利息理论——第一章1.1

利息的基本概念
在给出利息的几种基本度量方式前，先引入几 个基本概念。 本金（Principal）：我们把每项业务开始时投资 的初始金额称为本金，常用P表示。 积累值（Accumulated Value）：把业务开始一 定时间后回收的资金总额称为该时刻的积累值 （或终值）。 显然，积累值与本金的差额就是这一时期的利息 金额。
积累函数

这里，我们假定，一旦给定了本金金额，则 在任何时刻的积累值均可确定，并假定在投 资期间不再加入或抽回本金。也就是说，该 投资在数额上的任何变化全部是由于利息的 影响而造成的。当然，以后将放松这一假设 而允许在投资旗舰加入或抽回本金。

很显然，在上述假设下，决定积累值的两个 最主要的因素就是本金金额和从投资日算起 的时间长度。理论上，时间长度可以用许多 不同的单位来度量。例如，日、周、月、季、 半年、一年等。用来度量时间的单位称为 “度量期”或“期”（可以等同于我们之前 讲过的计息期），最长用的期是年。以后各 章除非另外声明，均可认为一个度量期为一 年。
n
A(n 1)
A(n 1)

显然，(1.1.3)和(1.1.4a)式中的i记为i 更合适。
1

例3 某人到银行存入1 000元，第一年末他存折上的余额为 1 050元，第二年末他存折上的余额为1 100元，问：第一年、 第二年的实际利率分别是多少？ 解： 显然，A(0)=1 000，A(1)=1 050，A(2)=1 100 因此，I1=A(1) － A(0)=50(元) I2=A(2) － A(1)=50(元) I1 50 i1 5% A(0) 1000 I2 50 i2 4.762% A(1) 1050 故，第一年的实际利率为5%，第二年的实际利率为4.762%。

例6 在单利率7.8%条件下，1 000元累积到1 630元需要多少年？ 解： 依题意设所需年数为t，据A(t)=p(1+it) 有 1 000×(1+0.078t)=1 630 t≈8.077(年)
复利

前面我们学习了单利，其特点是利息不进行 再投资以赚取额外的利息。例如，现有100 元的投资， 以单利10%投资2年，则每年年 末可获得10元利息。但在实际上，在第一年 年末时，投资者已经获得10元的利息；这时 第二年的计息应该是以110元为初始金额， 则第二年年末的利息应为11元，而不是10元。

例如，某项投资以单利方式赚取利息，年利 率9%，初始投资额为100元(中间无存款发 生)，则第一年年末，可获得100×0.09=9元 的利息，即I =9, A(1)=100×(1+0.09)=109元。 第二年年末，又可获得利息100×0.09=9元, 则I =9， A(2)=109+9=118元……
投资期（Term）：运用本金的特定时期成 为投资期，用字母n表示。 计息期（Period）：两个计息期日之间的时 期称为计息期。 利率（Rate of Interest）：单位时间、单位 本金所获得的利息，有年利率、季利率、月 利率、日利率之分，常用百分数表示。一般 情况下，如无特别说明，均指年利率，用字 母i表示。
在某种意义上，利息事实上也可看作是租金 的一种形式，即借方向贷方支付的由于资金 转让而在一段时间内不能使用该笔资金所引 起的损失。上述两例均可这样理解。 尽管资金和利息均不必为货币。然而，在几 乎所有的实际应用中，资金和利息都是用货 币来表示的，本书的例题也不例外。

§1.1

利息度量
一般说来，任何一项普通的金融业务都可看 作是投资一定数量的资金以产生一定量的利 息。因此，利息的多少是衡量该项业务“好” “坏”的一个重要指标。这样，利息的度量 就显得尤为重要了。

例1 甲向乙借款1 000元，两人商定从2006年 12月31日归还，且归还时，甲一次性向乙支 付利息100元。
在该项借贷往来中，可将乙借钱给甲看成是一项投 资，其初始投资为1 000元，即本金为1 000元 （ P=1 000元）；投资期从2006年1月1日至2006年12月 31日，为期1年（ n=1年）；乙的该项投资在1年后除 了收回本金外，还额外可得100元，即利息（ I=100元）。 因为两人商定利息是在1年结束时才一次性支付，即1年 才计算一次利息，所以计息期为1年。且其单位本金获得 的利息为0.1元（ 100/1 000=0.1），所以年利率为10% （ i=10%）。在2006年12月31日时，该项投资的积累值 为1 100元。
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§1.1.2

