天津市静海县第一中学高二上学期期末终结性检测数学(理)试题

静海一中2017-2018第一学期高二理科数学
期末终结性检测试卷
考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（134分）和第Ⅱ卷提高题（16 分）两部分，共150分，考试时间为120分钟。

2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。

第Ⅰ卷 基础题（共134分）
一、选择题: （每小题5分，共40分）
1.设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α⊂⊥m m l ,，则α⊥l B ．若m l l //,α⊥，则α⊥m C ．若αα⊂m l ,
//，则m l // D ．若αα//,//m l ，则m l //
2.已知方程11
22
2=+-+m y m x 表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．)1,(--∞
B ．),2(∞+-
C ．)23,
(--∞),1(∞+-⋃ D ．)1,2
3
()23,2(--⋃-- 3.设a 为实数，直线1:1=+y ax l ，a ay x l 2:2=+，则“21//l l ” 是“1-=a ”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，21==AA AB ，
090=∠ABC ，点F E ,分别是棱1BB AB 和的中点，当二面角B AA C --11为 45时，直线EF 和1BC 所成的角为（ ）
A.
45 B.
60 C.
90 D.
120
5.已知P 是抛物线x y 42
=上一动点，则点P 到直线032:=+-y x l 和y 轴的距离之和的最小值是( )
A. 3
B. 5 C ．2 D. 15-
6．已知21F F ，为双曲线14
52
2=-y x 的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则2AF AP +的最小值为( )
A.37＋4
B.37－4
C.37－2 5
D.37＋2 5
7．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(122
22>>=-n m n y m x 有相同的焦点
)0,()0,(21c F c F ，-，若am c =2且22222c m n +=，则椭圆的离心率是( )
A.
41 B. 2
1
C. 33
D. 22
8．已知F 为抛物线x y =2
的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， 2=∙OB OA
(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B .
172
8
C ．3 D.10 二、填空题：（每小题5分，共30分）
910．若某几何体的三视图如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是 . 11. 有下列四个命题：
①命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ②“若1=xy ，则y x ,
互为倒数”的逆命题；
③命题“若B B A =⋂，则B A ⊆”的逆否命题； ④命题“若,1>m 则022
=+-m x x 有实根”的逆否命题.
其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号） 12. 已知直线l 过点)0,4(-且与圆25)2()1(2
2
=-++y x 交于B A ,两点，如果8=AB ，
那么直线l 13. 方程
242+-=-k kx x 有两个不等实根，则实数k 的取值范围
14．设21F F ，分别为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，为双曲线的左顶点，
以21F F ，为直径的圆交双曲线某条渐近线于N M ，两点，且满足0
120=∠MAN ，则该双
三、解答题（本大题共6题，共80分）
15. （12分）已知R m ∈命题p ：对任意]1,0[∈x ，不等式m m x 3222
-≥-恒成立；命题
q ：存在]1,1[-∈x ，使得ax m ≤成立．
(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；
(2)当1=a ，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围． 16. （12分）如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点N M ， (点M 在点N 的左侧)，且3=MN .
(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：
42
2=+y x 相交于B A ,两点，连接BN AN ,，求证：BN AN k k +定值．
17．（13分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，ABCD PA 面⊥，M 是棱PD 的中点，且2===PA AC AB ，
22=BC ．
（I ）求证：PAC CD 面⊥； （Ⅱ）求二面角C AB M --的大小；
（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 成角的正弦值为
510，求NB
AN
的值． 18. （14分）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的一个顶点与抛物线y x 342
=的焦点重
合，21F F ，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率2
1
=e ，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于N M ，两点．
(1)求椭圆C 的方程； (2)若2-=∙ON OM ，求直线l 的方程；
(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，AB MN //，求证：|
|||2
MN AB 为
定值．
19. （13分）已知△ABC 为等腰直角三角形，4==AC AB ，
090=∠ACB ，E D ，分别是边AC 和AB 的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，使平面DEBC ADE 平面⊥，F H ，分别是边AD 和BE 的中点，平面BCH 与AE ，AF 分别交
于I ，G 两点．
(1)求证：BC IH //；
(2)求二面角C GI A --的余弦值； (3)求AG 的长．
第Ⅱ卷 提高题（共16分）
20. （16分）设椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为
21F F ，，上顶点为，过点与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，
且2212QF F F =，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰好与直线
033:=--y x l 相切．过定点）
，20(M 的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若实数λ满足MH
MG λ=，求λ的取值范围．
静海一中2017-2018第一学期高二理科数学
期末终结性检测试卷答题纸
第Ⅰ卷基础题（共134分）
二、填空题（每题5分，共30分）
9.______ _ 10._____ _ 11._______ 12. _ _____ _
13. 14.
