湖北省武汉市九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷
题号一二三四总分
得分
一、选择题（本大题共10 小题，共 30.0 分）
1. 方程 x（ x-5） =0 化成一般形式后，它的常数项是（）
A.-5
B. 5
C. 0
D. 1
2.二次函数 y=2（x-3）2-6（）
A. 最小值为- 6
B. 最大值为- 6
C. 最小值为3
D. 最大值为 3
3.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标记，此中是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
4. 一元二次方程 2 x+m=0
x +2 有两个不相等的实数根，则（）
3
A. m>3
B. m=3
C. m<3
D. m≤3
5. 在平面直角坐标系中，将点（-2， 3）对于原点的对称点向右平移 2 个单位长度得
到的点的坐标是（）
A. (4,-3)
B. (-4,3)
C. (0,-3)
D. (0,3)
6.如图，将△ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50 °后获取
△A′B′C′．若∠A=40 °．∠B′=110 °，则∠BCA′的度数是（）
A.110 °
B.80°
C.40°
D.30°
7.有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后共
有 133 人收到短信息，问每轮转发中均匀一个人转发给（）个人．
A.9
B.10
C.11
D.12
8. 二次函数y=3（x-1）2+k 的图象上有三点A（ 3， y1）， B（ 2， y2）， C（ -2， y3），
则 y1、 y2、 y3的大小关系为（）
A. y1>y2>y3
B. y2>y1>y3
C. y3>y2>y1
D. y3>y1>y2
9.如图，△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60 °后获取△ADE ，且点 D 恰巧是 BC 边的中
点， DE 交 AB 于 F，则 EF ：FD 的值为（）
A. 3
B. 2.5
C. 4
D. 22
10. 二次函数 y=-x2-2x+c 在 -3≤x≤2的范围内有最小值-5，则 c 的值是（）
A.-6
B.-2
C. 2
D. 3
二、填空题（本大题共 6 小题，共18.0 分）
13.把抛物线y=2x2先向下平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位，获取的抛物线的分析
式是 ______．
14.飞机着陆后滑行的距离 y（单位： m）对于滑行时间 t（单位： s）的函数分析式是
y=60t-32t2 ．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 ______m．
15.如图，在△ABD 中，∠ADB =60 °，AD =6， BD =10，以 AB
为边向外作等边△ABC，则 CD 的长为 ______．
16. 若a b D{ a b} y=kx+ k 0
）与函数
y=D{ x2
），两数中较大的数记作，，直线12（＞-1，x+1
的图象有且只有 2 个交点，则k 的取值为 ______．
三、计算题（本大题共 2 小题，共18.0 分）
17. 解方程： x2+x-3=0 ．
18.某市政府鼎力扶助大学生创业，李明在政府的扶助下投资销售一种进价为每件20
元的护眼台灯．销售过程中发现，每个月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500．
（1）设李明每个月获取收益为 w（元），当销售单价定为多少元时，每个月可获取
最大收益？
（ 2）假如李明想要每个月获
取2000 元的收益，那么销售单价应定为多少元？
（ 3）依据物价部门规定，这类护眼台灯的销售单价不得高于32 元，假如李明想要每个月获取的收益不低于 2000 元，那么他每个月的成本最少需要多少元？
（成本= ×
进价销售量）
