3.4 离散数据的曲线拟合——数值分析课件PPT
曲线拟合PPT演示文稿
1
第四讲主要知识点
1、曲线拟合的概念 2、曲线拟和的方法 3、解矛盾方程组
2
函数插值问题回忆
• 设已知某个函数关系y f (x) 在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n 1 y n
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
合函数形式为 pm (x)a0a1xam xm (mn1) ， 求系数 a0*,a1*, ,am * ，使得
n
n
m
( a 0 ,a 1 , ,a m )[ y i p m ( x i) ] 2 [ y ia k x ik ] 2
p m * (x ) i 1 a 0 * a 1 * x a m * x i m 0
15
拟合例题
例2 有一滑轮组，要举起W公斤的重物需要用 F公斤的力，实验所得的数据如下表。
求适合上述关系的近似公式。
16
拟合例题
解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求
的拟合直线为 yabx ，
得关于a和b的线性方程组
17
其他类拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任 何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线 性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为 线性最小二乘问题求解。
确定a和b取何值时，二元函数
的值最小?
N
Q(a,b) [yi (abxi)]2 i1
11
直线拟合
由微积分的知识可知，这一问题的求解， 可归结为求二元函数
Q (a, b) 的极值问题，即 a 和 b
应满足：
12
直线拟合
离散数据的曲线拟合-PPT精选文档
第二章 插值与拟合
2.5.2 多项式的拟合
前面讨论了子空间 中的最小二乘拟合。这是一种线性拟合模型。在离 m 散说据 {xi , yi }i0的最小二乘拟合中，最简单、最常用的数学模型是多项式
( x ) a a x a x .
0 1 n n
n
span { 1 , x , , x } 即在多项是空间 中作曲线拟合，称为多项式拟合。 这是一种特定的线性模型，因此可用上面讨论的方法求解。子空间 得基 k ( x ) x , k 0 , 1 , , n 。 函数为 k
( x)
*
n
k 0
* a k k ( x ) .
* 可以证明，这样得到的 ( x )，对于任何
n n
(x)，都有
2 i
[ y ( x )] [ y ( x )] ,
* 2 i 0 i i i 0 i
* * (x )，显然，平方误差 2 故 ( x )是所求的最小二乘拟合。记 y 2 越小，拟合的效果越好。平方误差有与（2.4.15）相同 或 均方误差 形式的表达式。
第二章 插值与拟合
§2.5 离散数据的曲线拟合
2.5.1 最小二乘拟合
2.5.2 多项式的拟合 2.5.3 正交多项式拟合
曲线拟合
学习目标： 了解曲线拟合最小二乘法的意义。掌握线 性拟合和二次多项式拟合的方法。
第二章 插值与拟合
2.5
离散数据的曲线拟合
m 对于已知的m+1的离散数据 {xi , yi }i0和权数 { i }im 0 ，记
2.5.1 最小二乘拟合
a m in x m ax x i, b i
3.4 离散数据的曲线拟合——数值分析课件PPT
4
(P0 , P0 ) i P02 (xi ) 5 i0
4
(xP0 , P0 ) i xi P02 (xi ) 2.5 i0
a0
(xP0 , P0 ) (P0 , P0 )
0.5
P1(x) x a0 x 0.5
由此得 从而有
4
(P1, P1) i P12 (xi ) 0.625 i0
aj j (x)存在唯一；
j0
(b) p *(x)
n
aj j (x)的系数
a
j
n 可由法方程组
j0
j0
(0 ,0 ) (1 ,0 )
(n ,0 )
(0 ,1 ) (0 ,n ) a0 ( f ,0 )
(1 ,1 )
(1
,n
)
a1
( f
,1
)
(n ,1 )
(n ,n )an
i1
m
xi
i 1
m
xi2
i 1
m
xi3
i 1
m
xi
2
m
yi
i1 m
xi
3
a0
a1
i 1
m
xi yi
i1 m
xi 4
a2
i1
i1
m
xi
2
yi
i1
例 3.4.1 用多项式拟合表3-4中的离散数据。
表3-4
i
1