三、解答题（本大题共6题，共80分）
15.（12分）
16.（12分）
（1）
（2）
17.（13分）
18．（14分）
19．（13分）(1)
(2)
(3)
20. （16分）
高二数学理答案
选择题: （每小题5分，共40分） 1.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ B ） A ．若， ，则 B ．若，，则 C ．若
，
，则
D ．若
，
，则
2.已知方程11
22
2=+-+m y m x 表示椭圆，则实数m 的取值范围是（D ）
A ．（﹣∞，﹣1）
B ．（﹣2，+∞）
C ．（﹣∞，﹣）∪（﹣1，+∞）
D ．（﹣2，﹣）∪（﹣，﹣1） 3.设为实数，直线：
，
，则“
”是“
”的（A ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，21==AA AB ，
090=∠ABC ，点分别是棱1BB AB 和的中点，当二面角B AA C --11为
时，直线
和1BC 所成的角为（ B ）
A.
B.
C.
D.
5.已知P 是抛物线x y 42
=上一动点，则点到直线032:=+-y x l 和y 轴的距离之和的最
小值是( D )
A. 3
B. 5 C ．2 D.
15-
6．已知21F F ，为双曲线14
52
2=-y x 的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则2AF AP +的最小值为(C )
A.37＋4
B.37－4
C.37－2 5
D.37＋2 5
7 ．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(122
22>>=-n m n
y m x 有相同的焦点
)0,()0,(21c F c F ，-，若am c =2且22222c m n +=，则椭圆的离心率是( B)
A.
41 B. 2
1
C. 33
D. 22
8．已知F 为抛物线x y =2
的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是(C )
A ．2
B .172
8 C ．3 D.10
二、填空题：（每小题6分，共30分）
910．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视
图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是
11. 有下列四个命题：①命题“面积相等的三角形全等”的否命题命题；②“若，则，互为倒数”的逆命题；③命题“若
，则
”的逆否命题；④命题“若
，则
有
实根”的逆否命题.其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号） ① ②
12. 已知直线l 过点(－4,0)且与圆25)2()1(2
2
=-++y x 交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，
那么直线l 02012504=++=+y x 或
13. 方程242+-=-k kx x 有两个不等实根，则实数k 14．设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，为双曲线的左顶点，
以21F F ，为直径的圆交双曲线某条渐近线于N M ，两点，且满足0
120=∠MAN ，则该双曲
．
三、解答题（本大题共4题，共50分）
15.已知R m ∈命题p ：对任意]1,0[∈x ，不等式m m x 3222
-≥-恒成立；命题q ：存在
]1,1[-∈x ，使得ax m ≤成立．
(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；
(2)当1=a ，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围． 解 (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2
－3m 恒成立， ∴(2x －2)min ≥m 2
－3m .即m 2
－3m ≤－2. 解得1≤m ≤2.
因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]． (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤x ，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，
∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．
当p 真q 假时，则⎩⎪⎨
⎪⎧
1≤m ≤2，
m >1，解得1<m ≤2；
当p 假q 真时，⎩
⎪⎨
⎪⎧
m <1或m >2，
m ≤1，即m <1.
综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．
16.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两
点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.
(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：42
2
=+y x 相交于
A ，
B 两点，连接AN ，BN ，求证：BN AN k k +定值．
解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，
则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2
＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x －522
＋(y －2)2
＝254
.
(2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN ＝0. 当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2
＋y 2
－4＝0，并
整理得，(t 2＋1)y 2
＋2ty －3＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 2＝－
2t
t 2
＋1
，y 1y 2
＝－3
t 2
＋1，
则k AN ＋k BN ＝
y 1x 1－4
＋
y 2x 2－4
＝
y 1ty 1－3＋y 2
ty 2－3＝
2ty 1y 2－
y 1＋y 2ty 1－ty 2－
＝
－6t t 2＋1＋
6t
t 2＋1ty 1－ty 2－
＝0.