四、解答题（本大题共 6 小题，共54.0 分）
19.如图，某小区在宽 20m，长 32m 的矩形地面上修建相同
宽的人行道（图中暗影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为 540m2，求道路的宽．
20.已知：二次函数图象的极点是 P（1， -4），且经过 C（0， -3），与 x 轴交于 A、B两
点，且点 A 在点 B 的左侧．
（1）求这个二次函数的分析式；
（2）求△PBC 的面积．
21.（ 1）点（ 1， 2）绕坐标原点逆时针旋转 90 °获取的点的坐标是 ______
（2）直线 y=2x-2 绕坐标原点逆时针旋转 90°获取的直线分析式是 ______
（3）求直线 y=x+2 对于原点对称的直线的分析式；
22.如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB =90 °）绕着
极点 B 顺时针旋转 60°，使得点 C 旋转到 AB 边上的一
点 D，点 A 旋转到点 E 的地点． F， G 分别是 BD ，
BE 上的点， BF=BG，延伸 CF 与 DG 交于点 H．
（1）求证： CF=DG；
（2）求出∠FHG 的度数．
23.已知：如图， M 为正方形 ABCD 内一点，点 N 在 AB 边
上，且∠DMN =90°， MN =2MD ．点 E 为 MN 中点，点 P
为 BE 中点，连 PM、AM
（1）请作出△PEM 对于点 P 的中心对称图形，不写作
法，保存作图印迹；
（2）尝试究 PM 与 AM 的数目关系，并证明；
（3）若正方形边长为 6，延伸 AP，AM 分别交 BC，DC
于 G， H，则 AG=______ 时，点 H 为 CD 中点．
24.已知抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于 A、 B 两点，交 y 轴交于点 C．
（ 1）如图（ 1），若 A（ -1， 0），且抛物线的对称轴为 x=1 ①
求抛物线的分析式
②直线 y=x+n 过点 A 且交抛物线于另一点 D，在直线 AD 的上方的抛物线上有一点F，过
点 F 作 FG ⊥AD 于 G，作 FH ∥x 轴交直线 AD 于 H ，求△FGH 周长的最大值．
（ 2）如图（ 2），过 A 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 P，若 AB=4 时，求直线 OP 的分析式
答案和分析
1.【答案】 C
【分析】
解：∵x （x-5）=0
∴x 2
-5x=0，
∴方程 x （x-5）=0 化成一般形式后，它的常数 项是 0，应选：C ．
依据题目中的式子，将括号去掉化 为一元二次方程的一般形式，从而能够解
答本题．
本题考察一元二次方程的一般形式，解答本 题的重点是明确题意，能够将方
程化为一般形式．
2.【答案】 A
【分析】
解：∵a=2＞0，
∴二次函数有最小 值为 -6．
应选：A ．
依据二次函数的 极点式分析式写出即可．
本题考察了二次函数的最 值问题，娴熟掌握利用 极点式分析式求最 值的方法
是解题
的重点． 3.【答案】 B
【分析】
解：A 、不是中心对称图形，故本选项错误 ；
B 、是中心对称图形，故本选项正确；
C 、不是中心对称图形，故本选项错误 ；
D 、不是中心对称图形，故本选项错误 ；
应选：B ．
依据中心 对称图形的定义，联合选项所给图形进行判断即可．
本题主要考察了中心对称图形的观点，中心对称图形是要找寻对称中心，旋
转 180 度后与原 图重合．
4.【答案】 C
【分析】
解：∵一元二次方程 x 2
+2 x+m=0 有两个不相等的 实数根，
2
∴△=（2 ）-4m ＞ 0，
解得：m ＜3．
应选：C ．
依据方程的系数 联合根的判 别式 △＞0，即可得出对于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 结论．
本题考察了根的判 别式，切记“当△＞0 时，方程有两个不相等的 实数根 ”是解
题的重点．
5.【答案】 A
【分析】
解：点（-2，3）对于原点的对称点是（2，-3），
