试题及解析：成都七中2022-2023学年高一上期末数学(3)

2025届高一上期末测试卷（数学）
试卷分数：150分
考试时间：9：00—11：00
一、单选题
1．命题“”的否定为()A. B.
C. D.
2．已知0a b <<，则下列不等式成立的是（
）A ．22a b <B ．2a ab
<C ．11a b >D ．1b a <3．30α= 是1sin 2
α=的什么条件（）A ．充分必要
B ．充分不必要
C ．必要不充分
D ．既不充分也不必要
4．函数2()x
x f x x x
⋅=-的图象大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．5．已知3sin 375︒=
，则cos 593︒=（）A ．35B ．3
5-C ．4
5D ．45-
6．已知2x >，则函数42y x x =+-的最小值是（）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
16．已知函数(
))2log f x x =-,若任意的正数,a b 均满足()f a +
()310f b -=,则
31a b
+的最小值为.四、解答题17．已知函数()f x 是二次函数，(1)0f -=，(3)(1)4f f -==．
(1)求()f x 的解析式；
(2)解不等式(1)4f x -≥．
18．已知cos(2)sin()tan()cos()
()sin cos 22f πθθπθπθθππθθ--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．（1）化简()f θ；
（2）若θ
为第四象限角，且cos θ=，求()f θ的值．19．设集合{}{}
220,4,2(1)10,R A B x x a x a x =-=+++-=∈.(1)若12
a =-，求A B ⋃；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围.
20．某医疗器械工厂计划在2023年利用新技术生产某款电子仪器，通过分析，生产此款电子仪器全年需投入固定成本200万元，每生产x （千部）电子仪器，需另投入成本
()R x 万元，且210100,025()90005104250,25x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩
，由市场调研知，每1千部电子仪器售价500万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完．
(1)求出2023年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式；（利润＝销售额－成本）
(2)2023年产量x 为多少千部时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?
21．已知()221g x x ax =-+在区间[]13，上的值域为[]
0,4。

(1)求实数a 的值；
(2)若不等式()240x x g k -⋅≥当[)x 1,∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围。

