(易错题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试(答案解析)

一、选择题
1．已知点G 是ABC 的重心，(),AG AB AC R λμλμ=+∈，若
120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-则AG 的最小值是（ ）
A
B
C ．
12
D ．
23
2．已知a 与b 的夹角为60，4a =，则a b λ-(R λ∈)的最小值为（ ） A
．B ．
72
C ．
103
D
3．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩,则
OM ON ⋅的最大值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－1
4．已知非零向量a →
，b →
夹角为45︒
，且2a =，2a b -=,则b →
等于（ ）
A ．
B ．2
C D ．2
5．已知平面向量a 与b 的夹角为23
π
，若(3,1)a =
-，2213a b -=，则b （ ） A ．3
B ．4
C D ．2
6．已知1a ，2a ，1b ，2b ，(
)*
k b k ⋅⋅⋅∈N
是平面内两两互不相等的向量，1
2
1a a
-=，
且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝1
3
BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
8．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．
1
()2
a b + B ．
1
()2
a b - C ．
1
2
a b + D ．12
a b +
9．已知非零向量,OA a OB b == ，且BC OA ⊥，C 为垂足，若(0)OC a λλ=≠，则
λ等于( )
A ．
a b a b
⋅ B ．
2
a b a
⋅ C ．
2
a b b
⋅ D ．
a b a b
⋅
10．已知向量a ，b 满足||3,||2a b ==，且对任意的实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则tan
θ的值为（ ） A
B
．2
-
C
．D 11．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若
10AC =2BC =，0GA GB GC ++=，则
AB CG
=（
）
A ．3
B
C ．2
D 12．已知正项等比数列{}n a ，若向量()28,a a =，()8,2b a =，//a b ，则212229log log log (a a a ++⋯+= )
A ．12
B ．28log 5+
C ．5
D ．18
二、填空题
13．已知向量()3,2OA =，()2,1OB =，O 点为坐标原点，在x 轴上找一个点M ，使得
AM BM ⋅取最小值，则M 点的坐标是___________.
14．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.
15．向量,a b 满足(1,3),2,()(3)12a b a b a b ==+⋅-=，则a 在b 方向上的投影为__________．
16．在△ABC 中，D 为BC 中点，直线AB 上的点M 满足：
32(33)()AM AD AC R λλλ=+-∈，则
AM MB
=__________．
17．已知向量2a =，1b =，223a b -=，则向量a ，b 的夹角为_______. 18．在△ABC 中，BD ＝2DC ，过点D 的直线与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，若AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0），则x +y 的最小值为_____.
19．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.
20．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，动点P 满足||1AP =，设向量
AP AB AD λμ=+，则λμ+的取值范围为____________. 三、解答题
21．已知()3,0a =，(1,3)b =． （Ⅰ）求a b
⋅和b 的值；
（Ⅱ）当()k k ∈R 为何值时，向量a 与k +a b 互相垂直？
22．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =，()3,b k =-，
()2,4c =-.
（1）若()//(2)ma c a c +-，求m ； （2）若()a a b ⊥+，c a b λμ=+，求λμ+.
23．对于任意实数a ，b ，c ，d ，表达式ad bc -称为二阶行列式（determinant ），记作
a b c d
，
（1）求下列行列式的值：
①10
01；②13
26
；③251025--； （2）求证：向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是
0a b c d
=；
（3）讨论关于x ，y 的二元一次方程组111222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解的条件，
并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.
24．如图，四边形ABOC 是边长为1的菱形，120CAB ∠=︒，E 为OC 中点．
（1）求BC 和BE ；
（2）若点M 满足ME MB =，问BE BM ⋅的值是否为定值？若是定值请求出这个值；若不是定值，说明理由．
25．在ABC 中，G 为ABC 的重心，过G 点的直线分别交,AB AC 于,P Q 两点，且
,AP h AB AQ k AC ==，
（1）求
11
h k
+的值； （2）设,APQ ABC S S △△分别表示,APQ ABC △△的面积，求
APQ ABC
S S
的最小值.
