广东广雅中学2024~2025学年九年级上学期开学考试数学试题(解析版)

2024学年第一学期九年级综合素质评估试卷数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，共25小题，满分120分，考试用时120分钟．注意事项：
1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．
第一部分选择题部分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式以及二次根式的性质，根据最简二次根式的定义：二次根式的被开方式中不含分母，并且不含有能开得尽方的因式或因数，进行判断即可．
【详解】解：A
B=
C=，不是最简二次根式，不符合题意；
D
故选：A．
2. 一组数据5，4，5，6，5，3，4的众数是（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查众数的定义，根据众数的概念，找到该组数据中出现次数最多的数即可选出正确答案．
【详解】解：数据5出现了3次，最多， 所以众数为5，
故选：C ．
3. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ）
A.
B. 6，7，8
C. 1，2，3
D. 9，12，15
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理逆定理，两条较短线段的平方和等于较长线段的平方．
根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】解：A 、222+≠，不能组成直角三角形，不符合题意；
B 、222678+≠，不能组成直角三角形，不符合题意；
C 、123+=，不能组成三角形，不符合题意；
D 、22291215+=，能组成直角三角形，符合题意；
故选：D ．
4. 甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛，经过几轮初赛后，他们的平均数相同，方差分别为：22220.34,0.21,0.4,0.5s s s s ≡===甲乙丁丙．如果要从这四人中选取成绩稳定的一人参加决赛，你认为最应该派去参加决赛的是（ ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义，根据方差的定义进行判断即可得出答案．
【详解】解：∵22220.34,0.21,0.4,0.5s s s s ≡=
==甲乙丁丙， 2222s s s s ∴<<<乙甲丁丙， ∴乙的成绩更加稳定，
故选：B ．
5. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列说法正确的是（ ）
A. 若AB BC ⊥，则ABCD 是菱形
B. 若AC BD ⊥，则ABCD 是正方形
C. 若AC BD =，则ABCD 是矩形
D. 若AB AD =，则ABCD 是正方形
【答案】C
【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和正方形以及菱形的判定，熟练掌握矩形和正方形以及菱形的判定定理是解题的关键．
根据矩形和正方形以及菱形的判定定理逐项判断，即可解答．
【详解】解：A 、邻边互相垂直的平行四边形不一定是菱形，故A 错误，不符合题意；
B 、因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B 错误，不符合题意；
C 、若AC B
D =，则ABCD 是矩形，故C 正确，符合题意；
D 、因为邻边相等的平行四边形是菱形，故D 错误，不符合题意；
故选：C ．
6. 已知方程2210kx x +−=有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A. 1k ≥−
B. 1k ≥
C. 1k ≤且0k ≠
D. 1k ≥−且0k ≠ 【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式．讨论：当0k =时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当0k ≠时，根据根的判别式的意义得到224(1)0k ∆=−×−≥，解得1k ≥−且0k ≠，然后综合两种情况得到k 的取值范围．
【详解】解：当0k =时，方程化为210x −=， 解得12
x =； 当0k ≠时，则224(1)0k ∆=−×−≥，
解得1k ≥−且0k ≠，
综上所述，k 取值范围为1k ≥−．
故选：A ．
7. 如图，矩形ABCD 中，8AB =，12AD =，
E 为AD 的中点，
F 为CD 边上任意一点，
G ，
H 分别为EF
，的
BF 的中点，则GH 的长是（ ）
A. 6
B. 5.5
C. 6.5
D. 5
【答案】D
【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出12
GH BE =，由勾股定理求出BE 的长．
连接BE ，由矩形的性质得到90A ∠=°，由勾股定理求出10BE
，由三角形中位线定理得到152