单利和复利
前面讨论的实际利率i是针对某一个度量期而 言的，若投资期为多个或非整数个度量期， 如何来进行利息的度量呢？

实务中有两种最重要的度量方式：单利和复 利。

单利

定义：假定一个单位的投资在每个单位时间所 赚取的利息是相等的，而利息并不用于再投资。 按这种形式增长的利息，我们称为单利 （Simple Interest）。 考虑投资一单位本金，若其在t时刻的积累值为： a(t)=1+i· t (1.1.5) 那么，我们就说该笔投资以每期单利i计息，并 将这样产生的利息称为单利。
显然，这种计息方式应该对于投资者更加有 利。这就是我们要介绍的第二种利息度量方 式。简单地说，就是 定义：利息被再投资以赚取额外的利息，按 这样的方式增长的利息就称为复利 （Compound Interest）。


同样，考虑投资一单位本金，若其在t时刻的 积累值为： a(t ) (1 i)t (1.1.6) 那么，我们就说该笔投资以每期复利i计息， 并将这一产生的利息称为复利。



理论上，资金和利息不必均为货币。 例如，甲今日将100石麦子借给乙使用， 一年后，乙归还105石麦子，多出的5石麦子即 为利息。 另外， 资金和利息也不必具有相同的形式。 如，农夫A可以将收割机借给农夫B使用， 以帮助他收割小麦，回收一定百分比的收割到 的小麦。 在这里，收割机为资金，而收割到的 一定百分比的小麦则为利息。
所谓利息（Interest），指的是在一定时期内， 资金拥有人将使用资金的自由权转让给借款 人后所得到的报酬。 在我们的生活中，利息随处可见。例如，我 们向银行存10 000元的1年定期存款，假定银 行年利率为2.25%，1年后可获得 10 000+10 000×0.0225=10 225元 而这多出的225元即是利息。
显然在单贴现下随着时间的增加实际贴现率也是增加的即恒定的单贴现意味着递增的实际贴必须注意的是1112式1113式1114式和1117式针对的均为实际利率和实际贴现率对于单利和单贴现均不成立除非投资的时间长度恰好为一个度量期
第一章
利息的基本概念
统计学专业专业限选课程
长春工业大学
第一章

利息的基本概念

贴现
贴现是一个与积累完全相反的过程。 积累是指已知0时刻的初始投资本金，求 其在t时刻的积累值的过程。而贴现恰恰与积 累相反，是指已知t时刻的积累值，求0时刻的 初始投资本金的过程。

例2 某项投资，若已知t时刻的积累值为1， 求开始时投资的本金。 解：设开始投资的本金为k， ∵ A(t)= 1=ka(t) 1 ∴ k a 1 (t )
实际利率计算

对于单个度量期情形，从积累函数来看： a(1)=a(0)+i=1+i (1.1.3)
i 1 i 1 a(1) a(0) I1 a(1) a(0) A(1) A(0) a(0) A(0) A(0)
(1.1.4a)

对于有多个度量期的情形可以分别定义各个 度量期的实际利率。这时，用i 表示从投资 日算起第n个度量期的实际利率，则： In A(n) A(n 1) n≥1为整数(1.1.4b) in
即 a (t ) 是在t期末支付1的现值，反过来, a(t)为1单位本金在t期末的积累值。而在t期 末支付k的现值则相应地为 ka 1 (t ) 。
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严格地说，“积累值”只与过去的付款有关， “现值”只与将来的付款有关，而对于既可 以与过去的付款有关，又可以与将来的付款 有关的值，我们称之为“当前值”，有时这 几个词之间可以互换。

a(t )