26．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cos
sin )2
C C =-，， n =(cos
2sin )2
C C ，，且m n ⊥． （1）求角C ；
（2）若22
2
12
a b c =+
，试求sin()A B -的值
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先根据重心得到()
1
3
AG AB AC =
+，设0,0AB x AC y =>=>，利用数量积计算4xy =，再利用重要不等式求解()
2
21
9
A AG
B A
C =+的最小值，即得结果.
【详解】
点G 是ABC 的重心，设D 为BC 边上的中点，则()
21
33
AG AD AB AC =
=+， 因为120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-设0,0AB x AC y =>=>，则cos1202xy ︒=-，即
4xy =，故()
()
()2
2
221
1144249
999AG x y x B AC y A =
+-≥-=+=
，即23
AG ≥， 当且仅当2x y ==时等号成立，故AG 的最小值是2
3
. 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：
本题的解题关键在于通过重心求得向量关系()
1
3
AG AB AC =
+，利用数量积得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破难点，要注意取条件的成立.
2．A
解析：A 【分析】
根据向量的模的表示方法得2
2
2
22a b a a b b λλλ-=-⋅+，再配方即可得答案. 【详解】
解：根据向量模的计算公式得：
()(
)
2
2
2
2
2
221642
1212a b a a b b b b
b λλλλλλ-=-⋅+=-+=-+≥，当且仅当
2b λ=时等号成立；
所以23a b λ-≥，当且仅当2b λ=时等号成立； 故选：A. 【点睛】
方法点睛：向量模的计算公式：2
2a a a a =⋅=
3．A
解析：A 【分析】
根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置． 【详解】
根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y
做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：
做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，
到点A 时Z 最大， 而由x+y=1
1
x ⎧⎨
=⎩ 可得A （1，0），
此时Z max ＝2． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（
y b
x a
++型）和距离型（()()2
2
x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

4．A
解析：A 【分析】
根据数量积的运算，2a b →→
-=两边平方即可求解. 【详解】
2a b →
→-=,=2a →
,a
→，b →夹角为45︒, 2
2
2
2
()24a b a b a a b b →
→→→
→→→
→∴-=-=-⋅+=, 2422||cos
||44
b b π
→
→
∴-⨯+=,
解得：
||b →
= 故选：A 【点睛】
本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.
5．A
解析：A 【解析】
分析：根据题设条件2213a b -=，平方化简，得到关于b 的方程，即可求解结果. 详解：由题意，(3,1)a =-且向量a 与b 的夹角为
23
π
， 由2213a b -=，则2
2
22
22444442cos
523
a b a b a b b b π
-=+-⋅=+-⨯=，
整理得2
120b b +-=，解得3b =，故选A.
点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
6．D
解析：D 【分析】
根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】
如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时12
1A A =，
由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，
由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.
7．C
解析：C 【分析】
根据向量的运算法则，求得12
AM AD AB =+，21
32MN AD AB =-+，再结合向量的数
量积的运算公式，即可求解. 【详解】
由题意，作出图形，如图所示：
由图及题意，根据向量的运算法则，可得1
2
AM AD DM AD AB =+=+
， 2132MN CN CM CB CD =-=-2121
3232BC DC AD AB =-+=-+，
所以2
212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
21
936334=-⨯+⨯=.
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
8．D
解析：D 【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】
在ABC ∆中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以1122
AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.
9．B
解析：B 【解析】
试题分析：BC OA ⊥,即()
2
00BC OC OC OB OC OC OB OC ⊥⇒-⋅=⇒-⋅=，即
2
2
0a a b λλ-⋅=，
2
0,a b a
λλ⋅≠∴=
．
考点：平面向量的数量积的应用.
10．B
解析：B
【分析】
因为对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，所以242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立，则0∆≤，即()
2
216(24)0a b
a b ⋅+⋅+≤，结合已知可得cos θ的
值，进而可求出sin θ的值，从而可求出答案. 【详解】
由题意，a xb a b +≥⇔+2
2
a x
b a b +≥⇔+222220x b a bx a b b +⋅-⋅-≥，
对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，且||3,||2a b =
=，
∴242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立， ∴0∆≤，即()
2
216(24)0a b
a b ⋅+⋅+≤，
又
cos 6cos a b a b θθ⋅=
=，
∴2144cos 16(12cos 4)0
θθ++≤，即2
9cos 12cos 40θθ++≤，
∴2(3cos 2)0θ+≤，则
2(3cos 2)0θ+=，解得
2cos 3
θ=-， 又
0πθ≤≤，∴sin θ==
， ∴sin 3tan 2cos 3
θθθ===-.