点向右平移 2 个单位，得（4，-3）．
应选：A ．
依据对于原点 对称的点的横坐 标互为相反数，纵坐标互为相反数，点向右平
移横坐标加，可得答案．
本题考察了对于原点 对称的点的坐 标，利用对于原点对称的点的横坐 标互为相反数，纵坐标互为相反数得出 对称点是解 题重点，注意点点向右平移横坐标加，纵坐标不变．
6.【答案】 B
【分析】
解：依据旋转的性质可得：∠A ′=∠A ，∠A ′CB ′=∠ACB ，
∵∠A=40 °， ∴∠A ′ =40，° ∵∠B ′ =110，°
∵将△ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50 °后获取△A′ B′，C′
∴∠ACA′ =50，°
∴∠BCA′ =30 ° +50 °，=80 °
应选：B．
第一依据旋转的性质可得：∠A′=∠A ，∠A′CB′=∠ACB ，即可获取∠A′=40°，再有∠B′=110，°利用三角形内角和可得∠A′CB′的度数，从而获取∠ACB 的度数，
再由条件将△ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50°后获取△A′B′可C′得
∠ACA′=50°，即可获取∠BCA′的度数．
本题主要考察了旋转的性质，重点是娴熟掌握旋转前、后的图形全等，从而
可获取一些对应角相等．
7.【答案】C
【分析】
解：设每轮转发中均匀一个人转发给 x 个人，由题意得：
1+x+x 2
=133，
解得：x1=11，x2=-12（不合题意舍去），
答：每轮转发中均匀一个人转发给 11 个人．
应选：C．
第一设每轮转发中均匀一个人转发给 x 个人，依据每人只转发一次可得第一
次转发共有 x+1 人收到了短信，第二次转发有 1+x+x 2
人收到了短信，由题意
可得方程人收到了短信 =133，再解方程即可．
本题主要考察了一元二次方程的应用，重点是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
8.【答案】D
【分析】
解：∵A （3，y1），B（2，y2）在对称轴 x=1 的右边，y 随 x 的增大而增大，∵2＜3，
∴y2＜ y1，
依据二次函数图象的对称性可知，A （3，y1），B（2，y2），C（-2，y3）中，|-2-1|＞
故有 y3＞ y1＞y2；
应选：D．
依据函数分析式的特色为极点式，其对称轴为 x=1，图象张口向上；利用 y 随 x 的增大而增大，可判断 y2＜y1，依据二次函数图象的对称性可判断 y1＜y3；于是 y3＞y1＞y2．
本题考察了函数图象上的点的坐标与函数分析式的关系，同时考察了函数的
对称性及增减性．
9.【答案】A
【分析】
解：∵△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60°后获取△ADE ，
∴△ABC ≌△AED ，∠DAC=60°，
∴AC=AD ，∠C=∠ADE．
∴△ACD 为等边三角形，
∴AD=CD=AC ，∠ADC= ∠DAC= ∠C=60°=∠ADE ．
∵点 D 是 BC 边的中点，
∴BD=CD=AD ，
∴∠B=∠DAB=30°，
∴∠BFD=∠DAB+ ∠ADE=30°+60 °=90 °，
∴DE⊥AB ．
在直角△BDF 中，∠BFD=90°，∠B=30°，
∴DF= BD=AD ．
在直角△ADE 中，∠EAD= ∠BAC= ∠DAB+ ∠DAC=90°，∠E=∠B=30°，∴AD= DE，
∴DF= AD=DE，
∴EF=DE，
∴EF：FD= DE： DE=3．
应选：A．
先由旋转的性质得出 AC=AD ，∠DAC=60°，则△ACD 为等边三角形，再依据
直角 △BDF 与直角 △ADE 中，依据 30°角所 对的直角边等于斜边的一半，得出
DF= BD= AD ，AD= DE ，则 DF= DE ，从而求出 EF ：FD 的值．
本题考察了旋转的性质，等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性 质及三
角形外角的性 质，综合性较强，有必定难度，证明出 ∠BFD=90°是重点的
一步．
10.【答案】 D
【分析】