由此可知，当初始的投资金额为 a (t ) 时， 1 则在t期末的积累值为1，即 a (t ) 表示为了 使在 t期末的积累值为1，而在开始时投资的 本金金额，也就是t期末支付1的现值，我们 a1 (1) 称之为折现函数。特别地，当t=1时， 又称为折现因子，并记为v；相应的，积累 1 函数a(t)的倒数 a (t ) 也可称为t期折现因子。
显然，积累函数a(t)与总量函数A(t)之间具有 如下关系： A(t)= ka(t) (1.1.1) 当k=1时， A(t)= a(t) 当t=0时， A(t)= k 由于总量函数 A(t)与积累函数a(t)仅相差一 个倍数k，于是A(t)几乎具有与a(t)完全类似 的性质。在许多情况下，积累函数与总量函 数可以互相替换使用。
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这里我们引入一个新的概念：现值。我们把 为了在t期末得到某个积累值，而在开始时 投资的本金金额称为该积累值的现值（或折 现值，Present Value）。

我们将 k a (t ) 代入(1.1.1)式，可以得到
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1 A(t ) ka(t ) a(t ) 1 a(t )

③通常， a(t)为连续函数，但有时a(t)也可能 是间断的。例如，利息只有到付息日才产生， 这样a(t)就是间断的。 ④ a(t)是表示单位本金在t期末的积累值，因 此又可以称作t期积累因子。

在实际中，某项投资通常不止一个单位，而 是k个单位的本金。考虑一般情况，我们定 义总量函数A(t)，它表示初始投资额为k个单 位的本金的投资在时刻t≥0时的积累值。
利息

我们将从投资日起第n个时期所得到的利息 金额记为I n ，则 I n A(n) A(n 1) 对整数n≥1 (1.1.2)

注：这里注意 I n 表示的是一个时间区间上 所得利息的量，而A(n)则是在一特定时刻的 积累量。
§1.1.1

实际利率



定义：某一度量期的实际利率（Effective Rate of Interest） 是指该度量期内得到的利息金额 与此度量期开始时投资的本金金额之比。通常， 实际利率用字母i表示。 实际利率i是利息的第一种度量方式，由定义可 以看出，实际利率是一个不带单位的数，实务 中常用百分数来表示； 它与给定的时期有关； 它其实是单位本金在给定的时期上产生的利息 金额。


例5 如果年单利为8%，初始投资额为2 000元，求： （1）3个月后的总利息金额； （2）4年后的总利息金额； （3）4年后的本利和。 解： (1) I=pit=2 000×8%×(3/12)=40(元) (2) I=pit=2 000×8%×4=640(元) (3)A(4)=2 000×(1+it) =2 000×(1+8%×4)=2 640(元)

定义（积累函数）如果考虑投资一单位的本 金，我们定义该投资在时刻t（t ≥0）的积累 值为积累函数，用a(t)表示。
积累函数性质： ①当t=0时，即投资初始时刻，则a(0)=1。 ②一般地，某项投资的积累值会随着时间的增加而 增加，则a(t)通常为单调递增函数。但也有特殊 情况，积累值随着时间t的增加而减少，这就意 味着利息为负，而这在实务中很少见。然而，也 确实可能出现此种情况，一笔亏本的生意就意味 着产生了负的利息。若函数值为常数，则意味着 利息为零，这种现象偶尔也会发生。
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考虑用更一般的情形表示，假定初始投资金额为 p元，且以年单利i计息，则：
从以上过程可知，在第t期时，这一个时期所获得的 利息为 It =pi 而到第t期末，投资总共所获得利息为pit。 第t期末的积累值为 A(t)=p(1+it) 值得注意的是，i和t的单位必须一致，若利率i取年 利率，时期t必须以年计；若利率i取月利率，则时 期t必须以月计。如无特别说明，利率均指年利率。

例4 某人投资1 000元于证券上，该证券年 实际利率为10%，问：一年后，此人将得到 的金额为多少？其中利息为多少？ 解： A(1)=A(0)(1+i)=1 000(1+0.1)=1 100(元) I =A(1) －A(0)=100(元) 故，一年后，此人将得到1100元，其中100 元为利息。