故选：B . 【点睛】
本题主要考查了求三角函数值，考查向量数量积的运算，考查一元二次不等式的解与判别式的关系，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
11．B
解析：B 【解析】
取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==因为0GA GB GC ++=，所以
G 为
ABC ∆的重心，则22
22() 2.32
BC GA GE AC ==-=
所以2
10
1,1 5.2
AB CE CG CG
===∴
=
= 本题选择B 选项.
12．D
解析：D 【分析】
本题先根据平行向量的坐标运算可得2816a a =，再根据等比中项的知识，可计算出
54a =，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．
【详解】
解：由题意，向量()28,a a =，()8,2b a =，//a b 则28820a a ⨯-⨯=，即2816a a =，
根据等比中项的知识，可得2
285
16a a a ==， 50a >，54a ∴=，
212229log log log a a a ∴++⋯+ 2129log ()a a a =⋯
2192837465log [()()()()]a a a a a a a a a =
9
25log a =
29log 4=
18=．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题.考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.
二、填空题
13．【分析】设点的坐标是求出再利用配方法可得答案【详解】设点的坐标是即因为向量所以当时有最小值此时点的坐标是故答案为：【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1几何法；2三角函数有界法；3二次函
解析：5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
设M 点的坐标是(),0t ，求出AM BM ⋅，再利用配方法可得答案. 【详解】
设M 点的坐标是(),0t ，即(),0OM t =， 因为向量()3,2OA =，()2,1OB =， 所以()3,2AM OM OA t =-=--，
()2,1BM OM OB t =-=--，
()()()()3221AM BM t t ⋅=--+-⨯- 2
257
5824
t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，
当52t =
时，AM BM ⋅有最小值74，此时M 点的坐标是5,02⎛⎫
⎪⎝⎭
， 故答案为：5
,02
⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1、几何法；2、三角函数有界法；3、二次函数配方法.
14．【分析】设根据得到取中点为D 又由中点坐标得到再由得到的范围然后由求解【详解】设如图所示：因为所以取中点为D 因为所以解得所以所以点C 是以D 为圆心半径为的圆上运动又因为所以当AOB 共线时取等号所以所以【
解析：3
【分析】
设,,OA a OB b OC c ===，根据||2,||2||a b a b -==，得到||2,||2||AB OA OB ==，取AB 中点为D ，又()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，由中点坐标得到
CD ==⎭2OA OB AB -≤=，得到||OA OD ⎛= 范围，然后由||||||||3c OC OD DC OD =≤+≤+.
【详解】
设,,OA a OB b OC c ===， 如图所示：
因为||2,||2||a b a b -==， 所以||2,||2||AB OA OB ==， 取AB 中点为D ，
因为()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，
所以22
22||||24AB CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅=， 解得2
2
8CB CA +=，
所以2
221
2322CB CA CD CB CA CB CA ⎛⎫+==
++⋅= ⎪⎝⎭
所以点C 是以D 3的圆上运动， 又因为2OA OB AB -≤=，
所以2OB ≤，当A ，O ，B 共线时，取等号，
所以2
221
||222OA OB OD OB OA OB OA ⎛⎫+==++⋅ ⎪
⎝⎭
， ()
22211
2104322
OB OA AB OB =+-=-≤， 所以||||||||333c OC OD DC OD =≤+≤+≤. 【点睛】
关键点点睛：平面向量的中点坐标公式的两次应用：一是2
2CB CA CD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭||2,||2||AB OA OB ==求得定值，得到点C 是以D 为圆心的圆上，实现数形结合；二是
||2OA OD ⎛= ⎝⎭2OA OB AB -≤=确定范围，然后由
||||||c OC OD DC =≤+求解.
