(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基
础知识点归纳总结
单选题
1、若正数a,b 满足a +b =ab ，则a +2b 的最小值为（ ） A ．6B ．4√2C ．3+2√2D ．2+2√2 答案：C
分析：由a +b =ab ，可得1
a +1
b =1，则a +2b =(a +2b)(1
a +1
b )，化简后利用基本不等式可求得其最小值 因为正数a,b 满足a +b =ab ， 所以1
a +1
b =1，
所以a +2b =(a +2b)(1
a +1
b )
=3+
a b +2b a
≥3+2√a b
⋅
2b a
=3+2√2，
当且仅当a b =2b
a
，即a =√2+1,b =2+√22
时取等号，
故选：C
2、若x >1，则x +1
x−1的最小值等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D
分析：将x +1
x−1变形为x −1+1
x−1+1，即可利用均值不等式求最小值.
因为x >1，所以x −1>0，因此x +
1x−1
=x −1+
1x−1
+1≥2√(x −1)⋅
1x−1
+1=3,当且仅当x −1=
1
x−1
，即
x =2时，等号成立，所以x +1
x−1的最小值等于3. 故选：D.
3、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A
分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.
设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，
则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .
要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A
4、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）
A ．{x|x >1或x <−16}
B ．{x |−1
6<x <1 }
C ．{x|x >1或x <−3}
D ．{x |−3<x <2 } 答案：B
分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−1
6<x <1，故原不等式的解集为
{x |−1
6<x <1 }．
法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．
5、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．c
a >c
b B ．ab <b 2 C ．a −b +1a−b
≥2D ．
1a−1
<
1
b−1
答案：C
分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<
1a
<1
b
，而c 的正负不确定，故A 错误；
对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；
对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1
a−b >0，所以a −b +1
a−b ≥2√(a −b )×1
a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1
a−1与1
b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.
6、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要 答案：C
分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知
（x −2）(x −3）≤0．
充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，
必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|， 由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|，
∴（x −2）(x −3）≤0，
所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件， 故选：C ．
7、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ） A ．1
4
B ．1
2C ．1D ．2
答案：C
分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.
由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C.
8、若正实数a,b ，满足a +b =1，则b
3a +3
b 的最小值为（ ） A ．2B ．2√6C ．5D ．4√3 答案：C
分析：化简b
3a +3
b =b
3a +
3a+3b b
=b 3a +
3a b
+3，然后利用基本不等式求解即可
根据题意，若正实数a,b ，满足a +b =1，
则b 3a
+3
b
=
b 3a
+3a+3b b
=b 3a
+3a b
+3≥2√b 3a
⋅3a b
+3=5，
当且仅当b =3a =3
4时等号成立， 即
b 3a
+3
b
的最小值为5；
故选：C
小提示：此题考查基本不等式的应用，属于基础题
9、已知a,b 为正实数，且a +b =6+1
a +9
b ，则a +b 的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．12 答案：B
分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1
a +9
b
)(a+b)=6(a+b)+10+b
a
+9a
b
，结合基本不等式，即可求
解.
由题意，可得(a+b)2=(6+1
a +9
b
)(a+b)=6(a+b)+10+b
a
+9a
b
≥6(a+b)+16，
则有(a+b)2−6(a+b)−16≥0，解得a+b≥8，
当且仅当a=2，b=6取到最小值8.
故选：B.
10、已知y=(x−m)(x−n)+2022(n>m)，且α,β(α<β)是方程y=0的两实数根，则α，β，m，n的大小关系是（）
A．α<m<n<βB．m<α<n<β
C．m<α<β<n D．α<m<β<n
答案：C
分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.
∵α，β为方程y=0的两实数根，∴α，β为函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像与x轴交点的横坐标，
令y1=(x−m)(x−n)，∴m，n为函数y1=(x−m)(x−n)的图像与x轴交点的横坐标，易知函数y=
(x−m)(x−n)+2022的图像可由y1=(x−m)(x−n)的图像向上平移2022个单位长度得到，
所以m<α<β<n.
故选:C.
填空题
11、设x>0，y>0，x+2y=4，则(x+1)(2y+1)
xy
的最小值为__________.
答案：9
2
.
