高等流体力学2011第六章.ppt

6.5 界面导热系数
控制容积 W w P e E
(δ x)w
(δ x)e
一维问题的典型网格点群
离散化方程：
a T a T a T b p p EE W W
6.5 界面导热系数
其中：
ke aE x e
如何求取导热系数ki？
kw aW x w
6.5 界面导热系数
a T a T a T b P P E E W W
其中
ke aE x e
kw aW x w
a a a S x P E W p
b Sc x
6.2 边界条件与源项的处理

一维稳态导热
a T a T a T b P P E E W W
T aT b P n bn b
S 45 T3
3 4 T
T
P
*
图 4 . 2四 种 可 能 的 线 性 化
6.7 线性代数方程的解
一维离散化方程的解可以用标准的高 斯(Gauss )消去法得到，由于方程的形 式特别简单，消去过程的算法就变得 十分方便．有时候，这种算法称之为 TDMA(三对角矩阵算法)．TDMA的名 称基于：在写这些方程的系数矩阵时， 所有的非零系数均排列在矩阵的三条 对角线上(仅对角元素及其上下邻位上 的元素不为零)．
d S *
*




则： S 4 1 0 TS ,P 1 5 T . C P P
在
* 3
* 2
T
P 点，所选择的直线与S-T曲线相切。
*
6.6 源项的线性化
* 3 * 2 4. S 4 2 0 TS , 2 5 T .收敛慢。 C P P P
S
1 已 知 曲 线 2
得
( x )e ( x )e a E k k P E
1
（4.11）
ae代表点P和E之间的材料的热导。 1.令 k E 0， 则由方程（4.9）可得：k e 0 。 2.令 kP
kE ，则：k k E 。 e
fe
6.6 源项的线性化

当源项S与T有关时，则：
6.7 线性代数方程的解
假设在前向代入过程中，得到
T PT Q i 1 i 1i i 1
（2）
T P T Q i i i 1 i
把方程（2）代入方程（1）就得到：
a T b Tc P T Qd ii ii 1 i i 1 i i 1 i （3 ）
其中
ke aE x e
kw aW x w
6.4 四项基本法则

aP= aE + aW - SP Δx
法则4：相邻结点系数之和
（3.18）
为了使微分方程在因变量增加一个常数之后也 仍然能得到满足，我们要求： a p zanb
方程（3.18）当 S
p
0 时，遵守此法则。

P i , Q i 可以由左端点的离散方程来确定：
a T b T c T d 1 1 1 2 1 0 1
其中
c1T0 0
b1 P1 a2
，
所以，
d1 Q1 a1
6.7 线性代数方程的解

当消元到最后一行时，有：
T P T Q N NN 1 N
而 ， P NT N 1 0
6.7 线性代数方程的解
将方程 a T a T a T b改写成： p p EE W W
a T b T c T d i i i i 1 i i 1 i （1 ）
式中下标i＝l，2，3，…N．于是温 度Ti与相邻的温度Ti-1及Ti+1有关．
6.7 线性代数方程的解

T 1 T 2 1
T 2 . 5 T 0 . 5 2 1
迭代序列号 0 1 2 3 4
T1 T2
0
0
-1
-3
-4
-10.5
-11.5
-29.5
-30.25
-76.13
6.7 线性代数方程的解
于是对于
的方程变为：
aT aT b B B I I
式中
al
ki x
i
b S x h T C I
a a S xh B I P
6.4 四项基本法则

法则1：在控制容积面上的连续性
当一个面作为两个相邻控制容积所共有,离 散化方程内必须用相同的表达式来表示通过 该面的热流密度、质量流量以及动量通量。
a T a T a T b p p EE W W
a T a T b PP n bn b
（3.13）
（3.15）
6.4 四项基本法则

法则3：源项的负斜率线性化
当源项线性化为 S S 时，系数 S P 必 T C S P P 须总是小于或是等于0。
a T a T a T b p p EE W W
T1 0
T2 1/3
T3 2/3
T4 1
6.7 线性代数方程的解
a T a T a T b P P E E W W
ke aE x e
b 2 ,3 S x c
kw aW x w
x 1/3 x1/3 T 1 0 a a a S x P E W p
控制容积 W w P e E
(δ x)w
(δ x)e
一维问题的典型网格点群
6.4 四项基本法则
T
右 边 的 斜 率
左 边 的 斜 率 W x E E E
P
图3.5 由二次曲线分布所得到的热流密度的不连续性
6.4 四项基本法则

法则2：正系数
所有的系数（a p 以及各相邻结点系数 a n b ）必 须总是正的。
aT aT b B B I I
ki aI x i
( i δ x) B Δx
边界附近的半控制容积
i
I
bS x q C B
a a S x B I P
6.3 边界条件（第三类）
如果热流密度 q
q hT T I B B
T
B
B
系由放热系数h以及环境流体温度T 那么
式中下标nb表示一个相邻结点，

表示对所有的相邻结点求和
6.3 边界条件
在热传导问题中有三类典型的边 界条化： 1．已知边界温度 2．已知边界热流密度 3．通过放热系数和周围流体的 温度来规定边界的热流密度．
6.3 边界条件
“半”控制容积
B
I
W
P 典型控制容积
E
M
X
6.3 边界条件
d dT k S 0 dx dx