15．【解析】分析：先通过已知条件求出的值再求在方向上的投影详解：因为所以所以在方向上的投影为故答案为1点睛：（1）本题主要考查向量的运算和数量积考查向量的投影意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运
解析：【解析】
分析：先通过已知条件求出cos α的值，再求a 在b 方向上的投影. 详解：因为()()
312a b a b +⋅-=，
所以2
2
1
3212,124222cos 12,cos 2
a b a b αα-+⋅=∴-+⨯⨯⨯=∴=. 所以a 在b 方向上的投影为1cos 2()12
a α=⨯=，故答案为1.
点睛：（1）本题主要考查向量的运算和数量积，考查向量的投影，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运算能力.(2) cos a θ叫做向量a 在b 上的“投影”， 向量a 在向量
b 上的投影cos a θ，它表示向量a 在向量b 上的投影对应的有向线段的数量．它是一个
实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零．
16．1【解析】设∵D 为BC 中点所以可以化为3x=λ（）+（3-3λ）化简为（3x-λ）=（3-2λ）只有3x-λ=3-2λ=0时（3x-λ）=（3-2λ）才成立所以λ=x=所以则M 为AB 的中点故答案为1
解析：1 【解析】
设 AM AB λ=，∵D 为BC 中点，所以1
2
AD AB AC （）=+,() 3233AM AD AC λλ=+- 可以化为3x AB =λ（AB AC +）+（3-3λ）AC ，化简为（3x-λ）AB =（3-2λ）AC ，只有3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）AB =（3-2λ）AC 才成立，所以λ=32，x=12
所以1
2
AM AB =，则M 为AB 的中点 故答案为1
点睛：本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，直线AB 上的点M 可设成 AM AB λ=，D 为BC 中点可得出
1
2
AD AB AC （）=+，代入已知条件整理可得.
17．【分析】已知式平方后求得再由数量积的定义可得夹角【详解】由得
∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查求向量的夹角解题关键是掌握向量的模与数量积的关系由模求得数量积后可得 解析：
23
π 【分析】
已知式223a b -=平方后求得a b ⋅，再由数量积的定义可得夹角． 【详解】
由223a b -=得2
2
2(2)4444412a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅+=，∴1a b ⋅=-， ∴cos ,2cos ,1a b a b a b <>=<>=-，1
cos ,2
a b <>=-，∴2,3a b π<>=．
故答案为：23
π
． 【点睛】
本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握向量的模与数量积的关系，由模求得数量积后可得．
18．【分析】根据向量线性关系的几何应用有令结合已知条件有即可列方程组得到关于k 的表达式表示x+y 最后由基本不等式即可求得最小值【详解】由题意连接可得如下示图∵在△ABC 中＝2即有若令则有又＝x ＝y （x ＞ 解析：22
13
+
【分析】
根据向量线性关系的几何应用有1233
AD AB AC =
+，令DE k DF =结合已知条件有
11x ky
AD AB AC k k =
+++，即可列方程组，得到关于k 的表达式表示x + y ，最后由基本不等式即可求得最小值 【详解】
由题意，连接AD 可得如下示图
∵在△ABC 中BD ＝2DC ，即有12
33
AD AB AC =+ 若令DE k DF =，则有111
k
AD AE AF k k =+++ 又AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0） ∴11
x ky
AD AB AC k k =
+++ 即113213x k ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩有1(1)3
21(1)3x k y k ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
(0)k >
∴211133k x y k +=
++≥=+
k =
min ()13
x y +=+
故答案为：13
+ 【点睛】
本题考查了向量线性关系的几何应用，及利用基本不等式求最值，通过定向量与其它向量的线性关系找到等量关系，进而构建函数并结合基本不等式求最值
19．【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示由已知条件得出点坐标圆M 的方程设由得出再设（为参数）代入中根据三角函数的值域可求得最大值【详解】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示因为在 解析：
116
【分析】
以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方
程，设(),P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出13
4y x
λμ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，再设3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参
数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值. 【详解】
以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，
因为在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，所以圆M 的半径为3+45
12
r -==， 所以()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()4,3D
，()3,1M ，圆M 的方程为
()()22
311x y -+-=，
设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),30,34,0x y λμ-=-+，解得
13
4y x λμ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
， 又点P 是圆M 上的点，所以3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩
（θ为参数），
所以()1sin 3cos 517sin 1+1+34312124+y x θθβθλμ+=+--+=-
=，其中3
tan 4
β=， 所以，当()sin 1βθ-=时，λμ+取得最大值11
6
， 故答案为：
116
.
