九年级数学上学期第四次周练试题(含解析) 苏科版-苏科版初中九年级全册数学试题

某某省某某市丹阳市横塘中学2015-2016学年九年级数学上学期第
四次周练试题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号写在答题纸的相应位置上）
1．|﹣3|的相反数是（）
A．3 B．﹣3 C．D．﹣
2．下列运算正确的是（）
A．（3x2）3=9x6B．a6÷a2=a3
C．（a+b）2=a2+b2D．22014﹣22013=22013
3．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（）
A．B．C．
D．
4．不等式组的解在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
5．一次数学考试后，某个四人学习小组中有三个人的成绩分别为90分、70分、70分，若整个学习小组的中位数是75分，则第4个同学的成绩可能为（）
A．80分B．75分C．90分D．70分
6．把一X矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是（）
2222
7．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2﹣4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）
A．（﹣2，3）B．（﹣1，4）C．（1，4） D．（4，3）
8．如图，正ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC、PE⊥AB，PF⊥AC，连AP、BP、CP，如果S△AFP+S△PCD+S△BPE=，那么△ABC的内切圆半径为（）
A．1 B．C．2 D．
二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分．）
9．分解因式：2x2﹣8y2=．
10．式子有意义的x取值X围是．
11．已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是．
12．如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为2和1，若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为．
13．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是．
14．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．
15．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，向直角扇形OAB内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是．
16．如图，直线y=﹣x与双曲线（只在第一象限内的部分）在同一直角坐标系内，
现有一个半径为1且圆心P在双曲线上的一个动圆⊙P，⊙P在运动过程中圆上的点与直线y=﹣x的最近距离为．
三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题纸的指定区域内作答．）
17．计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2+．
18．先化简，再求值：÷（2﹣），其中x=+1．
19．甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
平均数众数中位数方差
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差．（填“变大”、“变小”或“不变”）．
20．如图1，某种三角形台历放置在水平桌面上，其左视图如图2，其中点O是台历支架OA、OB的交点，同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA=OB=14m，CA=CB=4cm，∠ACB=120°，台历顶端螺旋连接线圈所在圆的半径为0.6cm．
（1）求点O到直线AB的距离；
（2）求X角∠AOB的大小；
（3）求此时某月的日历从台历支架正面翻到背面所经历的路径长．
（参考数据：sin14.33°≈0.25，cos14.33°≈0.97，tan14.33°≈0.26，
，π取3.14，所有结果精确到0.01，可使用科学计算器）
21．近几年“密室逃脱俱乐部”风靡全球．下图是俱乐部的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道．
（1）他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）；（2）求小明从中间通道进入A密室的概率．
22．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，
当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？
23．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．试问：
（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由．
（2）猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么关系？并说明理由．
24．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．
25．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你写出BF与CG满足的数量关系，并加以证明；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF 与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，若AG：AB=5：13，，求DE+DF的值．
26．如图，分别以菱形BCED的对角线BE、CD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2﹣6ax﹣16a（a＜0）过B、C两点，与x轴的负半轴交于点A，且∠ACB=90°．点P是x轴上一动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究：
①填空：MQ=；（用含m的化简式子表示，不写过程）
②当m为何值时，四边形CQBM的面积取得最大值，并求出这个最大值．
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年某某省某某市丹阳市横塘中学九年级（上）第四次周练数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号写在答题纸的相应位置上）
1．|﹣3|的相反数是（）
A．3 B．﹣3 C．D．﹣
【考点】绝对值；相反数．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
【解答】解：|﹣3|的相反数是﹣3．
故选B．