GH BE ==． 【详解】
解：连接BE ，
∵四边形ABCD 是矩形，
90A ∴∠=°，
12AD =∵，E 为AD 中点，
162
AE AD ∴==， 8AB = ，
10BE ∴=，
∵G ，H 分别为EF ，BF 中点，
GH ∴是BEF △的中位线，
152
GH BE ∴==． 故选：D ．
8. 已知直线1l ：y kx b =
−+与直线2l ：3y kx b =−在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键．根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决．
【详解】解：A 、直线1:l y kx b =
−+中0k >，0b >，2:3l y kx b =−中0k >，0b <，b 的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
B 、直线1:l y kx b =
−+中0k <，0b >，2:3l y kx b =−中0k <，0b >，k 、b 的取值一致，故本选项符合题意；
C 、直线1:l y kx b =
−+中0k >，0b >，2:3l y kx b =−中0k <，0b >，k 的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
D 、直线1:l y kx b =
−+中0k <，0b <，2:3l y kx b =−中0k <，0b >，b 的取值相矛盾，故本选项不符合题意．
故选：B ．
9. 在平面直角坐标系中，以方程组1y x m y x =−+ =−
的解为坐标的点位于第三象限，则m 的取值范围是（ ） A. 1m <−
B. 1m <
C. 1m >
D. 11m −<<
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了解不等式组、解二元一次方程组，利用了消去的思想，消去的方法有：加减消去法与代入消元法，还考查了点的坐标．
先求出方程组1y x m y x =−+ =−
的解．根据以方程组的解为坐标的点位于第三象限列出不等式组求解即可； 【详解】解：解方程组1y x m y x =−+ =− 得：1212m x m y + = − =
， ∵以方程组1
y x m y x =−+ =− 的解为坐标的点位于第三象限， ∴102102m m + < − <
， 解得：1m <−，
故选：A ．
10. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，10AE AD ==，6CD =，作AF DE ⊥于点G ，交CCCC 于F ，则CCCC 的长是（ ）
A. 103
B. 83
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，10AD BC AE ===，6AB CD ==，可
得8BE =，这样得2EC BC BE =−=，设CF x =，则6FE DF x ==−，利用勾股定理计算即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵矩形 ABCD ，10AD AE ==，6CD =，
∴10AD BC AE ===，6AB CD ==，90B C ∠=
∠=°，
∴8BE =，
∴2EC BC BE =−=，
∵10AD AE ==，AF DE ⊥，
∴直线AF 是线段DE 的垂直平分线，
∴FE FD =，
设CF x =，则6FE DF x ==−，
则()2264x x −=+， 解得83
x =， 故选：B ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________．
【答案】3x ≥
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案．
【详解】解：由题意得30x −≥，解得3x ≥，
故答案为：3x ≥．
【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 12. 已知()211350m
m x x +−+−=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为______． 【答案】1−
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．
直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x 的最高次幂为2，得出m 的值进而得出答案．
【详解】解：由题意知：212m +=且10m −≠，
解得1m =−，
故答案为：1−．
13. 已知正比例函数的图象过点()2,1A −，则该函数的解析式为______． 【答案】12
y x =−
【解析】
【分析】本题考查的是求解正比例函数的解析式，直接利用待定系数法求解函数解析式即可．
【详解】解：设正比例函数解析式为y kx =，
∵正比例函数的图象过点()2,1A −
21k ∴−=， 解得：12
k =−， ∴该函数的解析式为12
y x =−； 故答案为：12
y x =− 14.