2
3
45
xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 yi 0.10 0.35 0.81 1.09 1.96
(
f
,
n
)
或Ga
d
数值分析之曲线拟合
xi 强度 ¿ Ç È ¶ yi
5.5 5 5.5 6.4 6 5.3 6.5 7 8.5 8 8.1 8.1
9
纤维强度随拉伸 倍数增加而增加 并且24个点大致分 布在一条直线附近
因此可以认为强度 y与拉伸倍数x的主 要关系应是线性关系
8 7 6 5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y( x) 0 1 x
即
[ a ( x ) ( x ) f ( x )] 0
i 0 j 0 n j j i k i i k i
m
n
a ( x ) ( x ) f ( x )
i 0 j 0 j j i k i i 0 i k i
m
m
a ( x ) ( x ) f ( x )
定义2 设 ψn(x) 是[a,b]上首项系数 an≠0 的 n次多项 式,ρ(x)为[a,b]上权函数，如果多项式序列 满足关系式:
则称为多项式序列 为在[a,b]上带权ρ(x)正交， 称ψn(x)为[a,b]上带权ρ(x)的n次正交多项式。
只要给定区间[a,b]及权函数ρ(x), 均可由一族 线性无关的幂函数 { 1 , x , … , xn , … } 利用逐个正交化手续(Gram-Schmidt正交化方法)：
j 0
n
* 2 称为最小二乘解的平方 误差
在确定了拟合函数 S( x)后, 如何求拟合系数 a j ( j 0,1,, n)
使得S *( x ) a* j j ( x ) 满足拟合条件(3)呢？
j 0 n
2
三、法方程组
由
S ( x ) a j j ( x )
数值分析 第三章 数据拟合
郑州大学研究生课程 （2010-2011学年第一学期）数值分析 Numerical Analysis500第三章 数据拟合方法400 300 200 100 5 -100 10 15 20第三章 数据拟合方法§3.1 问题提出 §3.2 线性最小二乘法 §3.3 线性数据拟合方法 §3.4 多变量数据拟合方法 §3.5 非线性曲线的数据拟合2/41郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis§3.1 问题提出离散数据点插值：插值函数 ϕ ( x) 精确通过每一个数据点。
3/41郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis§3.1 问题提出 两类实际情况: ★ 离散数据点提出来自试验，具有测量误差，要求插值函数通过所有数据点反而会保留测量误差的影响。
★ 某些情况下需要找出反映变量变化关系的经验函数，而非精确通过关键点的外形控制函数。
4/41郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis例3.1.15/41郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis例3.1.2 我国人口数量预测问题(单位:亿) 年 数量15 1012199119921993 11.851994 11.9812.51995 12.111996 12.2411.58 11.725 011.5 1991 1992 1993 1994 1995 19961991 1992 1993 1994 1995 19966/41郑州大学研究生2010-2011学年课程 数值分析 Numerical Analysis§3.1 问题提出已知一组数据(xi, yi), y = f(xi)，i = 1,2,…, m。
计算方法离散数据曲线拟合
第三章数据拟合知识点：曲线拟合概念，最小二乘法。
1 .背景已知一些离散点值时，可以通过构造插值函数来近似描述这些离散点的运动规律或表现这些点的隐藏函数观测到的数据信息• •*■*曲线拟合方法也可以实现这个目标，不同的是构造拟合函数。
两种方法的一个重要区别是：由插值方法构造的插值函数必须经过所有给定离散点，而曲线拟合方法则没有这个要求，只要求拟合函数(曲线)能“最好”靠近这些离散点就好。
2.曲线拟合概念实践活动中，若能观测到函数y=f(x)的一组离散的实验数据(样点):(x i,y)，i=1，2…,n。
就可以采用插值的方法构造一个插值函数x)，用「x)逼近f(x)。
插值方法要求满足插值原则xj=y i,蕴涵插值函数必须通过所有样点。