【点评】本题考查绝对值与相反数的意义，是一道基础题．可能会混淆倒数、相反数和绝对值的概念，错误地认为﹣3的绝对值等于，或认为﹣|﹣3|=3，把绝对值符号等同于括号．
2．下列运算正确的是（）
A．（3x2）3=9x6B．a6÷a2=a3
C．（a+b）2=a2+b2D．22014﹣22013=22013
【考点】完全平方公式；有理数的乘方；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式等结合选项进行求解，然后选择正确选项．
【解答】解：A、（3x2）3=27x6，原式计算错误，故本选项错误；
B、a6÷a2=a4，原式计算错误，故本选项错误；
C、（a+b）2=a2+2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误；
D、22014﹣22013=2×22013﹣22013=22013，原式计算正确，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式等知识，熟记公式以及运算法则是解答本题的关键．
3．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（）
A．B．C．
D．
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】压轴题．
【分析】分别分析四个选项的左视图和主视图，从而得出结论．
【解答】解：A、左视图与主视图都是正方形，
B、左视图与主视图不相同，分别是正方形和长方形，
C、左视图与主视图都是矩形，
D、左视图与主视图都是等腰三角形．
故选B．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
4．不等式组的解在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，最后把不等式组的解集在数轴表示出来，即可选出答案．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≥2，
∴不等式组的解集为x≥2，
在数轴上表示不等式组的解集为：，
故选C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集等知识点，注意：包括该点用黑点，不包括该点用圆圈，找不等式组解集的规律之一是同大取大．
5．一次数学考试后，某个四人学习小组中有三个人的成绩分别为90分、70分、70分，若整个学习小组的中位数是75分，则第4个同学的成绩可能为（）
A．80分B．75分C．90分D．70分
【考点】中位数．
【分析】根据中位数的概念求解．
【解答】解：∵中位数为75，
∴设第四个数为x，
则=75，
解得：x=80．
故选A．
【点评】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．把一X矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是（）
2222
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】计算题．
【分析】根据图形折叠前后图形不发生大小变化，得出AE=A′E，再利用勾股定理得出A′E2+A′D2=ED2，从而求出x，进而得出DE的长，再求出△DEF的面积．
【解答】解：∵按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，
∵AB=3cm，BC=5cm，
∴A′D=AB=3cm，假设AE=x，则A′E=xcm，DE=5﹣x（cm），
∴A′E2+A′D2=ED2，
∴x2+9=（5﹣x）2，
解得：x=1.6，
∴DE=5﹣1.6=3.4（cm），
∴△DEF的面积是：×3.4×3=5.1（cm2）．
故选B
【点评】此题主要考查了折叠问题，得出AE=A′E，根据勾股定理列出关于x的方程是解决问题的关键．
7．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2﹣4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）
A．（﹣2，3）B．（﹣1，4）C．（1，4） D．（4，3）
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】压轴题；探究型．
【分析】先把抛物线y=2x2﹣4x+3化为顶点式的形式，再根据函数图象平移的法则求出向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式，求出其顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣4x+3化为y=2（x﹣1）2+1，
∴函数图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x﹣1﹣3）2+1+2，即y=2（x﹣4）2+3，
∴其顶点坐标为：（4，3）．
故选D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，先把原抛物线的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．
8．如图，正ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC、PE⊥AB，PF⊥AC，连AP、BP、CP，如果S△AFP+S△PCD+S△BPE=，那么△ABC的内切圆半径为（）
A．1 B．C．2 D．
【考点】面积及等积变换．
【分析】过P点作正三角形的三边的平行线，于是可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，于是求出三角形ABC的面积，进而求出等边三角形的边长和高，再根据等边三角形的内切圆的半径等于高的三分之一即可求出半径的长度．
【解答】解：过P点作正三角形的三边的平行线，
于是可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，
四边形ASPM，四边形NCDP，平行四边形PQBR是平行四边形，
故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，
又知S△AFP+S△PCD+S△BPE=，
故知S△ABC=3，
S△ABC=AB2sin60°=3，
故AB=2，
三角形ABC的高h=3，
△ABC的内切圆半径r=h=1．
故选A．
【点评】本题主要考查面积及等积变换的知识点，解答本题的关键是过P点作三角形三边的平行线，证明黑色部分的面积与白色部分的面积相等，此题有一定难度．
二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分．）
9．分解因式：2x2﹣8y2= 2（x+2y）（x﹣2y）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】观察原式2x2﹣8y2，找到公因式2，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，所以利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：2x2﹣8y2=2（x2﹣4y2）=2（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：2（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法（平方差公式）．要求灵活运用各种方