已知1x =
，1y =
−，则22x y −的值为____________．
【答案】【解析】
【分析】先将22x y −
因式分解，然后将1x =+
、1y =−代入计算即可．
详解】解：()(
)
)221111x y x y x y −=+−+++=−+
故答案为
键．
15. 若关于x 的一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠的两根分别为13x =，22x =−，则方程()()2(1)100a x b x c a −+−+=≠的两根分别为______．
【答案】14x =，21x =−
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解的概念，根据一元二次方程的解即可求得结果．关键是把方程()()2
2230a x b x ++++=中的2x +看成一个新的未知数，则关于2x +的方程的解等于关于x 的一元二次方程230ax bx ++=的解． 【详解】解：由题意得：关于1x −的方程()()2
(1)100a x b x c a −+−+=≠的解为：13x −=，12x −=−，
【
解得：14x =，21x =−，
故答案为：14x =，21x =−．
16. 如图，点()03B ，
，A 为x 轴上一动点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到.AC 连接.OC 当OC 取最小值时，点A 的坐标是_______________．
【答案】302 −
， 【解析】
【分析】本题考查了直线与图形的变化，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题；
如图，在x 轴的正半轴上取一点H ，使得3OH OB ==，在OB 上取一点D ，使得OD OA =．证明点C 在直线3y x =−上运动，根据垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：在x 轴的正半轴上取一点H ，使得3OH OB ==，
在OB 上取一点D ，使得OD OA =．
OB OH = ，OD OA =，
BD AH ∴=，
90HAC OAB ∠+∠=° ，90OAB ABO
∠+∠=°， HAC DBA ∴∠=∠，
BA AC = ，
()SAS BDA AHC ∴ ≌，
AHC ADB ∴∠=∠，
OD OA = ，90AOD ∠=°，
45ADO ∴∠=°，
135AHC ADB ∴∠=∠=°，
45CHx ∴∠=°，
设直线CH 的解析式为y x b =+，
()30H ，，
∴直线CH 的解析式为3y x =−，
∴点C 在直线3y x =−上运动，
作OP CH ⊥于点P ，OP = 此时点3
322P − ，，即3322C −
，，设()0A m ，， AB AC = ，
222233322m m ∴+=−+
， 解得32
m =−， ∴点302A −
， 故答案为：3,02 −
． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. ()03π1−
−． 【答案】3−
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 先算乘除法和零次幂，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
()03π1+−
1= 261=−+
3=−
18. 如图，在ABCD 中，E ，F 分别是,AB CD 的中点．求证：AF CE =．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，线段中点的有关计算，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质和线段中点的有关计算，证明四边形AECF 是平行四边形，进而即可证明．
【详解】证明： 四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB CD ∥，AB CD =，
E ，
F 分别是ABCD 的边AB ，CD 上的中点， ∴12
CF CD =，12AE AB =， ∴CF AE =，CF AE ∥，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∴AF CE =．
19. 如图，已知CD AB ⊥，垂足为D ，1BD =，2CD =，4=AD ．判断ABC 的形状，并说明理由．
【答案】ABC 是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】根据勾股定理分别求出2BC ，2AC ，再根据勾股定理逆定理，即可得出结论．
【详解】解：ABC 是直角三角形．
理由：CD AB ⊥ ，垂足为D ，1BD =，2CD =，4=AD ．
22222125BC BD CD ∴=+=+=，
222224220AC AD CD =+=+=．
415AB AD BD =+=+= ，
22225205AB AC BC ∴==+=+．
ABC ∴ 是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．
20. （1）化简：24211326x x x x −+ −÷ ++