【点睛】
本题考查向量的线性表示，动点的轨迹中的最值问题，属于中档题.
20．【分析】由已知得应用向量的运算律求出关系利用三角换元结合正弦函数的有界性即可求解【详解】在矩形中令其中最小值最大值分别为的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算解题的关键
解析：55⎡⎢⎣⎦
. 【分析】
由已知得2||1AP =，应用向量的运算律，求出,λμ关系，利用三角换元结合正弦函数的有界性，即可求解. 【详解】
在矩形ABCD 中，,0AB AD AB AD ⊥∴⋅=
22
2
2
2
2
22||()41AP AB AD AB AD λμλμλμ=+=+=+=,
令15
2cos ,sin ,cos sin sin()22
λθμθλμθθθϕ==+=
+=+，
其中1tan 2ϕ=
，λμ+最小值、最大值分别为22
-,
λμ+的取值范围为⎡
⎢⎣
⎦
.
故答案为:22⎡-⎢⎣⎦
【点睛】
本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，解题的关键用换元法将问题转化为求三角函数的最值，属于中档题.
三、解答题
21．（Ⅰ）3⋅=a b ，b ＝2；（Ⅱ）3k =-． 【分析】
（Ⅰ）根据数量积与模的坐标表示计算； （Ⅱ）由向量垂直的坐标表示求解． 【详解】
（Ⅰ）由题意3103a b ⋅=⨯+=；
21(2b =+=．
（Ⅱ）(3,3)a kb k k +=+， 因为向量a 与k +a b 互相垂直，
所以()3(3)0a a kb k ⋅+=+=，解得3k =-． 【点睛】
本题考查向量数量积与模的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题． 22．（1）2-；（2）22
5
. 【分析】
（1）可以求出(2,24)ma c m m +=-+，2(4,0)a c -=，根据()//(2)ma c a c +-即可得出m 的值；
（2）可以求出(2,2)a b k +=-+，根据()a a b ⊥+即可求出k 的值，进而可得出(3λμ-，2)(2λμ-=-，4)，从而可得出λ，μ的值．
【详解】
（1）(2,24)ma c m m +=-+，2(4,0)a c -=，
()//(2)ma c a c +-，
240m ∴+=，解得2m =-；
（2）(2,2)a b k +=-+，且()a a b ⊥+，
∴()22(2)0a a b k +=-++=，解得1k =-， ∴(3,2)(2,4)c a b λμλμλμ=+=--=-，
∴3224λμλμ-=-⎧⎨-=⎩，解得145
85λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
∴22
5
λμ+=
． 【点睛】
本题考查了向量坐标的加法、减法和数乘运算，向量垂直的充要条件，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
23．（1）1，0，0；（2）证明见解析；（3）当
1
1
22
0a b a b ≠时，有唯一解，1
12
21
12
2
c b c b x a b a b =
，112
2
112
2
a c a c y a
b a b =. 【分析】
（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值.
（2）若向量(),p a b =与向量(),q c d =共线，由0q ≠和0q =时，分别推导出
0a b c d
=；反之，若
0a b c d
=，即0ad bc -=，当c ，d 不全为0时，不妨设0c ≠，
则ad b c =
，,ab p a c ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，推导出a p q c =⋅，//p q ，当0c 且0d =时，0q =，(),p a b =与0q =共线，由此能证明向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d
=.
（3）求出()12211221a b a b x c b c b -=-，()12211221a b a b x a c a c -=-，由此能求出当
1
12
20a b a b ≠时，关于x ，y 的二元一次方程组111
222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解，并能求出解. 【详解】 解：（1）解：①
10101
=
②
131623026=⨯-⨯=； ③
()()2
5
22551001025
-=-⨯--⨯=-.
（2）证明：若向量(),p a b =与向量(),q c d =共线，则： 当0q ≠时，有0ad bc -=，即
0a b c d
=，
当0q =时，有0c d ==，即0a b ad bc c d
=-=，
∴必要性得证. 反之，若
0a b c d
=，即0ad bc -=，
当c ，d 不全为0时，即0q ≠时， 不妨设0c ≠，则ad b c =，∴,ab p a c ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， ∵(),q c d =，∴a
p q c
=⋅，∴//p q ，∴(),p a b =与(),q c d =共线， 当0c
且0d =时，0q =，∴(),p a b =与0q =共线，
充分性得证.