另外一个解决逼近问题的方法是考虑构造一个函数X）最优靠近样点，而不必通过所有样点。
如图。
即向量T= （「X1），X2），•••「x n））与丫= （y1, y2, ）的某种误差达到最小。
按T和丫之间误差最小的原则作为标准构造的逼近函数称拟合函数。
曲线拟合问题：如何为f（x）找到一个既简单又合理的逼近函数X）。
曲线拟合：构造近似函数x）,在包含全部基节点x<i=1 , 2…,n）的区间上能“最好”逼近f（x）（不必满足插值原则）。
逼近/近似函数y=「x）称经验公式或拟合函数/曲线。
拟合法则：根据数据点或样点（xy）, i=1 , 2…,n，构造出一条反映这些给定数据一般变化趋势的逼近函数y=「x），不要求曲线■- x）经过所有样点，但要求曲线x）尽可能靠近这些样点，即各点误差S i= x i）-y i按某种标准达到最小。
均方误差/误差平方和/误差的2-范数平方：n卜||2八1i 4常用误差的2-范数平方作为总体误差的度量，以误差平方和达到最小作为最优标准构造拟合曲线的方法称为曲线拟合的最小二乘法（最小二乘原理）。
3.多项式拟合2012〜2013学年第2学期计算方法 教案 计1101/02 , 1181 开课时间：2012-02年4月第三版 第三章数据拟合 2h 3(1) 线性拟合给定一组(x i ,y i ), i=1 , 2…,n 。
《数值分析教程》课件
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
《曲线拟合》PPT课件
Curve fitting
医学研究中X和Y的数量关系常常不是线性的，如毒 物剂量与动物死亡率，人的生长曲线，药物动力学等， 都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚至 得出错误结论。
此时可以用曲线直线化估计（Curve estimation） 或非线性回归(Nonlinear regression) 方法分析。
散点图辨析
预后指数Y
60 50 40 30 20 10
0 0
对数曲线 指数曲线
10 20 30 40 50 60 70 病人住院天数X
如果条件允许最好采用非线性回 归（Nonlinear Regression）拟合幂 函数曲线与指数函数曲线
注意绘制散点图，并结合专业知 识解释
采用SAS进行曲线拟合
①幂函数： Yˆ ea X b 或 ln(Yˆ) a bln(X )
②对数：
Yˆ a bln(X )
③指数函数： Yˆ eabX
或 ln(Yˆ) a bX
④多项式： Yˆ a b1X b2 X 2 bn X n
⑤logistic：
Yˆ
1/(1
eabX
)
或
ln[
Yˆ
/(1
Yˆ)]
-8.0196 -4.0604 0.0000 3.9012 7.6049 11.1860 -12.8898
Yˆ
7.23 12.62 15.77 18.01 19.75 21.16 22.36
23.40
残差平方
0.1380 0.1017 0.0053 0.0361 1.0921 0.0563 0.0566 0.1597
(lnX)2 Y2
2.5902 57.76 0.8396 151.29 0.2609 246.49 0.0498 331.24 0.0000 349.69 0.0332 457.96 0.1132 510.76 0.2209 566.44 4.1078 2671.63
数值分析ppt第3章_函数逼近与曲线拟合
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如果(u, v)=0，则称u与v正交(记为u⊥v)，这是 向量相互垂直概念的推广. 关于内积空间有以下重 要定理. 定理2 设X为一个内积空间,对任意u, v∈X有如 下不等式成立
上页 下页
如果x, y∈ Cn，带权内积定义为
( x , y ) i xi yi
i 1பைடு நூலகம்
n
(14)
这里{ωi}仍为正实数序列. 在C[a, b]上也可以类是定义带权内积，为此先给 出权函数定义.
上页
下页
定义4 设[a, b]是有限或无限区间，在[a, b]上的 非负函数ρ(x)满足条件：
( u, v ) ( u, u)( v , v ).
它称为柯西－施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式.
2
上页
下页
证明 当v=0时,显然成立. 设v≠0，则 (v, v)>0,
且对任何数t 有(这里设为实空间)
0 ( u tv, u tv) ( u, u) 2t ( u, v ) t (v , v ).