解：把二次函数 y=-x
2
转变成极点坐标式为 （ 2 ，
-2x+c ）
y=- x+1 +c+1
又知二次函数的张口向下， 对称轴为 x=-1，
故当 x=2 时，二次函数有最小值为 -5，
故 -9+c+1=-5，故 c=3．
应选：D ．
第一把二次函数 y=-x 2
-2x+c 转变成极点坐标式，找到其对称轴，而后依据在
- 3≤ x ≤2内有最小 值，判断 c 的取值 ．
本题主要考察二次函数的性 质的知识点，解答本题的重点是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．
11.【答案】 4
【分析】
解：把x=2 代入方程 x 2
-a=0 得 4-a=0，
解得 a=4．
故答案为 4．
依据一元二次方程解的定 义
，把x=2 代入方程 x 2
-a=0 得
，而后解一次方
4-a=0
程即可．
题 查 -直接开平方法：形如 x 2 2
本 考 认识一元二次方程 =p 或（nx+m ）=p （p ≥0
）的
一元二次方程可采纳直接开平方的方法解一元二次方程．也考
查了一元二次
方程解的定 义．
解：∵x 1，x 2 是一元二次方程 x 2
-3x+k=0 的两根，
∴x 1+x 2=- =3．
故答案是：3．
依据根与系数的关系可获取 x 1+x 2=- ，本题得解．
考察了根与系数的关系．一元二次方程
ax 2
+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系
为：x 1+x 2=- ，x 1?x 2= ． 13.【答案】 y=2（x+2） 2-1
【分析】
解：由“左加右减 ”的原 则可知，二次函数 y=2x 2
的图象向下平移 1 个单位获取
y=2x 2
-1，
由 “上加下减 ”的原则可知，将二次函数 y=2x 2
-1 的图象向左平移 2 个单位可得
2
到函数 y=2（x+2）-1，
2
故答案是：y=2（x+2）-1．
直接依据 “上加下减、左加右减 ”的原则进行解答即可．
本题考察的是二次函数的 图象与几何 变换，熟知“上加下减、左加右减 ”的原
则是解答此 题的重点．
14.【答案】 24
【分析】
解：当y 获得最大 值时，飞机停下来，
2
2
则 y=60t-1.5t =-1.5（t-20）+600，
此时 t=20，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来．
所以 t 的取值范围是 0≤t ≤；20
即当 t=16 时，y=576，
所以 600-576=24（米） 故答案是：24．
因为飞机着陆，不会倒着跑，所以当 y 获得最大 值时，t 也获得最大 值，求得 t
本题考察二次函数的实质运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方
法是解题重点．
15.【答案】14
【分析】
解：将线段 DA 绕点 A 顺时针旋转 60°获取线段 AE，连结 DE，BE．作EM ⊥BD 交 BD 的延伸线于点 M．
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC= ∠DAE=60°，AB-AC ，
DAC= EAB
∴∠∠，
∵AD=AE ，AC=AB ，
∴△DAC ≌△EAB （SAS），
∴DC=BE，
∵AD=AE ，∠EDA=60°，
∴△DAE 是等边三角形，
∴∠ADB= ∠ADE=60°，
∴∠BDE=120°，
∴∠EDM=60°，
EM BM ，
∵ ⊥
∴∠EMB=90°，
∵DE=6，∠DEM=30°，
∴DM= DE=3，EM=DM=3 ，
在 Rt△BEM 中，BE= = =14，
∴CD=BE=14，
故答案为 14．
将线段 DA 绕点 A 顺时针旋转 60°获取线段 AE ，连结 DE，BE．作EM⊥BD 交BD 的延伸线于点 M ．由△DAC ≌△EAB （SAS），推出DC=BE，解直角三角形求出 BE 即可解决问题；
本题考察全等三角形的判断和性 质，勾股定理，等边三角形的判断和性 质等
知识，解题的重点是学会增添常用 协助线，结构全等三角形解决 问题．
16.【答案】 0＜ k ＜56