22.设m 为给定的实常数，若函数y ＝f （x ）在其定义域内存在实数0x ，使得()()00()f x m f x f m +=+成立，则称函数f （x ）为“G （m ）函数”．
（1）若函数()2x f x =为“G （2）函数”，求实数0x 的值；
（2）已知()()f x x b b R =+∈为“G （0）函数”，设()|4|g x x x =-．若对任意的1x ，
2[0,]x t ∈，当12x x ≠时，都有()()
()()12122g x g x f x f x ->-成立，求实数t 的最大值．
2025届高一上期末测试卷（数学答案）
试卷分数：150分
考试时间：9：00—11：00
一、单选题
1．命题“”的否定为()A. B.
C. D.
.【答案】
解：全称量词命题的否定是存在量词命题，
则原命题的否定是：，，故选A ．2.已知0a b <<，则下列不等式成立的是（
）A ．22
a b <B ．2a ab <C ．11a b >D ．1b a <
3．30α= 是sin 2
α=的什么条件（）A ．充分必要
B ．充分不必要
C ．必要不充分
D ．既不充分也不必要
7.已知函数()f x x =+()f x 有（）
A ．最小值1，无最大值
B ．最大值32，无最小值
C ．最小值
32，无最大值D ．无最大值，无最小值
【答案】C 【详解】因为()f x x =+[)0,t =∈+∞，所以232
t x +=，所以()()()[)()2231110,22
t f x g t t t t +==+=++∈+∞，因为()g t 的对称轴为1t =-，
所以()g t 在[)0,+∞上递增，所以()()min 302
g t g ==，无最大值，所以()f x 的最小值为32，无最大值，8．已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（
）A ．a <b <c
B ．b <a <c
C ．b <c <a
D ．c <a <b
二、多选题
9．以下说法中正确的有（）
A ．幂函数1
2
y x -=在区间()0+∞，上单调递减；B ．如果幂函数为奇函数，则图象一定经过()1，
1--；C ．若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f f -=，则函数()f x 是偶函数；D ．若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；
10．若4455x y x y ---<-，则下列关系正确的是（
）A ．x y
<B ．33y x -->C
<D ．133y
x -⎛⎫< ⎪⎝⎭
11.已知函数()22f x x x a =-+有两个零点12,x x ,则以下结论中正确的是(
)A.1a < B.若120x x ≠,则12112x x a
+=C.()()
13f f -= D.函数()
y f x =有四个零点【答案】ABC 【解析】()f x 对应的二次方程根的判别式Δ=2
(2)4440,1a a a --=-><,故A 正确;
由韦达定理知12122,x x x x a +==,则1211x x +=12122x x x x a
+=,故B 正确;因为()f x 图象的对称轴为直线1x =,所以点()()()()1,1,3,3f f --关于对称轴对称,故C 正确;
当0a <时,()y f
x =只有两个零点,故D 不正确.
故选ABC.12．已知函数()x x x x e e f x e e --+=-，则下列结论中正确的是（）
A ．()f x 的定义域为R
B ．()f x 是奇函数
C ．()f x 在定义域上是减函数
D ．()f x 无最小值，无最大值
三、填空题
13．已知一元二次方程220
x x a
++-=有一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是______.
14．已知
60
sin cos
169
ϕϕ=且
42
ππ
ϕ
<<，则sinϕ的值为_____________.
15．若函数log 2)a y ax =-（在[0，1]上单调递减，则a 的取值范围是________．
16．已知函数()2
log f x x =-,若任意的正数,a b 均满足()f a +
()
310f b -=,则
31
a b
+的最小值为.
【答案】120x ->恒成立,所以函数()f x 的定义域为R .
因为()2
log f x =,
())
2
log f x x -=,
所以()()(),f x f x f x =--为奇函数.又())
2
log f x x =-在(),0∞-上单调递减,
所以()f x 在()0,∞+上单调递减,又()f x 在0x =处连续,所以()f x 在R 上单调递减.
由()()310f a f b +-=得()()13f a f b =-,故13a b =-,即31a b +=,
所以
()3131936b a
a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭
66612+=+=,当且仅当9b a a b =,即11
,26a b ==时等号成立,所以31
a b
+的最小值为12.
故答案为12.
四、解答题
17．已知函数()f x 是二次函数，(1)0f -=，(3)(1)4f f -==．(1)求()f x 的解析式；(2)解不等式(1)4f x -≥．【答案】(1)2()(1)f x x =+(2)(,2][2,)
-∞-+∞ 【详解】（1）由(3)(1)f f -=，知此二次函数图象的对称轴为=1x -，又因为(1)0f -=，所以()1,0-是()f x 的顶点，所以设2
()(1)f x a x =+因为(1)4f =
，即2 (11)4a +=所以得1a =所以2
()(1)f x x =+（2）因为2()(1)f x x =+所以2(1)f x x -=(1)4f x -≥化为24x ≥，即2x ≤-或 2
x ≥不等式的解集为(,2][2,)-∞-+∞ 18．已知
cos(2)sin()tan()cos()
()sin cos 22f πθθπθπθθππθθ--+-=
⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．（1）化简()f θ；
（2）若θ为第四象限角，且cos θ=
，求()f θ的值．
19．设集合{}22
0,4,2(1)10,R A B x x a x a x =-=+++-=∈.
(1)若1
2
a =-，求A B ⋃；
(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围.
20．某医疗器械工厂计划在2023年利用新技术生产某款电子仪器，通过分析，生产此款电子仪器全年需投入固定成本200万元，每生产x （千部）电子仪器，需另投入成本
()R x 万元，且210100,025()9000
5104250,25x x x R x x x x ⎧+<<⎪
=⎨+-≥⎪
⎩
，由市场调研知，每1千部电子仪器售价500万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完．
(1)求出2023年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式；（利润＝销售额－成本）
(2)2023年产量x 为多少千部时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?
21．已知()221g x x ax =-+在区间[]1
3，上的值域为[]
0,4。

(1)求实数a 的值；(2)若不等式()2
4
0x
x
g k -⋅≥当[)x 1,∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围。

【答案】（1）1a =；（2）1-4⎛
⎤∞ ⎥⎝
⎦
，.
【详解】（1）()()2
21g x x a a =-+-，当1a <时，()g x 在[]
1,3上单调递增
()()min 1220g x g a ∴==-=，即1a =，与1a <矛盾。

故舍去。

当13a ≤≤时，()()2
min 10g x g a a ==-=，即1a =±，故1a =，
此时()()2
1g x x =-，满足[]1,3x ∈时其函数值域为[]
0,4。

当3a >时，()g x 在[]
1,3上单调递减，()()min 31060g x g a ==-=，
即5
3
a =
，舍去。

综上所述：1a =。

（2）由已知得()
2222140
x x x k -⨯+-≥在[)1,x ∈+∞上恒成立
⇔2
1121
22
x x k ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在[)1,x ∈+∞上恒成立
令12x t =
，且10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则上式⇔2
121,0,2k t t t ⎛⎤≤-+∈ ⎥⎝⎦
恒成立。

记()2
21h t t t =-+，10,2
t ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
时()h t 单调递减，
()min 11
24
h t h ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，故14k ≤，所以k 的取值范围为。

22．设m 为给定的实常数，若函数y ＝f （x ）在其定义域内存在实数0x ，使得
()()00()f x m f x f m +=+成立，则称函数f （x ）为“G （m ）函数”．
（1）若函数()2x f x =为“G （2）函数”，求实数0x 的值；
（2）已知()()f x x b b R =+∈为“G （0）函数”，设()|4|g x x x =-．若对任意的1x ，
2[0,]x t ∈，当12x x ≠时，都有
()()()()
12122g x g x f x f x ->-成立，求实数t 的最大值．
由图可知，01t < ，故实数t 的最大值为。