； （2）若x 是一元二次方程2320x x −+=的解，请求出上面化简后的代数式的值．
【答案】（1）
21
x −；（2）2 【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． （1）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，可以得到x 的值，然后将使得原分式有意义的x 的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）24211326x x x x −+ −÷ ++ 2
34(1)32(3)
x x x x +−−÷++ 2
12(3)3(1)x x x x −+×+− 21
x =−； （2）解方程：2320x x −+=
∴(1)(2)0x x −−=
∴
121,2x x ==， ∵1x =时分式无意义
∴当xx =2 时，
原式2221
=−． 21. 某校学生会决定从三名学生会干事中选拔一名干事，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：
根据录用程序，学校组织200名学生采用投票推荐的方式，对三人进行民主测评，三人得票率（没有弃权，每位同学只能推荐1人）如扇形统计图所示，每得一票记1分．
（1）分别计算三人民主评议的得分；
（2）根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按4:3:3的比例确定个人成绩，三人中谁的得分最高？
【答案】（1）甲50，乙80，丙70；
（2）丙．
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数、扇形统计图等知识点，熟记相关公式是解题关键．
（1）分别用200乘以三人的得票率，求出三人民主评议的得分各是多少即可．
（2）根据加权平均数的计算方法列式计算，分别求出三人的得分各是多少；然后比较大小，判断出三人中谁的得分最高即可．
小问1详解】
解：甲民主评议得分是：20025%50×=（分）
； 乙民主评议的得分是：20040%80×=（分）
； 丙民主评议的得分是：20035%70×=（分）
． 【小问2详解】
解：甲的成绩是：()()75493350343372910
72.9×+×+×÷++=÷=（分）， 乙的成绩是：()()8047038034337701077×+×+×÷++=÷=（分）
， 丙的成绩是：()()9046837034337741077.4×+×+×÷++=÷=（分）
，
【的
∵77.47772.9>>，
∴丙的得分最高．
22. 如图，在平面直角坐标中，直线26y x =
−+与x 轴相交于点B ，与直线2y x =相交于点A ．
（1）求AOB 的面积；
（2）点P 为y 轴上一点，当PA PB +取最小值时，求点P 的坐标，
【答案】（1）92
（2）()0,2P
【解析】
【分析】本题考查两直线相交问题，一次函数的性质以及轴对称−最短线路问题，解题的关键是掌握待定系数法．
（1）先求出点B 的坐标，联立两直线解析式构成方程组，得262y x y x
=−+
= ，解方程组求出3,32A 即可求解； （2）直线26y x =
−+与y 轴的交点()3,0B ，作点B 关于y 轴的对称点(3,0)B ′−，连接,AB PB ′，交x 轴于点P ，利用待定系数法求出AB ′的解析式并令函数值为0即可求出点P 的坐标．
【小问1详解】
解： 026B x =
−+， ∴3B x =，即()3,0B ，
联立262y x y x =−+ =
， 解得：323
x y = = ，
∴点A 的坐标为3,32
， ∴AOB 的面积为：11933222
A O
B y ⋅=××=； 【小问2详解】
解：作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′，交y 轴于点P ，
PB PB ′= ，
PB PA PB PA ′∴+=+，
此时，,,B P A ′三点共线，PB PA +有最小值，
()3,0B ，3,32A
， (3,0)B ′∴−
设直线AB ′的解析式为y k x b ′′=
+， 代入(3,0)B ′−，3,32A ，的坐标得03332k b k b ′′′=−+ =+
， 解得：223b k ==′′
， ∴直线AB ′的解析式为223
y
x =+， 令0x =，得2y =， ∴点()0,2P 使PB PC +最小．
23. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元．经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x
（单位：万元）成一次函数
关系．
（1）求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？
【答案】（1）10900y x =
−+ （2）50万元
【解析】
【分析】（1）设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式yy =kkxx +bb (kk ≠0)，根据点的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）设此设备的销售单价为m 万元/台，
则每台设备的利润为()30m −万元，销售数量为()10900m −+台，根据总利润=单台利润×销售数量，