显然当i＝1时，C=0，而i=N时，B=0，即首、 尾两个节点的方程中仅有两个未知数。 TDMA的求解过程分为消元与回代两步。 消元时，从系数矩阵的第二行起，逐一把每行 中的非零元素消去一个，使原来的三元方程化 为二元方程。消元进行到最后一行时，该二元 方程就化为一元。可立即得出该未知量的值。 逐一往前回代，由各二元方程解出其它未知值。
6.7 线性代数方程的解
改写成：
b d c Q i i i i 1 T T i i 1 a c P a c P i i i 1 i i i 1
与式（2）相比，有
bi P i ai ci P i 1
di ciQi1 Qi ai ci P i1
6.7 线性代数方程的解
a T a T a T b 22 11 33 2
b 4 S x q 4 0 k * ( d / d T ) x 1 c
a1=a3=3,a2=19/3,b2=0 a2=a4=3,a3=19/3,b3=0 a3=3,a4=19/6,b4=-1
a T a T a T b 33 22 44 3
界面热流密度：
ke (TP TE ) qe ( x)e
（4.7）
对于在P点与E点之间的组合板，根据稳态无内 热源一维导热的分析，可得：
T T P E q e ( x ) /k ( x ) /k e P e E
（4.8）
6.5 界面导热系数

将（4.6）-（4.8）合并在一起，就得到：

假设k在P点和E点之间呈线性变化，则：
ke = fe kP+ (1-fe)kE
其中：
( x ) e fe ( x ) e
( x ) e
( x ) e
P e
（4.5） （4.6）
(数

如果界面e位于两个网格点之间的中点，那么 fe将是0.5，ke就是kp与ke的算术平均值。
S S ST C PP
S的线性化应当是S-T关系的一个良好的表达式， 还必须满足非正的SP的基本法则。
6.6 源项的线性化
例1.已知： S 5 4 T。 某些可能的线性化如下：
1. S 5 ,S 4 . C P
* 2. S 5 4 T ,S 0 . C P P
当S的表达式很复杂时，采用此方式。
第六章 导热问题的数值解
6.1 一维稳态导热
(δ x)w
w W P Δx
(δ x)e
e E
X
d dT k S 0 dx dx
6.2 边界条件与源项的处理

一维稳态导热
d dT k +S=0 dx dx
e
dT dT k k Sdx 0 dx e dx w w
3.
* S 3 9 T ,S 2 . C P P
导致收敛速度减慢。
6.6 源项的线性化
例3.已知： S 45 T3。 某些可能的线性化如下：
* 3 1. S 4 5 T S 0 . C P, P
* 2 2. S 4 , S T C P P.
* * 3 * 2 * S TT 4 5 T 1 5 TTT 3. S P P P P P P d T
源项线性化
S S S T C P P
k ( TT ) kTT w P W e E P S S T x 0 c P P x x e w


6.2 边界条件与源项的处理

一维稳态导热
d dT k S 0 dx dx
对控制容积积分，考虑热流与温度关系
(δ x)i
B Δx
i
I
q q S S T x 0 B i C P B
kT T i B I q S S T x 0 B C PB x i
dT q k dx
边界附近的半控制容积
6.3 边界条件
所以，
TN QN
从上式出发，逐个回代，得出Ti（N-1，…1）。
6.7 线性代数方程的解 例题
，
d 2T T 0，边界条件为x＝0， 设有一导热型方程 2 dx T＝0；x＝1，d T 1 。将该区域三等分，求该问题的 dx 解。 解：由导热方程知
k＝1；源项S＝－T，SC＝0，Sp＝－1，T1＝0
1 fe fe ke kE kP
有
1
（4.9）
当界面位于P和E之间的中点时，则 f e 0.5 ，
1 1 1 k 0 . 5 ( k k e P E)
（4.10）
6.5 界面导热系数

ke 将式（4.9）代入 a E x ， e
aT aT b 4 4 3 3 4
6.7 线性代数方程的解
即
，
19/3T2=3T3+3T1
T1=0 T2=-243/1121 T3=-27/59 T4=-840/1121
19/3T3=3T4+3T2
19/6T4=3T3-1
6.7 线性代数方程的解
高斯—塞始尔(Gauss—5eldel)逐点计算法
* 3. S 57 TS ,P 1 1 . C P
曲线比实际的S-T关系更陡的曲线，这将 使迭代的收敛速度减慢。
6.6 源项的线性化
例2.已知： S 3 7 T。 某些可能的线性化如下：
1. S 3 ,S 7 . C P
不可接受，因为SP为正。
* S 3 7 T ,S 0 . 2. C P P
a T a T b PP n bn b
TP
* a T nb nb b
aP
其中Tnb*代表在计算机存贮器中所存在的相邻点的温度值．对于那些在本次 迭代过程中已经被访问过的相邻点是 新鲜的计值，而对于那些尚待访问的相邻点是由前一次达代所得到的值．
6.7 线性代数方程的解
高斯—塞始尔(Gauss—5eldel)逐点计算法