分析：把分子展开化为(x+1)(2y+1)
xy =2xy+x+2y+1
xy
=2xy+5
xy
=2+5
xy
，再利用基本不等式求最值．
由x+2y=4，得x+2y=4≥2√2xy，得xy≤2
(x+1)(2y+1)
xy
=
2xy+x+2y+1
xy
=
2xy+5xy
=2+
5xy
≥2+52
=9
2
，
等号当且仅当x =2y ，即x =2,y =1时成立． 故所求的最小值为9
2．
小提示：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
12、已知M =x 2−3x ，N =−3x 2+x −3，则M ，N 的大小关系是________． 答案：M >N
分析：利用作差法直接比大小.
M −N =(x 2−3x )−(−3x 2+x −3)=4x 2−4x +3=(2x −1)2+2>0
∴M >N ,
所以答案是：M >N .
13、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：3
2##1.5
分析：分析可得x +2y =32
(x +y )−1
2
(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值.
设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =3
2
n =−
12
， 所以，z =x +2y =32
(x +y )−12
(x −y )≥3
2
，
因此，z =x +2y 的最小值是3
2
.
所以答案是：3
2.
14、若a >0,b >0，则1
a +a
b 2+b 的最小值为____________． 答案：2√2
分析：两次利用基本不等式即可求出. ∵ a >0,b >0，
∴1
a +a
b2
+b≥2√1
a
⋅a
b2
+b=2
b
+b≥2√2
b
⋅b=2√2，
当且仅当1
a =a
b2
且2
b
=b，即a=b=√2时等号成立，
所以1
a +a
b2
+b的最小值为2√2.
所以答案是：2√2.
15、设a>0，b>0，且5ab+b2=1，则a+b的最小值为___________.
答案：4
5
分析：由5ab+b2=1得到a，再将a+b化为积为定值的形式，根据基本不等式可求得结果.
因为5ab+b2=1，所以a=1−b2
5b =1
5b
−b
5
，
所以a+b=1
5b −b
5
+b=1
5b
+4b
5
≥2√1
5b
⋅4b
5
=4
5
，当且仅当a=3
10
，b=1
2
时，等号成立，
所以a+b的最小值为4
5
.
所以答案是：4
5
小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
解答题
16、设关于x的二次函数f(x)=2mx2−mx−1．
(1)若m=1，解不等式f(x)<0；
(2)若不等式f(x)>m−10在[0,2]上恒成立，求实数m的取值范围．
答案：(1)(−1
2
,1)；
(2)m ∈(−9
5,0)∪(0,8).
分析：（1）由题设有2x 2−x −1<0，解一元二次不等式求解集即可.
（2）由题意2mx 2−mx −m +9>0在x ∈[0,2]上恒成立，令g(x)=2mx 2−mx −m +9并讨论m 范围，结合二次函数的性质求参数范围. （1）
由题设，f(x)<0等价于2x 2−x −1<0，即(x −1)(2x +1)<0，解得−1
2<x <1，
所以该不等式解集为(−1
2,1). （2）
由题设，2mx 2−mx −m +9>0在x ∈[0,2]上恒成立．
令g(x)=2mx 2−mx −m +9，则对称轴x =1
4 ∈[0,2]且Δ=9m 2−72m =9m(m −8)，
①当m <0时，g(x)开口向下且Δ>0，要使g(x)>0对x ∈[0,2]恒成立， 所以{g (0)=−m +9>0g (2)=5m +9>0 ，解得−95<m <9，则−9
5<m <0．
②当m >0时，g(x)开口向上，只需Δ<0，即0<m <8. 综上，m ∈(−9
5,0)∪(0,8)．
17、（1）设b >a >0，m >0，证明：a b <a+m
b+m ；
（2）设x >0，y >0，z >0，证明：1<x
x+y +y
y+z +z
z+x <2. 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析. 分析：（1）根据作差法证明即可；
（2）由于x
x+y >x
x+y+z ，故1<x
x+y +y
y+z +z
z+x ，再结合（1）的结论易证x
x+y +y
y+z +z
z+x <2. 证明：（1）因为b >a >0，m >0，所以a −b <0，b +m >0。

所以a b −a+m
b+m =a (b+m )−b (a+m )
b (b+m )
=(a−b )m
b (b+m )<0，
故得证；
（2）由不等式的性质知，x x+y >x x+y+z ,y y+z >y x+y+z ,z z+x >z
x+y+z ， 所以
x
x+y
+
y y+z
+
z z+x
>
x x+y+z
+
y x+y+z +
z x+y+z =1，
又因为根据（1）的结论可知，x
x+y <x+z
x+y+z ,y
y+z <x+y
x+y+z ,z
z+x <y+z
x+y+z ， 所以
x
x+y
+
y y+z
+
z z+x
<
x+z x+y+z
+
x+y x+y+z
+
y+z x+y+z
=2.