【分析】
解：函数y=D{x 2
-1，x+1）的图象以下列图：
点 A 坐标由 y=x 2
-1，和 y=x+1 联立求得：A （2，3），
y=kx+
与函数 y=D{x 2
-1，x+1）的图象有且只有 2 个交点的 临界点在 A 点，
将 A 点坐标代入 y=kx+ ，解得：k= ，
即：0＜k ．
画出函数 y=D{x 2 -1 ， ）的图象， 与函数 2 ， ）的图象有且
x+1 y=kx+ y=D{x -1 x+1
只有 2 个交点的 临界点在 A 点，即可求解．
本题主要考察了二次函数的性 质，能依据题意，奇妙地利用性质进行解题是
解本题的重点
17.【答案】 解： ∵a=1， b=1， c=-3 ，
2
∴b -4ac=1+12=13 ＞0， ∴x=- 1± 132，
∴x 1=- 1+132 ， x 2=-1-132 ．
【分析】
依据方程的特色可直接利用求根公式法比
较简易，第一确立 a ，b ，c 的值，然
后
查验
方程能否有解，如有解，代入公式即可求解．
本题考察认识一元二次方程的方法，求根公式法合用于任何一元二次方
程．方程 ax 2
的解 为 x= 2 ≥0 +bx+c=0 （b -4ac ）． 18.【答案】 解：（ 1 ）由题意，得： w= （ x-20 y
） ? ，
2
x=-b2a=35，
答：当销售单价定为35 元时，每个月可获取最大收益．
（2）由题意，得： -10x2 +700x-10000=2000 ，
解这个方程得： x1=30 ，x2=40 ，
答：李明想要每个月获取2000 元的收益，销售单价应定为30 元或 40 元．
（ 3）∵a=-10 ＜0，
∴抛物线张口向下，
∴当 30 ≤x≤ 40时， w≥ 2000，
∵x≤ 32，
∴当 30 ≤x≤ 32时， w≥ 2000，
设成本为P（元），由题意，得：P=20 （ -10x+500） =-200x+10000 ，
∵a=-200＜ 0，
∴P 随 x 的增大而减小，
∴当 x=32 时， P 最小 =3600，
答：想要每个月获取的收益不低于2000 元，每个月的成本最少为3600 元．
【分析】
（1）由题意得，每个月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润
=（订价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，而后解一元二
次方程，从而求出销售单价；（3）依据抛物线的性质和图象，求出每个月的
成本．本题考察二次函数的性质及其应用，还考察抛物线的基天性质，此外
将实质问题转变为求函数最值问题，从而来解决实质问题．
19.【答案】解法一：原图经过平移转变为图1．
设道路宽为X 米，
依据题意，得（20-x）（ 32-x） =540．
2
解得 x1=50 （不合题意，舍去），x2=2．
答：道路宽为 2 米．
解法二：原图经过平移转变为图2．
设道路宽为x 米，
2
依据题意， 20×32-（ 20+32） x+x =540
2
整理得 x -52x+100=0 ．
解得 x1=50 （不合题意，舍去），x2=2．
答：道路宽为 2 米．
【分析】
本题中我们能够依据矩形的性质，先将道路进行平移，而后依据矩形的面积公式列方程求解．
对于面积问题应熟记各样图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可依据图形的性质适合的进行变换化简，而后依据题意列出方程求解．20.【答案】解：（1）设这个二次函数的分析式为y=a（x-1）2-4，
∵该函数过点 C（0， -3），
-3= a 0-1 2
∴（） -4，
解得， a=1，
∴这个二次函数的分析式为y=（ x-1）2-4；
（2）当 y=0 时， 0=（x-1）2-4，得 x1=3， x2=-1 ，
故点 A（ -1， 0），点 B（ 3， 0），
∴AB=3- （-1） =4 ，
∵点 P（1， -4），
∴点 P 到 AB 的距离为4，
∴△PBC 的面积是： 4× 42=8．
【分析】
（1）依据二次函数图象的极点是 P（1，-4），且经过 C（0，-3），能够求得这个二次函数的分析式；
（2）令y=0，能够求得相应