上页
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3.1.3 内积与内积空间
在线性代数中，Rn上的两个向量 x＝(x1,x2,…,xn)T
与y＝(y1,y2,…,yn)T的内积定义为
(x, y)= x1 y1 +x2 y2 +…+xn yn. 若将它推广到一般的线性空间X，则有下面的定义.
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定义3 设X是数域K(R或C)上的线性空间，对任 意u,v∈X，有K中一个数与之对应，记为(u, v)，它满 足以下条件：
第四章 曲线拟合方法优秀PPT
82
80
78
20
25
30
35
40
45
50
t
r a0 a1t
ra00(t)a11(t)
0 1 1 t
应用实例(二阶多项式拟合)
x y
给出 和
a
ab
应用实例(其他函数类作拟合函数)
世界人口统计表
t 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 N 29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 拟合函数
Bezier曲线的数学表达式
P0 (x0, y0) P1 (x1, y1)
m
Pt
Cm ktk
1t
P mk k
k0
m
Pt Bk tPk k0
P2 (x2, y2)
…… Pm (xm, ym)
Pt1t2P021ttP1t2P20t1 Pt1tP0tP1 0t1
Pt1t3P031t2tP131tt2P2t3P30t1
Hale Waihona Puke 应用实例(一阶拟合) 电阻r与温度t的关系
j1 2 3 4 5 6 7
tj 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0
F ra m e 0 0 1 3 0 O ct 2 0 0 7
rj 76.3
77.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10
r
84
第四章 曲线拟合方法
第四章 数据拟合方法
x x1 x2 x3 ... xn
y
y y1 y2 y3 ... yn
y = p(x)
离散数据的曲线拟合
按（2.5.3）有
5
2.5 1.875 a0 4.31
2.5 1.875 1.5625 a1 3.27
1.875 1.5625 1.3828 a2 2.7975
解此方程组得 a0* 0.1214, a1* 0.5726, a2* 1.2114。从而，拟合多项式为
n
ak* * ( x ) ,
使得
k 0
n
n
i [ yi
i0
* ( x)]2
min
( x )
i[ yi
i0
( x)]2
(2.5.1)
则称 *( x)为离散数据{ xi , yi }mi0在子空间 中带权 {i }mi0 的最小二乘拟合。
函数 ( x)在离散点处的值为
这是一种特定的线性模型，因此可用上面讨论的方法求解。子空间 得基
函数为 k ( x) xk , k 0,1, , n。
例 2.13 用多项式拟合表2-7中的离散数据。
表2-7
i
0
1
2
3
4
xi 0.00 0.25 0.50 yi 0.10 0.35 0.81
0.75 1.09
1.00 1.96
此时，对应的法方程为
k0
k ,k ak y,k , k 0,1,, n。 它的解为ak y,k k ,k , k 0,1,, n。
由于按法方程2.5.3有
y,
j
n
ak
k
,
j
,
j
,
k0
第二章 插值与拟合
即 y , j 0, j 0,1,, n。因而平方误差为
离散点多条曲线拟合
离散点多条曲线拟合
对于离散的多条曲线拟合，可以使用多项式拟合和最小二乘法拟合等方法。
对于多项式拟合，可以给定数据点，通过构造多项式函数来逼近真实曲线。
通常情况下，多项式函数的次数为给定数据点数减1。
通过求解待定的系数，可以得到拟合曲线。
对于最小二乘法拟合，可以通过最小化误差平方和来得到一个最优解。
误差平方和可以表示为数据点到拟合曲线的距离的平方和。
通过遍历所有离散点，可以找到最优解，即使得误差平方和最小的曲线。
对于离散数据点的反曲点、曲率和局部曲率极大值点的提取，可以采用遍历所有离散点的方法，依次计算相邻两个反曲点之间个数据点的曲率值，并计算相邻两点之间的曲率变化平均值作为曲率变化阈值。