所以1<
x x+y
+
y y+z
+
z z+x
<2.
18、已知一元二次函数f(x)=ax 2+bx +c (a >0,c >0)的图像与x 轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为(c,0)，且当0<x <c 时，恒有f(x)>0． （1）当a =1，c =1
2时，求出不等式f(x)<0的解； （2）求出不等式f(x)<0的解（用a,c 表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a 的取值范围； （4）若不等式m 2−2km +1+b +ac ≥0对所有k ∈[−1, 1]恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：（1）(1
2,1)；（2）(c,1
a )；（3）a ∈(0, 1
8]；（4）m ≤−2 或 m =0 或m ≥2． 分析：（1）根据根与系数的关系，求出f(x)=0的另一根，得到不等式f(x)<0的解；
（2）根据根与系数的关系，求出f(x)=0另一根，并判断两根的大小，得到不等式f(x)<0的解；
（3）先求出f(x)的图像与坐标轴的交点，表示出以这些点组成的三角形的面积，再将a 用c 表示出来，再求得a 的范围；
（4）根据f(c)=0，得到a,b,c 的关系式，化简不等式，将k,m 分离，分离时注意讨论m 的符号，求得实数m 的范围.
（1）当a =1，c =1
2时，f(x)=x 2+bx +1
2，f(x)的图像与x 轴有两个不同交点， ∵f(1
2)=0设另一个根为x 2，则1
2x 2=1
2，∴x 2=1，则f(x)<0的解集为(1
2,1)．
（2）f(x)的图像与x轴有两个交点，∵f(c)=0，设另一个根为x2，
则cx2=c
a ∴x2=1
a
又当0<x<c时，恒有f(x)>0，则1
a
>c，
∴f(x)<0的解集为(c,1
a
)．
（3）由（2）的f(x)的图像与坐标轴的交点分别为(c,0),(1
a
,0),(0,c)
这三交点为顶点的三角形的面积为S=1
2(1
a
−c)c=8，
∴a=c
16+c2≤
2√16c
=1
8
，故a∈(0, 1
8
]．
（4）∵f(c)=0，∴ac2+bc+c=0，又∵c>0，∴ac+b+1=0，
要使m2−2k m≥0，对所有k∈[−1, 1]恒成立，则
当m>0时，m≥(2k)max=2；
当m<0时，m≤(2k)min=−2；
当m=0时，02≥2k⋅0，对所有k∈[−1, 1]恒成立．
从而实数m的取值范围为m≤−2 或 m=0 或m≥2．
小提示：本题考查了二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三个二次之间关系及应用，根与系数的关系，恒成立求参问题，参变分离技巧，属于中档题.
19、（1）已知a>b,c<d，求证：a−c>b−d；
（2）已知a>b,ab>0，求证：1
a <1
b
；
（3）已知a>b>0,0<c<d，求证：a
c >b
d
.
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
分析：（1）根据c<d不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到−c>−d, 再用同向可加性法则即可得出结果.
（2）根据正数的倒数大于0可得1
ab
>0,再用同向同正可乘性得出结果.
（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1
c >1
d
>0,再用同向同正可乘性得出结果.
证明：（1）因为a>b,c<d，所以a>b,−c>−d. 则a−c>b−d.
（2）因为ab>0，所以1
ab
>0.
又因为a>b，所以
a⋅1
ab >b⋅1
ab
，
即1
b >1
a
，因此1
a
<1
b
.
（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得
1 c >1
d
>0.
又因为a>b>0，
则a⋅1
c >b⋅1
d
，
即a
c >b
d
.
小提示：本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.。