的 x 的
值
，从而能够求得点 A 和点 B，再依据点 P
的坐标，从而能够求得△PBC 的面积．
本题考察抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，解答本题的重点是明确题意，利用二次函数的性质解答．
21.【答案】（-2，1）y=-12 x+1
【分析】
解：（1）如图，由旋转可得，∠AOB=90°，AO=BO ，
过 A 作 AC ⊥x 轴，过 B 作 BD ⊥x 轴，
由△AOC≌△OBD 可得，DO=AC=2 ，BD=OC=1，
∴点 B 的坐标为（-2，1），
故答案为：（-2，1）；
（2）如图，直线 y=2x-2 与坐标轴交于 A （1，0），B（0，-2），绕坐标原点逆时针旋转 90°后分别获取 C（0，1），D（2，0），设 CD 分析式为 y=kx+b ，则
，
解得，
∴直线 CD 分析式为 y=- x+1；
故答案为：y=- x+1；
（3）如图，直线 y=x+2 与坐标轴交于 A （0，2），B（-2，0），对于原点对称的点分别为 C（0，-2），D（2，0），
设 CD 分析式为 y=kx+b ，则
，
解得，
∴直线 CD 分析式为 y=x-2；
（1）过 A 作 AC ⊥x 轴，过 B 作 BD ⊥x 轴，由△AOC ≌△OBD 可得，DO=AC=2 ，BD=OC=1 ，即可获取点 B 的坐标为（-2，1）；
（2）直线 y=2x-2 与坐标轴交于 A （1，0），B（0，-2），绕坐标原点逆时针旋转 90°后分别获取 C（0，1），D（2，0），利用待定系数法即可获取直线 CD 分析式为y=- x+1；
（3）直线 y=x+2 与坐标轴交于 A （0，2），B（-2，0），对于原点对称的点分别为 C （0，-2），D（2，0），利用待定系数法即可获取直线 CD 分析式为 y=x-2．
本题考察了坐标系中点的旋转，直线的旋转问题，需要联合图形，依据点的
旋转规律找直线旋转的分析式．
22.【答案】（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，
BC=BD∠ CBF=∠ DBGBF=BG，
∴△CBF ≌△DBG（ SAS），
∴CF=DG ；
（2）解：∵△CBF≌△DBG，
∴∠BCF=∠BDG ，又
∵∠CFB=∠DFH ，
又∵△BCF 中，∠CBF =180°-∠BCF -
∠CFB ，△DHF 中，∠DHF =180 °-∠BDG
-∠DFH ，∴∠DHF =∠CBF =60 °，
∴∠FHG =180 °-∠DHF =180 °-
60 °=120 °．【分析】
（1）在△CBF 和△DBG 中，利用 SAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）依据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可证得
∠DHF= ∠CBF=60°，从而求解．
本题考察了全等三角形的判断与性质，正确证明三角形全等是关键．
23.【答案】2
【分析】
解：（1）如图 1 中，△PBH 即为所求；
（2）结论：AM=PM．
原因：作出△PEM 对于点 P 的中心对称图形△PBH，连结 AH ，PA．
∵PB=PE，∠BPH=∠EPM，PH=PM ，
∴△BPH≌△EPM（SAS），
∴BH=EM ，∠BHP=∠EMP，
∴BH ∥MN ，
∴∠ABH= ∠BNM ，
∵∠DAN+ ∠DMN=180°，
∴∠ANM+ ∠ADM=180°，
∵∠ANM+ ∠BNM=180°，
∴∠ADM= ∠BNM= ∠ABH ，
∵MN=2DM ，EM=EN ，
∴DM=EM=BH ，∵AB=AD ，
∴△ABH ≌△ADM （SAS），
∴AH=AM ，∠BAH= ∠DAM ，
∴∠MAH= ∠DAB=90°，
∴△AMH 是等腰直角三角形，
∵PM=PH，
∴AP⊥HM ，PA=PM ，
∴△APM 是等腰直角三角形，
∴AM=PM．
（3）如图 3 中，延伸 AP 交 BC 于 G ，延伸 AM 交 CD 于 H ，连结 GH ，DN ，将
△ABG 绕点 A 顺时针性质 90 °获取 △ADK ．