法进行因式分解．
10．式子有意义的x取值X围是x＜2 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意，得
2﹣x＞0，
解得，x＜2；
故答案是：x＜2．
【点评】本题考查了二次根式、分式有意义的条件．分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
11．已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是4 ．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】计算题．
【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出m﹣n的值．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：m=1，n=﹣3，
则m﹣n=1﹣（﹣3）=1+3=4．
故答案为：4
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
12．如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为2和1，若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为．
【考点】圆锥的计算；勾股定理；垂径定理；切线的性质．
【分析】利用相应的三角函数可求得∠AOB的度数，进而可求优弧AB的长度，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：连接OP，则OP⊥AB，AB=2AP，
∴AB=2AP=2×=2，
∴sin∠AOP=，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOB=2∠AOP=120°，
∴优弧AB的长为=π，
∴圆锥的底面半径为π÷2π=，
故答案为：．
【点评】本题综合考查了垂径定理，勾股定理，相应的三角函数，圆锥的弧长等于底面周长等知识点．
13．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 4.8 ．
【考点】解直角三角形；菱形的性质．
【专题】计算题．
【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和△ABE的面积，即可求得PE的最小值．
【解答】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，
因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=，
于是，
解得x=10，即AB=10．
所以易求BE=8，AE=6，
当EP⊥AB时，PE取得最小值．
故由三角形面积公式有： ABPE=BEAE，
求得PE的最小值为4.8．
故答案为 4.8．
【点评】本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键．
14．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是0或1 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质．
【专题】分类讨论．
【分析】需要分类讨论：
①若m=0，则函数为一次函数；
②若m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．
【解答】解：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；
②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．
根据题意得：△=4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：0或1．
【点评】此题考查了一次函数的性质与抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点个数由根的判别式的值来确定．本题中函数可能是二次函数，也可能是一次函数，需要分类讨论，这是本题的容易失分之处．
15．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，向直角扇形OAB内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是1﹣．
【考点】几何概率．
【分析】设OA的中点是D，则∠CDO=90°，这样就可以求出弧OC与弦OC围成的弓形的面积，从而可求出两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积，用扇形OAB的面积减去两个半圆的
面积，加上两个弧OC围成的面积的2倍就是阴影部分的面积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．
【解答】解：设OA的中点是D，则∠CDO=90°，半径为r
S扇形OAB=πr2
S半圆OAC=π（）2=πr2
S△ODC=××=r2
S弧OC=S半圆OAC﹣S△ODC=πr2﹣r2
两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积为πr2﹣r2
图中阴影部分的面积为πr2﹣2×πr2+2（πr2﹣r2）=πr2﹣r2
∴该点刚好来自阴影部分的概率是：1﹣．
故答案为：1﹣
【点评】本题主要考查了几何概型，解题的关键是求阴影部分的面积，不规则图形的面积可以转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算，属于中档题．
16．如图，直线y=﹣x与双曲线（只在第一象限内的部分）在同一直角坐标系内，
现有一个半径为1且圆心P在双曲线上的一个动圆⊙P，⊙P在运动过程中圆上的点与直线y=﹣x的最近距离为 1 ．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】设直线y=﹣x向上平移b个单位与双曲线相交，与反比例函数解析式组成方程组，消去y，让所得方程的根的判别式为非负数即可求得k的最小值，也就求得了至少平移的距离，找到反比例函数上的点到直线y=﹣x的最小距离，减去圆的半径即可．
【解答】解：设直线y=﹣x向上平移b个单位与双曲线相交，
则此时直线的解析式为y=﹣x+b，
由题意得，，
∴﹣x+b=；
﹣x2+bx﹣2=0，
两个函数有交点，则b2﹣8≥0，
解得b≥2，
∴直线y=﹣x至少向上平移2个单位才能与双曲线y=有交点，
∵直线y=﹣x向上移动2单位后与反比例函数图象有一个交点，
那么y=﹣x+2与y=﹣x相距2个单位，
由于⊙P的半径为1，所以⊙P在运动过程中圆上的点与直线y=﹣x的最近距离为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是反比例函数知识的综合运用，解决本题的关键是理解两个函数解析式有交点，即两个函数组合成的一元二次方程的根的判别式为非负数以及两直线之间的距离的确定．