即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出结论． 【小问1详解】
解：设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式yy =kkxx +bb (kk ≠0)，
将()35,550，()40,500代入解析式，得：
3555040500k b k b += +=
， 解得：10900k b =− =
， ∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为10900y x =
−+； 【小问2详解】
设此设备的销售单价为m 万元/台，则每台设备的利润为()30m −万元，销售数量为()10900m −+台，
根据题意得：()()30109008000m m −−+=
， 整理得：212035000m m −+=，
解得：150m =， 270m =，
此设备的销售单价不得高于60万元，
50m ∴=，
则该设备的销售单价应是50万元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点
的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24. 某条城际铁路线共有A ，B ，C 三个车站，每日上午均有两班次列车从A 站驶往C 站，其中D 1001次列车从A 站始发，经停B 站后到达C 站，G 1002次列车从A 站始发，直达C 站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表 车次
A 站
B 站
C 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D 1001
8：00 9：30 9：50 10：50 G 1002 8：25 途经B 站，不停车
10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D 1001次列车从A 站到B 站行驶了______分钟，从B 站到C 站行驶了______分钟；
（2）记D 1001次列车的行驶速度为1v ，离A 站的路程为1d ；G 1002次列车的行驶速度为2v ，离A 站的路程为2d ．
①12
v v =______； ②从上午8：00开始计时，时长记为t 分钟（如：上午9：15，则75t =），已知1240v =千米/小时（可换
算为4千米/分钟），在G 1002次列车的行驶过程中()25150t ≤≤，若1260d d −=
，求t 的值． 【答案】（1）90，60
（2）①56
；②75t =或125 【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．
（1）直接根据表中数据解答即可；
（2）①分别求出D 1001次列车、G 1002次列车从A 站到C 站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可；
②先求出2v ， A 与B 站之间的路程，G 1002次列车经过B 站时，对应t 的值，从而得出当90110
t ≤≤
时，D 1001次列车在B 站停车． G 1002次列车经过B 站时，D 1001次列车正在B 站停车，然后分2590t ≤<，90100t ≤≤，100110t <≤，110150t <≤讨论，根据题意列出关于t 的方程求解即可．
【小问1详解】
解：D 1001次列车从A 站到B 站行驶了90分钟，从B 站到C 站行驶了60分钟，
故答案为：90，60；
【小问2详解】
解：①根据题意得：D 1001次列车从A 站到C 站共需9060150+=分钟，
G 1002次列车从A 站到C 站共需356030125++=分钟，
∴12150125v v =， ∴1256
v v =， 故答案为：56
； ②14v = （千米/分钟），1256
v v =， 2 4.8v ∴=（千米/分钟）．
490360×= ，
∴A 与B 站之间的路程为360．
360 4.875÷=
， ∴当100t =时，G 1002次列车经过B 站．
由题意可如，当90110t ≤≤时，D 1001次列车在B 站停车．
∴G 1002次列车经过B 站时，D 1001次列车正在B 站停车．
ⅰ．当2590t ≤<时，12d d >，
1212d d d d ∴−=−，()4 4.82560t t ∴−−=，75t =（分钟）；
ⅱ．当90100t ≤≤时，12d d ≥，
1212d d d d ∴−=−，()360 4.82560t ∴−−=，87.5t =（分钟），不合题意，舍去； ⅲ．当100110t <≤时，12d d <，
1221d d d d ∴−=−，()4.82536060t ∴−−=，112.5t =（分钟），不合题意，舍去；
ⅳ．当110150t <≤时，12d d <，
1221d d d d ∴−=−，()()4.825360411060t t ∴−−+−=
，125t =（分钟）． 综上所述，当75t =或125时，1260d d −=
． 25. 如图，等边ABD △中，8AB =．
（1）尺规作图：在图1中作点A 关于BD 的对称点C ，连接BC DC ，，并证明四边形ABCD 是菱形； （2）在（1）的条件下，点O 是四边形ABCD 对角线交点，动点E ，F ，G 分别在线段CD AC BC ，，上，且满足EF AD EG EF ⊥∥，，H 是FG 中点；