由（2）可知∠PAM=45° ，
∴∠BAG+ ∠DAH= ∠DAH+ ∠DAK=45°， ∴∠HAG= ∠HAK=45°， ∵AH=AH ，AG=AK ，
∴△AHG ≌△AHK （SAS ）， ∴GH=HK ，
∵∠NAD+ ∠DMN=180°，
∴A ，N ，M ，D 四点共圆，
∴∠DNM= ∠DAH ，
∴tan ∠DNM=tan ∠DAH=
= ，
∴
= ，
∵CD=AD ， ∴CD=2DH ，
∴CH=HD=3 ，设 DG=x 则 GH=3+x ，CG=6-x ，
在 Rt △CGH 中，∵GH 2=CG 2+CH 2
，
∴（3+x 2
2 2
）=（6-x ）+3 ， 解得 x=2， ∴AG=2．
故答案为 2．
（1）依据要求画出
图
形即可；
结论
：AM=
PM ．作出△PEM 对于点 P 的中心 对 称 图 连
（2） 形△PBH ， 接 AH ，
PA ．原因全等三角形的性 质，证明△AMH 是等腰直角三角形即可解决 问题；
（3）如图 3 中，延伸 AP 交 BC 于 G ，延伸 AM 交 CD 于 H ，连结 GH ，DN ，将
△ABG 绕点 A 顺时针性质 90 °获取 △ADK ．由△AHG ≌△AHK （SAS ），推出
GH=HK ，由∠NAD+ ∠DMN=180° ，推出A ，N ，M ，D 四点共圆，推出
∠DNM= ∠DAH ，推出 tan ∠DNM=tan ∠DAH= = ，推出
为
= ，因
CD=AD ，推出 CD=2DH ，推出 CH=HD=3 ，设 DG=x 则 GH=3+x ，CG=6-x ，在
Rt △CGH 中，依据 GH 2=CG 2+CH 2
，建立方程即可解决 问题；
本题属于四边形综合题，考察了正方形的性 质，全等三角形的判断和性 质，
等腰直角三角形的判断和性
质，锐角三角函数，勾股定理，四点共 圆等知识，
解题的重点是学会增添常用 协助线，结构全等三角形解决 问题，属于中考压
轴题．
【答案】 解：（ 1） ① 由 A （ -1， 0）和抛物线的对称轴为
x=1 知 B （ 3， 0），
24.
把 A 、B 坐标代入抛物线方程，
2
解得： y=-x +2x+3， 则点 C （ 0， 3），
② 把点 A 坐标代入直线 y=x+n ，解得： n=1 ， 直线方程为 y=x+1，即直线的倾斜角为 45°，
∵FH ∥x 轴， FG ⊥AD ，则 △FGH 为等腰直角三角形， FGH l= （2+1 ） FH
，
△周长
设： H （ m ， m+1 ），则 F （ 1-3-m ，m+1），
则 l=（ 2+1 ） FH =（ 2+1 ）（ m-1+3-m ），
设 t 2 =3-m ，则 m=3- t 2， 则： l=（ 2+1 ）（ -t 2+t+2），
当 t=12 时， l 有最大值为： 9(2+1)4 ；
（ 2）设 A （ x 1， 0）、 B （ x 2，
0），则由题意得： x 2-x 1=4 ① ，
依据韦达定理 x 1?x 2=-c ，即： x 1=-cx2 ② ，
把点 B （ x 2， 0）、 C （ 0，c ）代入一次函数表达式，解得：直线 BC 的方程为： y=-cx2 x+c ， 则点 P （ x 1， -cx2 x 1+c ），
设： a=x 1=- cx2， b=- cx2 x 1 +c=c
=
，
（ x2-x1x2 ） 4cx2 即 P （a ， b ），则： b=-4 a ， ∴OP 的直线方程为： y=-4 x ． 【分析】
（1）① 由 A （-1，0）和抛物线的对称轴为 x=1 知 B （3，0），把A 、B 坐标代入抛物
线方程，即可求解；
② 把点 A 坐标代入直线 y=x+n ，解得方程为 y=x+1，△FGH 为等腰直角三角形，
△FGH 周长 l=（ ）FH=（ ）（m-1+
）求函数最大值即可； 设
，0）、B （x
则
x
），而
，
（2）
A （x
2 ，0）， 点 P （x ，-
1+c x 1+c=c
1 1
x 1=-
- （
）= ，即可求解．
本题联合三角形的性 质考察二次函数的 综合应用，函数和几何图形的综合题
目，要利用三角形的性 质和二次函数的性 质把数与形有机的 联合在一同，利
用图形间的“和差 “关系求解．。