
17．（5分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）
A．1B．2C．D．
【解答】解：由题意可得•＝0，
可得|+|＝＝，
（﹣）•（﹣）＝2+•﹣•（+）
＝||2﹣||•|+|cos＜（+，＞＝0，
即为||＝cos＜+，＞，
当cos＜+，＞＝1即+，同向时，
||的最大值是．
故选：C．
18．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f
（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）
【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：
若满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，
则0＜x1＜1，1＜x1＜3，
则log3x1＝﹣log3x2，即log3x1+log3x2＝log3x1x2＝0，
则x1x2＝1，
同时x3∈（3，6），x4∈（12，15），
∵x3，x4关于x＝9对称，∴＝9，
则x3+x4＝18，则x4＝18﹣x3，
则x1x2x3x4＝x3x4＝x3（18﹣x3）＝﹣x32+18x3＝﹣（x3﹣9）2+81，
∵x3∈（3，6），
∴x3x4∈（45，72），
即x1x2x3x4∈（45，72），
故选：B．
三、解答题
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点
（1）求证：BC⊥平面ACC1A1；
（2）求二面角B1﹣CD﹣C1的大小（结果用反三角函数值表示）
【解答】证明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC
∴AC⊥BC，
∵CC1⊥平面A1B1C1，
∴CC1⊥BC，
∵AC∩CC1＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1．
解：（2）以C为原点，直线CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1），
由（1）得＝（0，2，0）是平面ACC1A1的一个法向量，
＝（0，2，2），＝（2，0，1），
设平面B1CD的一个法向量＝（x，y，z），
则，
取x＝1，得＝（1，2，﹣2），
设二面角B1﹣CD﹣C1的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝，
由图形知二面角B1﹣CD﹣C1的大小是锐角，
∴二面角B1﹣CD﹣C1的大小为arccos．
20．（12分）已知函数f（x）＝sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，
且函数的最小正周期为π：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）＝0，•＝，且a+c＝4，试求b的值．
【解答】解：（1）f（x）＝sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1
＝＝．
∵T＝，∴ω＝2．
则f（x）＝2sin（2x）﹣1；
（2）由f（B）＝＝0，得．
∴或，k∈Z．
∵B是三角形内角，∴B＝．
而＝ac•cos B＝，∴ac＝3．
又a+c＝4，∴a2+c2＝（a+c）2﹣2ac＝16﹣2×3＝10．
∴b2＝a2+c2﹣2ac•cos B＝7．
则b＝．
21．（12分）定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
（1）设f（x）＝，判断f（x）在[﹣，]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；
（2）若函数g（x）＝1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝＝1﹣，则f（x）在[﹣，]上是增函数；
故f（﹣）≤f（x）≤f（）；故﹣1≤f（x）≤；
故|f（x）|≤1；
故f（x）是有界函数；
故f（x）上所有上界的值的集合为[1，+∞）；
（2）∵函数g（x）＝1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，
∴|g（x）|≤3在[0，2]上恒成立；
即﹣3≤g（x）≤3，
∴﹣3≤1+2x+a•4x≤3，
∴﹣﹣≤a≤﹣；
令t＝，则t∈[，1]；
故﹣4t2﹣t≤a≤2t2﹣t在[，1]上恒成立；
故（﹣4t2﹣t）max≤a≤（2t2﹣t）min，t∈[，1]；
即﹣≤a≤﹣；
故实数a的取值范围为[﹣，﹣]．
22．（12分）如图，设F是椭圆+＝1的下焦点，直线y＝kx﹣4（k＞0）与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P
（1）若＝，求k的值；
（2）求证：∠AFP＝∠BF0；
（3）求面积△ABF的最大值．
【解答】解：（1）联立，得（3k2+4）x2﹣24kx+36＝0，
∵直线y＝kx﹣4（k＞0）与椭圆相交于A、B两点，∴△＝144（k2﹣4）＞0，即k＞2或k ＜﹣2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
∵，∴x2＝2x1，
代入上式，解得k＝．
证明：（2）由图形得要证明∠AFP＝∠BFO，等价于证明直线AF与直线BF的倾斜角互补，即等价于k AF+k BF＝0，
k AF+k BF＝+
＝
＝2k﹣3（）
＝2k﹣
＝2k﹣2k＝0，
∴∠AFP＝∠BFO．
解：（3）∵k＞2或k＜﹣2，
∴S△ABF＝S△PBF﹣S△P AF＝
＝
＝．
令t＝，则t＞0，3k2+4＝3t2+16，
∴S△ABF＝＝＝≤＝，
当且仅当3t＝，即t2＝，k＝取等号，
∴△ABF面积的最大值为．
23．（12分）已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，得2b n＝a n+a n+1①，a n+12＝b n•b n+1②．由②得③．
将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有．
即．
∴是等差数列．（4分）
（Ⅱ）设数列的公差为d，
由a1＝10，a2＝15．经计算，得．
∴．
∴．
∴，．（9分）
（Ⅲ）由（1）得．∴
．
不等式化为．
即（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0．
设f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，则f（n）＜0对任意正整数n恒成立．
当a﹣1＞0，即a＞1时，不满足条件；
当a﹣1＝0，即a＝1时，满足条件；
当a﹣1＜0，即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）关于n递减，因此，只需f（1）＝4a﹣15＜0．解得，∴a＜1．
综上，a≤1．（14分）。