综上可知，k AN ＋k BN 为定值．
17．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，ABCD PA 面⊥，M 是棱PD 的中点，且2===PA AC AB ，22=BC ． （I ）求证：PAC CD 面⊥； （Ⅱ）求二面角C AB M --的大小；
（Ⅲ）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为510
，求NB
AN
的值．
证明：(I)连结AC ．因为为在
中，
，
， 所以
，所以
．
因为AB //CD ，所以
． 又因为
地面ABCD ，所以
．因为
，
所以平面PAC ．
(II)如图建立空间直角坐标系，则
．
因为M 是棱PD 的中点，所以
．
所以，． 设为平面
MAB 的法向量，
所以，即，令，则，
所以平面MAB 的法向量．因为
平面ABCD ，
所以
是平面ABC 的一个法向量．
所以．因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为．
(III)因为N 是棱AB 上一点，所以设，．
设直线CN 与平面MAB 所成角为， 因为平面MAB 的法向量
，
所以．
解得，即，，所以．
18. 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2
＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是
椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝1
2
，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若OM →·ON →
＝－2，求直线l 的方程；
(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |
2
|MN |
为定值．
(1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3
＝
1.
(2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
3＝1，
y ＝k x －，
得(3＋4k 2
)x 2
－8k 2
x ＋4k 2
－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2
－12
3＋4k
2，
OM →·ON →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]
＝4k 2
－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 2
－123＋4k 2－8k 2
3＋4k 2＋1 ＝－5k 2
－12
3＋4k
2＝－2，解得k ＝±2，
故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， 由(2)可得|MN |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝＋k
2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]
＝＋k
2
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2
3＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2
－123＋4k 2 ＝
k 2＋3＋4k
2
，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2
3＝1，y ＝kx
消去y 并整理得x 2
＝
12
3＋4k
2， |AB |＝1＋k 2
|x 3－x 4|＝4
＋k 2
3＋4k
2
，
∴|AB |2
|MN |
＝＋k 2
3＋4k 2
k 2＋
3＋4k
2
＝4，为定值．
19. 已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是边AC 和AB 的中点，现将△ADE 沿DE 折起，使平面ADE ⊥平面DEBC ，H ，F 分别是边AD 和BE 的中点，平面BCH 与AE ，AF 分别交于I ，G 两点．
(1)求证：IH ∥BC ；
(2)求二面角A －GI －C 的余弦值； (3)求AG 的长．
(1)证明：因为D ，E 分别是边AC 和AB 的中点，所以ED ∥BC .
因为BC ⊂平面BCH ，ED ⊄平面BCH ，所以ED ∥平面BCH .
因为ED ⊄平面BCH ，ED ⊂平面AED ，平面BCH ∩平面AED ＝HI ，所以ED ∥HI . 又因为ED ∥BC ，所以IH ∥BC .
(2)如图，建立空间直角坐标系，由题意得，D (0,0,0)，E (2，0,0)，A (0,0,2)，F (3,1,0)，C (0,2,0)，H (0,0,1)，B (4,2,0)，EA →
＝(－2,0,2)，EF →
＝(1,1,0)，CH →
＝(0，－2，1)，HI →
＝1
2DE
→
＝(1,0,0)．
设平面AGI 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ EA →·n 1＝0，EF →·n 1
＝0，
⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x 1＋z 1＝0，
x 1＋y 1＝0，
令z 1＝1，解得x 1＝1，y 1＝－1，则n 1＝(1，－1,1)． 设平面CIG 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
CH →
·n 2＝0，HI →·n 2
＝0，
⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2y 2＋z 2＝0，
x 2＝0，
令z 2＝2，解得y 2＝1，则n 2＝(0,1,2)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝
－1＋23×5
＝
1515，所以二面角A －GI －C 的余弦值为15
15
. (3)由(2)知，AF →
＝(3,1，－2)， 设AG →
＝λAF →＝(3λ，λ，－2λ)，0<λ<1， 则GH →＝AH →－AG →
＝(0,0，－1)－(3λ，λ，－2λ)＝(－3λ，－λ，2λ－1)，由GH →
·n 2＝0，
解得λ＝2
3
，
故AG ＝23AF ＝23 32
＋1＋－
2
＝
214
3
.
第Ⅱ卷 提高题（共15分）
20. 设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与
垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：
相切．过定点的直线与椭圆
交于，两点（点在点，之间）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若实数满足，求的取值范
围．
解析】（Ⅰ）因为，所以为的中点.设的坐标为，
因为，所以，，
且过三点的圆的圆心为，半径为. 因为该圆与直线相切，所以
.
解得，所以，.
故所求椭圆方程为. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
（Ⅱ）①当直线斜率存在时，
设直线方程为，代入椭圆方程
得.
由，得. 设，，
则，. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分
又，所以. 所以.
所以，.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分
所以. 所以.
整理得. 因为，所以，即. 所以
.
解得且.
又，所以. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分
②又当直线斜率不存在时，直线的方程为，
此时，，，，
，所以.
所以，即所求的取值范围是.┈┈┈┈┈┈┈┈12分。