同时可以利用点距准则获取离散数据点中的弓高特征点，使得得到的主特征点更能体现原始轨迹的几何特征。
在具体实现过程中，可以根据实际情况选择不同的拟合方法和算法，并结合数据的特点进行优化和调整。
离散点拟合曲线
离散点拟合曲线离散点拟合曲线是一种用于对一组无序数据点进行估计和预测的数学方法。
它可以将这些离散的数据点拟合成一个连续的曲线或函数，从而使我们能够更好地理解和分析数据。
离散点拟合曲线的应用非常广泛，包括经济学、医学、物理学、地球科学等领域。
它可以用于预测未来的趋势或现象，或者用于解释已有的数据集。
离散点拟合曲线的拟合方法主要有两种，分别是最小二乘法和最小二次曲线拟合。
最小二乘法是一种用于在线性回归中寻找最佳拟合直线的方法，而最小二次曲线拟合则是将数据点拟合成一个二次曲线。
下面我们将详细介绍这两种方法以及它们的优缺点。
一、最小二乘法最小二乘法是一种常见的拟合方法，它的基本思想是将拟合曲线与数据点之间的误差最小化。
这种方法利用了一个称为残差平方和（RSS）的指标来衡量模型的质量。
残差平方和是指每个数据点与拟合曲线之间的距离的平方之和。
最小二乘法的目标是使这个距离最小，从而获得最佳的拟合曲线。
利用最小二乘法可以拟合各种类型的曲线，包括线性、指数、对数、多项式等。
最小二乘法的优点是：1、它是一种强大的统计工具，可以处理许多类型的曲线。
2、它能够有效地解决噪声和误差的问题，从而提高数据的准确性。
3、它易于实现和使用。
1、它假设数据点之间的误差符合正态分布，而这种假设在实际应用中可能不成立。
2、最小二乘法对离群值敏感，因为在这种情况下，残差平方和会被放大，从而影响拟合曲线的准确性。
二、最小二次曲线拟合1、它能够更精确地描述非线性趋势的数据。
2、它对离群值的敏感度较低，因为曲线更能够适应数据点的变化。
但是，最小二次曲线拟合也存在一些缺点：1、它仅适用于拟合二次函数，因此在处理其他类型的曲线时可能不太灵活。
2、它需要更多的计算量和时间，因为计算二次函数需要更多的参数。
需要注意的是，无论是最小二乘法还是最小二次曲线拟合，都需要考虑到拟合曲线的精度和辨识度是否够高。
因此在实践中，我们需要经过多次试验和调整来确定最佳的拟合曲线。
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4
(P0 , P0 ) i P02 (xi ) 5 i0
4
(xP0 , P0 ) i xi P02 (xi ) 2.5 i0
a0
(xP0 , P0 ) (P0 , P0 )
0.5
P1(x) x a0 x 0.5
由此得 从而有
4
(P1, P1) i P12 (xi ) 0.625 i0
4
(xP1, P1) i xi P12 (xi ) 0.3125 i0
a1
(xP1, P1) (P1, P1)
0.5
,
b1
(P1, (P0 ,
P1 ) P0 )
0.125
,
P2 (x) (x a1)P1(x) b1P0 (x) (x 0.5)2 0.125
所以, 1, x - 0.5, (x 0.5)2 0.125 为所求在点集
) k.
)
k 1
（5）
三项递推公式（4）是构造正交多项式的简单公 式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一 步讨论。
P0 Pk
(x) 1, P1(x) 1(x) (x ak )
x a0 Pk (x)
,
bk
Pk 1 ( x),
k
1,
2,
a PP PP b PP PP n 1
(x , )
i 1
(xi )
p*(xi ))2
(3.4.1)
则称p*(x)为离散数据 (xi , yi }i=1,2,…,m在子空间S中带权
{i}i=1,2,…,m的最小二乘拟合。
此问题称为最小二乘曲线拟合，又称为离散数据的
使最拟佳合平方误逼差近的。平方和最小——最小二乘原理
以下讨论最小二乘逼近函数 p*(x) 是否存在？是否唯一？及 计算方法（步骤）。 把原问题转化为多元函数极值问题
(i , j )
0,i j ai 0,i
j
(3)
则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集 {xi}i=0,1,…,m 上的带权 { i}i=0,…m的正交多项式序列.