①当OH AB ∥时，求证12OH DE =
； ②当OH BC ⊥时，求OH 长度．
【答案】（1）作图见解析，证明见解析
（2 【解析】
【分析】（1）作BAD ∠的平分线，交BD 于O ，截取OC OA =，点C 即为所作；由等边ABD △，可得AC 垂直平分BD ，即AC BD ⊥，OD OB =，进而可证四边形ABCD 是菱形；
（2）①由题意证，EF CE =，如图2，作EP CF ⊥，则EP BD ∥，由EF CE =，可得P 是CF 的中点，如图2，连接PH ，则PH CG ∥，由OH AB ∥，AB CD ∥，可得
30POH BAC OPH ∠=∠=°=∠，OH CD ∥，则OH PH =，如图2，作HQ EP ∥交EF 于M ，则HQ OD ∥，证明四边形ODQH 是平行四边形，证明四边形MEPH 是平行四边形，证明MEQ △是等边
三角形，则QE ME PH ==，由2DE DQ QE OH PH OH =+=+=，可得12
OH DE =；②由题意求2BP =，6CP =，2CE CG =，如图3，作EN CF 于H ，连接HN ，延长OH ，交BC 于P ，交EF
于Q ，则四边形EGPQ 是矩形，QE PG PQ EG ==，，设CG a PG b ==，，则2EF CE a ==，
PQ EG =，12HN a =，QE PG b ==，2FQ EF QE a b =−=−，6a b +=，证明()AAS FHQ GHP ≌
，则12QH PH PQ ===，由题意知，2OF OQ =，2ON OH =，由
勾股定理得，2FQ a b =−，则
OQ =
OH =，由QH OQ OH =+
+，可求a b =，则3a b ==，进而可求OH 的长． 【小问1详解】 解：作BAD ∠的平分线，交BD 于O ，截取OC OA =，点C 即为所作； ∵等边ABD △，
∴AC 垂直平分BD ，即AC BD ⊥，OD OB =， 又∵OC OA =，
∴四边形ABCD 菱形；
【小问2详解】
①证明：∵菱形ABCD ，
∴30DAC DCA BAC BCA ∠=∠=∠=∠=°，60CDB ∠=°，120ADC ∠=°，BD AC ⊥，
AB CD ∥，
∵EF AD ∥，
∴EFC DAC DCA ∠=∠=∠，120FEC ADC ∠=∠=°，60DEF ∠=°， ∴EF CE =，
如图2，作EP CF ⊥，则EP BD
∥，
是
图2
∵EF CE =，
∴P 是CF 的中点，
如图2，连接PH ，
∵H 是FG 中点，
∴PH CG ∥，
∴30OPH ACB ∠=∠=
°， ∵OH AB ∥，AB CD ∥，
∴30POH BAC OPH ∠=∠=°=∠，OH CD ∥，
∴OH PH =，
如图2，作HQ EP ∥交EF 于M ，则HQ OD ∥，
∴四边形ODQH 是平行四边形，60CQH CDB ∠=
∠=°， ∴DQ OH =，
∵120EPH EPF OPH ∠=∠+∠=°，1602
FEP CEF ∠=∠=
°， ∴180EPH FEP ∠+∠=°，
∴PH ME ∥，
∴四边形MEPH 是平行四边形，∴PH ME =，
∵60QEM MQE ∠=°=∠，
∴MEQ △是等边三角形， ∴QE
ME PH ==， ∴2DE DQ QE OH PH OH =+=+=， ∴12
OH DE =； ②解：∵菱形ABCD ，8AB =， ∴11422
OB BD AB ===， ∵60DBC ∠=°，OH
BC ⊥，
∴30BOP ∠=°，
∴2BP =，6CP =，
∵60BCD ∠=°，90EGC FEG ∠=∠=°，
∴30CEG ∠=°，
∴2CE CG =，
如图3，作EN CF 于H ，连接HN ，延长OH ，交BC 于P ，交EF 于Q ，则四边形EGPQ 是矩形，
图3
∴QE PG
PQ EG ==，， 由①可知，EF CE =，HN CG ∥，12
HN CG =， ∴90OHN QPC ∠=∠=°，30ONH BCA ∠=∠=°，
设CG a PG b ==，，则2EF CE a ==，PQ EG =，12
HN a =，QE PG b ==，2FQ EF QE a b =−=−，6a b +=，
∵90FQH GPH ∠=°=∠，FHQ GHP ∠=
∠，FH GH =， ∴()AAS FHQ GHP ≌，
∴12QH PH PQ ===， 由题意知，2OF OQ =，2ON OH =，
由勾股定理得，2FQ a b =−，
解得，OQ =，
同理，OH =
， ∵QH
OQ OH =+，
a ，
解得，a b =，
∴3a b ==，
∴OH =
∴OH 【点睛】本题考查了作角平分线，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，中位线，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30°的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握作角平分线，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，中位线，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30°的直角三角形，勾股定理是解题的关键．。