综上，向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是
0a b c d
=.
（3）用2b 和1b 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y 得：
()12211221a b a b x c b c b -=-，①
同理，消去x ，得：
()12211221a b a b x a c a c -=-，②
∴当12210a b a b -≠时，即
11
22
0a b a b ≠时，由①②得： 1
122121*********c b c b x a b a b a b c b c b a b -=
=-，112
2
12211
112212
2
a c a c a c a c
y a b a b a b a b -==-， ∴当
1
12
20a b a b ≠时，关于x ，y 的二元一次方程组111
222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解，
且1
122112
2
c b c b x a b a b =
，112
2
112
2
a c a c y a
b a b =. 【点睛】
此题考查行列式求值，考查向量共线的充要条件的证明，考查二元一次方程有解的条件及解的求法，考查运算求解能力，属于中档题 24．（1）3BC =；7
BE =2）是定值，78.
【分析】
（1）由()
2
2
BC AC AB =-，()
2
2
12BE BO BC ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
，结合数量积公式得出BC 和
BE ；
（2）取BE 的中点N ，连接MN ，由ME MB =，得出MN BE ⊥，由
BM BN NM =+，结合数量积公式计算BE BM ⋅，即可得出定值.
【详解】
（1）∵BC AC AB =-
∴2
2
2
211211cos1203BC AC AB AB AC =+-⋅=+-⨯⨯⨯︒= ∴3BC = 又()
1
2
BE BO BC =
+ ∴(
)
2
22117213214424
BE BO BC BO BC ⎛=++⋅=++⨯= ⎝⎭ ∴7BE =
（2）取BE 的中点N ，连接MN
∵ME MB =，∴MN BE ⊥，且BM BN NM =+ ∴()
BE BM BE BN NM BE BN BE NM ⋅=⋅+=⋅+⋅
211177
022248
BE BE BE =⋅+==⨯=
∴7
8
BE BM ⋅=
（为定值）
【点睛】
本题主要考查了利用定义计算数量积以及模长，涉及了向量加减法的应用，属于中档题. 25．（1）3；（2）
49. 【分析】
（1）G 为ABC 的重心，可得133
1AG AB AC =+，再由,,P G Q 三点共线，利用共线的充要条件可得(1)AG AP AQ λλ=+-，结合已知和向量的基本定理，即可求出,h k 关系；
（2）由三角形面积公式可得APQ ABC S hk S =，利用（1）中结论，结合基本不等式，即可求出结论.
【详解】
（1）设BC 中点为D ，则,,A G D 三点共线，
且211333
AG AD AB AC ==+， ,,P G Q 三点共线，存在唯一的λ，
使得(1)(1)AG AQ QP AP AQ hAB k AC λλλλλ=+=+-=+-， ,AB AC 不共线，131(1)3h k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
， 整理得31()1,31h h k h k k
=+=+； （2）1||||sin 21||||sin 2APQ ABC AP AQ BAC S hk S AB AC BAC ⋅⋅∠==⋅⋅∠
114))9
11()((299k h h k h k h k =+++≥+=， 当且仅当23
h k ==时，等号成立. APQ ABC S S 的最小值为49
. 【点睛】
本题考查向量基本定理以及共线充要条件的应用，注意运用基本不等式求最值，属于中档题.
26．（1）60C =︒；（2
. 【分析】
（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式以及二倍角公式，求得cos C 的值，可得C 的值．
（2）利用两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理化简，可得结果．
【详解】
（1）由题意知，0m n =，即222cos 2sin 02
C C -=，21cos 2(1cos )0C C +--=， 22cos cos 10C C +-=，即cos 1C =-，或1cos 2C =
， 因为0C π<<，所以60C =︒． （2）2222221122
a b c a b c =+⇒-=， 222222
sin()sin cos sin cos 2222a a c b b b c a A B A B
B A R ac R bc
+-+--=-=- ()
222214442a b c c sinC cR cR R -=====． 【点睛】
本题主要考查两个向量数量积公式，两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．。