三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题纸的指定区域内作答．）
17．计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2+．
【考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】计算题．
【分析】涉及绝对值、特殊角的三角函数值、0指数幂、负整数指数幂、二次根式的运算等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2+，
=|2﹣|﹣1+4+，
=2﹣﹣1+4+，
=5．
【点评】本题考查的知识点比较多：绝对值、特殊角的三角函数值、0指数幂、负整数指数幂、二次根式的运算的有关内容，熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
18．先化简，再求值：÷（2﹣），其中x=+1．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷
=
=﹣．
当x=+1时，原式=﹣=﹣=﹣
．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
平均数众数中位数方差
甲8 8
乙8 9 9
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．（填“变大”、“变小”或“不变”）．
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据众数、平均数和中位数的定义求解；
（2）根据方差的意义求解；
（3）根据方差公式求解．
【解答】解：（1）甲的众数为8，乙的平均数=×（5+9+7+10+9）=8，乙的中位数为9；
（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．
故答案为：8，8，9；变小．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这
组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2= [（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（x n﹣x¯）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数、中位数和众数．
20．如图1，某种三角形台历放置在水平桌面上，其左视图如图2，其中点O是台历支架OA、OB的交点，同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA=OB=14m，CA=CB=4cm，∠ACB=120°，台历顶端螺旋连接线圈所在圆的半径为0.6cm．
（1）求点O到直线AB的距离；
（2）求X角∠AOB的大小；
（3）求此时某月的日历从台历支架正面翻到背面所经历的路径长．
（参考数据：sin14.33°≈0.25，cos14.33°≈0.97，tan14.33°≈0.26，
，π取3.14，所有结果精确到0.01，可使用科学计算器）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）易证OD是AB的垂直平分线，可得AD的长，即可求得OD的长；
（2）根据OD，OA的值可以求得cos∠AOD的值，即可求得∠AOD的大小，即可解题；（3）根据日历从台历正面翻到背面所经历角的大小，计算弧的长度即可解题．
【解答】解：（1）如图，连接AB、OC，延长OC交AB于点D，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OD是AB的垂直平分线，
又CA=CB，∠ACB=120°，
∴∠ACD=∠BCD=60°，
∴AD=4×sin60°=2，
∴OD===≈13.56cm，
即点O到直线AB的距离为13.56cm；
（2）∵OD⊥AB，OD=13.56cm，OA=14cm，
∴=≈0.97，
∴∠AOD≈14.33°，
∴∠AOB=2∠AOD≈28.66°；
（3）∵∠AOB=28.66°，∴日历从台历正面翻到背面所经历的角的
大小为360°﹣28.66°=331.34°，
∴日历从台历正面翻到背面所经历的
路径长约为．
【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了圆弧长的求解，本题中求得OD 的长是解题的关键．
21．近几年“密室逃脱俱乐部”风靡全球．下图是俱乐部的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道．
（1）他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）；（2）求小明从中间通道进入A密室的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）此题可以采用树状图法求解．一共有6种情况，其中进入A密室的有2种可能，进入B密室的有4种可能，所以进入B密室的可能性较大；
（2）根据（1）中的树形图即可求出小明从中间通道进入A密室的概率．
【解答】解：（1）画出树状图得：
∴由表可知，小明进入游区后一共有6种不同的可能路线，因为小明是任选一条道路，所以走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A密室的有2种可能，进入B密室的有4种可能，所以进入B密室的可能性较大；
（2）由（1）可知小明从中间通道进入A密室的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
22．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．
【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；
（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，
由题意得， =，
解得：x=1200，
经检验x=1200是原方程的根，
则x+300=1500，
答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，
解得：x=1600，
答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．
【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．
23．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．试问：
（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由．
（2）猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么关系？并说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
【分析】（1）利用菱形的性质结合条件可证明△APD≌△CPD；
（2）可证明△APE∽△F PA，结合（1）可得PA=PC，可得到PC、PE、PF之间的关系．。