考研数学二(常微分方程)模拟试卷4(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知微分方程y’’+by’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b 的取值范围是( )
A．[0，+∞)．
B．(一∞，0]．
C．(一∞，4]．
D．(一∞，+∞)．
正确答案：A
解析：方程y’’+by’+y=0的特征方程为r2+6r+1=0，特征根为(1)b2＜4时，原方程通解为(2)b2=4时，原方程通解为(3)b2＞4时，原方程通解为由以上解的形式可知，当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A．知识模块：常微分方程
2．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )
A．y’’’一y’’一y’+y=0．
B．y’’’+y’’一y’一y=0．
C．y’’’一6y’’+11y’一6y=0．
D．y’’’一2y’’一y’+2y=0．
正确答案：B
解析：由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r —1)(r+1)2=0，即r3+r2一r—1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B．知识模块：常微分方程
3．函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )
A．y’’一y’一2y=3xex．
B．y’’一y’一2y=3ex．
C．y’’+y’一2y=3xex．
D．y’’+y’一2y=3ex．
正确答案：D
解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2．因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0．故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0．又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为
f(x)=Cex(C为常数)．比较四个选项，应选
D．知识模块：常微分方程
4．设是微分方程的解，则的表达式为( )
A．1
B．1
C．1
D．1
正确答案：A
解析：1 知识模块：常微分方程
5．微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为( )
A．xy2=4．
B．xy=4．
C．x2y=4．
D．一xy=4．
正确答案：C
解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4．应选
C．知识模块：常微分方程
6．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )
A．y=Cy1(x)．
B．y=Cy2(x)．
C．y=C1y1(x)+C2y2(x)．
D．y=C(y1(x)一y2(x))．
正确答案：D
解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C(y1(x)一y2(x))为该方程的解．知识模块：常微分方程
7．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( ) A．C1y1+C2y2+y3．
B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．
C．C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．
D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．
正确答案：D
解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)线性无
关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)．比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D．知识模块：常微分方程
8．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )
A．y=C1x+C2x2+ex．
B．y=C1x2+C2ex+x．
C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x．
D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)．
正确答案：C
解析：方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x 一x2)+C2(x一ex)+x，故选
C．知识模块：常微分方程
填空题
9．微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为____________．
正确答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex
解析：对应的特征方程为r2一2r+2=0，解得其特征根为r1,2=1±i．由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Ae2，代入原方程解得A=1．因此所求的通解为y=C1exeosx+C2exsinx+ex．知识模块：常微分方程
10．二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=______________．
正确答案：y=C1ex+C2e3x－2e2x
解析：特征方程为r2一4r+3=0，解得r1=1，r2=3．则对应齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x．设非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x 的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=-2．故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．知识模块：常微分方程
11．微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是___________．
正确答案：x=y2+y
解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则将x=2，y=1代入，得C=1．故x=y2+y．知识模块：常微分方程
12．微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=____________．
正确答案：(x+C)cosx，C是任意常数
解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知知识模块：常微分方程
13．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_____________．
正确答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2为任意常数
解析：显然y1一y3=e3x和y2－y2=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解．且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解．由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2e一xe2x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程
14．设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____________.
正确答案：y’’-2y’+2y=0
解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，r2=1±i，因此特征方程为(r-r1)(r—r2)=r一(r1+r2)r+r1r2=r2一2r+2=0．故，所求微分方程为y’’一2y’+2y=0．知识模块：常微分方程
15．微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=_____________.
正确答案：xe1-x
解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有，所以原方程可化为解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去绝对值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，将u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1-x，因此原方程的解为y=xe1-x．知识模块：常微分方程
16．微分方程xy’’+3y’=0的通解为_______________．
正确答案：
解析：令p=y’，则原方程化为，其通解为p=Cx-3．因此，知识模块：常微分方程
17．微分方程的通解是____________．
正确答案：y=Cxe-x(x≠0)
解析：原方程等价为两边积分得lny=lnx—x+C1．取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x ≠0)．知识模块：常微分方程
18．微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为__________．
正确答案：
解析：将已知微分方程变形整理得，知识模块：常微分方程
19．微分方程的通解为____________．
正确答案：
解析：二阶齐次微分方程的特征方程为知识模块：常微分方程
20．微分方程满足y｜x=1=1的特解为_____________．
正确答案：
解析：知识模块：常微分方程
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．设f(u，v)具有连续偏导数，且fu’(u，v)+fu’(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解
正确答案：由y(x)=e-2xf(x，x)，有y’(x)=一2-2xf(x，x)+e-2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]，由fu’(u，v)+fv’(u，v)=sin(u+v)eu+v可得f1’(x，x)+f2’(x，x)=(sin2x)e2x．于是y(x)满足一阶线性微分方程y’(x)+2y(x)=sin2x．通解为y(x)=e-2x[∫sin2x.e2xdx+C]，由分部积分公式，可得涉及知识点：常微分方程
已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex．
22．求f(x)的表达式；
正确答案：齐次微分方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为r2+r一2=0，特征根为r1=1，r2=一2，因此该齐次微分方程的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x．再由f’’(x)+f(x)=2ex得2C1ex一3C2e-2x=2ex．因此可知C1=1，C2=0．所以f(x)的表达式为f(x)=ex．涉及知识点：常微分方程
23．求曲线y=f(x2)∫0xf(-t2)dt的拐点．
正确答案：曲线方程为令y’’=0得x=0．下面证明x=0是y’’=0唯一的解，当x＞0时，2x＞0,2(1+2x2)ex2∫0xe-t2dt＞0，可知y’’＞0：当x＜0时，2x＜0，2(1+2x2)e-t2∫0xe-t2dt＜0，可知y’’＜0．可知x=0是y’’=0唯一的解．同时，由上述讨论可知曲线y=f(x2)∫0x[一t2)dt，在x=0左右两边的凹凸性相反，可知(0，0)点是曲线y=(x2)=∫0xf(一t2)dt唯一的拐点．涉及知识点：常微分方程
24．设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求曲线y=y(x)的方程．
正确答案：设曲线y=y(x)上的点P(x，y)处的切线方程为Y—y=y’(X一x)．它与x轴的交点为由于y’(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)．于是又S2=∫0xy(t)dt.根据题设2S1一S2=1，有并且y’(0)=1，两边对x求导并化简得yy’’=(y’)2，这是可降阶的二阶常微分方程，令P(y)=y’，则上述方程可化分离变量得从而有y=C2eC1x根据y’(0)=1，y(0)=1，可得C1=1，C2=1．故所求曲线的方程为y=ex．涉及知识点：常微分方程
设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
25．试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；
正确答案：由反函数的求导公式知于是有代入原微分方程得y’’－y=sinx．(*) 涉及知识点：常微分方程
26．求变换后的微分方程满足初始条件的解．
正确答案：方程(*)所对应的齐次方程y’’一y=0的通解为Y=C1ex+C2e-x．设方程(*)的特解为y*=Acosx+Bsinx，代入方程(*)，求，因此y’’一y=sinx的通解是涉及知识点：常微分方程。