下面给出离散点集上正交多项式的构造方法 .
给定点集{xi} i=0,1,…,m和权数{ i}i=0,…m ，并且
点集 {xi} i=0,1,…,m中至少有n+1个互异，则由下列三
项递推公式
PP0k(1x()x) 1,(Px1(x)ak)Pxk(xa)0, bk Pk1(x), k 1, 2,
（4）
n 1
给出的多项式序列
n
Pk(x)
(n
k 0
m)
是正交多项式序列，
其中
(x , )
(,
P P P P
k k,
k
a b k ( , ) k ( ,
P P P P k k
k 1 )g(xi )
(1)
i0
其中i>0为给定的权数。在离散意义下，函数f (x)
的2-范数定义为
|| f ||2 ( f , f )
(2)
有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。
若多项式组{k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足
§3.4 离散数据的曲线拟合
1、离散点集上的正交多项式 2 、最小二乘拟合 多项式的拟合 3、 正交多项式拟合 总结
3.4 离散数据的曲线拟合
学习目标： 了解曲线拟合最小二乘法的意义。掌 握线性拟合和二次多项式拟合的方法。
1 离散点集上的正交多项式
定义 设有点集 {xi} i=0,1,…,m，函数 f (x) 和 g (x) 在 离散意义下的内积定义为
{0, 0.25, 0.5, 0.75,1}上的正交多项式序列.
本节讨论----离散数据的曲线拟合
仍然是已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易 算的近似函数 p(x) f(x)。
但是 ① m 很大； ② yi 本身是测量值，不准确，即 yi f (xi)
这时没必要取 p(xi) = yi , 而要使 p(xi) yi 总体上尽可能小。
(类似于连续函数的最佳平方逼近的思路)。
n
p(x) S，有p(x) a j j (x) (a0, a1, , an ) Rn1 j0
即p(x)由a j ( j 0,1, , n)唯一确定
m
此时，|| f p ||22 i ( f ( xi )) p( xi )) 2 i 1
m
)
即a
* j
(
j
0,1,,
n)满足
(由多元函数取极值的必要条件)
I
a k
a
* 0
,a1*
,a
* n
m
n
2 i ( a*j j ( xi )
i 1
j0
f ( xi ))k ( xi ) 0
(k 0,1,, n)
n
(
mm
iikk
((
xxii
))
jj
(( xxii
)))a
* j
mm
常见做法：
不可导，求解困难太复杂
➢使
max
1im
|
p(xi )
yi
|
最小
m
➢ 使 | p(xi ) yi | 最小
i 1
m
➢ 使 | p(xi ) yi |2 最小
i 1
2 离散数据的最小二乘拟合及 多项式的拟合
（1）离散数据的最小二乘拟合
已知试验数据 x
x1
x2
f ( x) f ( x1 ) f ( x2 )
(,
k k,
k
k ( , ) k( ,
kk
k 1
) k.
)
k 1
例 已知点集 {xi} i=0,1,…,4 ={0,0.25,0.5,0.75,1} 和 权数{ i}i=0,…4 ={1,1,1,1,1}.试用三项递推公式求关于
该点集的正交多项式 P0(x), P1(x), P2(x)
解 先令 P0(x)=1 ，由此得
ii ff((xxii))kk( xi )
(k 0,1,, n)
n
i ( a j j ( xi ) f ( xi )) 2
i 1
j0
I (a0, a1, , an ),
（3.4.2）
(关于a0, a1, , an多元二次函数)
得到(3.4.1)的等价问题： 求a*j ( j 0,1,, n)使
min
ai实 数
I
(a
0
, a1 ,, an
)
I (a0* , a1* ,, an*
xm f (xm )
记X { x1 ,, xm }, 其中a x1 x2 xm b，及一函数类
S Span{0 ( x),1 ( x),, n ( x)} C[a, b]，且m n.
求p*(x) S, 使得
m
m
min
p( x)s
i ( f
i 1
(xi )
p(xi ))2
i ( f