新教材人教B版必修第二册 5.1.2 数据的数字特征 课件(44张)

对点训练
数学（必修·第二册 RJB）
3．(1)有一笔统计资料，共有 11 个数据如下(不完全以大小排列)：
2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为 6，则这组数据的方差为
(A)
A．6
B． 6
C．66
D．6.5
(2)若样本数据 x1，x2，…，x10 的标准差为 8，则数据 2x1－1,2x2－1，…，
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第五章 统计与概率
数学（必修·第二册 RJB）
题型 三 典例剖析
极差、方差、标准差的计算
典例 3 已知一组数据：2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6． (1)求极差； (2)求方差； (3)求标准差．
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第五章 统计与概率
数学（必修·第二册 RJB）
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第五章 统计与概率
数学（必修·第二册 RJB）
关键能力·攻重难
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第五章 统计与概率
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题定
典例 1 某公司员工的月工资情况如表所示：
月工资/元 8 000 5 000 4 000 2 000 1 000 800
数、百分位数、众数、极差、方差 数据分析和数学运算素养．
和标准差的意义和作用．
2．通过极差、方差和标准差的求解
2．会计算数据的这些数字特征， 及应用，提高学生的数据分析、逻
并能解决有关实际问题．
辑推理和数学运算素养．
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第五章 统计与概率
数学（必修·第二册 RJB）
必备知识·探新知
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第五章 统计与概率
差的算术平方根称为标准差． (2)如果 x1，x2，…，xn 的方差为 s2，且 a，b 为常数，则 ax1＋b，ax2
＋b，……，axn＋b 的方差是 a2s2．
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第五章 统计与概率
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思考2：(1)方差和标准差的取值范围是什么？方差、标准差为0的含 义是什么？
(2)方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的？ 提示：(1)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)． 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度． (2)标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小， 数据的离散程度越小．
(2)用众数，因为最大值为 8 000 元且只有一个，无法代表该公司员工 的月工资，平均数受到最大值的影响，也无法代表该公司员工的月工资， 每月拿 1 000 元的员工最多，众数代表该公司员工的月工资最合理．
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第五章 统计与概率
数学（必修·第二册 RJB）
规律方法：1.把数据从小到大排列，根据定义即可确定最值和众数． 2．平均数的求法 (1)用定义式； (2)用平均数的性质； (3)在容量为 n 的一组数据中，若数据 x1 有 n1 个，x2 有 n2 个，…，xk 有 nk 个，且 n＝n1＋n2＋…＋nk，则这组数据的平均数为1n(n1x1＋n2x2＋… ＋nkxk)＝nn1x1＋nn2x2＋…＋nnkxk．
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第五章 统计与概率
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2．求百分位数的一般步骤 (1)排序：按照从小到大排列：x1，x2，…，xn． (2)计算：求i＝np%的值． (3)求值：
分数 i 不是整数
i 是整数
p%分位数
xi0，其中 i0 为大于 i 的最小整数 xi＋xi＋1 2
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第五章 统计与概率
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第五章 统计与概率
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规律方法：求方差的基本方法
(1)先求平均值，再代入公式 s2＝1ni＝n1 (xi－－x )2，或 s2＝1ni＝n1x2i － x 2．
(2)用性质． (3)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表，再计算 s2．
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第五章 统计与概率
(2)两组数据都是 12 个数，而且 12×25%＝3,12×75%＝9,12×90%＝ 10.8，
因此，甲运动员得分的 25%分位数为x3＋2 x4＝20＋2 25＝22.5， 甲运动员得分的 75%分位数为x9＋2 x10＝37＋2 39＝38，
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第五章 统计与概率
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知识点 六
极差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．
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知识点 七
方差与标准差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．
(1)如果 x1，x2，…，xn 的平均数为－x ，则方差 s2＝1ni＝n1 (xi－－x )2，方
员工/人
1
2
5
8
20 12
(1)分别计算该公司员工月工资的最值、平均数、和众数；
(2)你认为用哪个数来代表该公司员工的月工资更合理？
700 2
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第五章 统计与概率
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[解析] (1)该公司员工月工资的最大值为 8 000 元，最小值为 700 元， 众数为 1 000 元．平均数为510(8 000×1＋5 000×2＋4 000×5＋2 000×8 ＋1 000×20＋800×12＋700×2)＝1 700(元)．
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知识点 四
百分位数
1．定义：一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一 个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于 该值．
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第五章 统计与概率
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2．计算方法： 设一组数按照从小到大排列后为 x1，x2，…，xn，计算 i＝np%的值， 如果 i 不是整数，设 i0 为大于 i 的最小整数，取 xi0 为 p%分位数；如果 i 是整数，取xi＋2xi＋1为 p%分位数．规定：0 分位数是 x1(即最小值)，100% 分位数是 xn(即最大值)．
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知识点 一
最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组 数最极端的情况．
一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．
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第五章 统计与概率
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知识点 二
平均数
1．定义：如果给定的一组数是 x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为 －x ＝1n(x1＋x2＋…＋xn)．
乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51． 求甲、乙两名运动员得分的25%分位数，75%分位数和90%分位数．
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第五章 统计与概率
数学（必修·第二册 RJB）
[解析] (1)已知数据从小到大排列为：4,5,6,6,7,8,8,9,10,11，共 10 个 数，所以中位数是7＋2 8＝7.5．
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题型 二 典例剖析
中位数、百分位数的计算
典例 2 (1)已知一组数据8,6,4,7,11,6,8,9,10,5，则该组数据的中位 数是___7_.5___；
(2)甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如 下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49．
这一公式在数学中常简记为－x ＝1ni＝n1xi．
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第五章 统计与概率
2．求和符号∑具有的性质
n
n
n
(1) (xi＋yi)＝xi＋yi．
i＝1
i＝1
i＝1
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n
n
(2) (kxi)＝kxi．
i＝1
i＝1
n
(3) t＝nt．
i＝1
3．如果 x1，x2，…，xn 的平均数为－x ，且 a，b 为常数，则 ax1＋b，
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第五章 统计与概率
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思考2：中位数和百分位数的关系是什么？ 提示：中位数是50%分位数．
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第五章 统计与概率
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知识点 五
众数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数 最多的数据称为这组数据的众数．
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第五章 统计与概率
第五章 统计与概率
5.1 统计
5.1.2 数据的数字特征
素养目标·定方向 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
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素养目标·定方向
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第五章 统计与概率
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课程标准
学法解读
1.理解数据的最值、平均数、中位 1.通过本节课的学习，提高学生的
2x10－1 的标准差为
(C)
A．8
B．15
C．16
D．32
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第五章 统计与概率
数学（必修·第二册 RJB）
[解析] (1)因为－x ＝111(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝111(61 ＋x)＝6，所以 x＝5．
方差为 s2＝42＋22＋22＋12＋12＋1012＋12＋22＋32＋52＋12＝6116＝6． (2)样本数据 x1，x2，…，x10 的标准差 s＝8，则而样本数据 2x1－1,2x2 －1，…，2x10－1 的标准差 s′＝2×8＝16．
甲运动员得分的 90%分位数为 x11＝44． 乙运动员得分的 25%分位数为x3＋2 x4＝14＋2 16＝15， 乙运动员得分的 75%分位数为x9＋2 x10＝31＋2 38＝34.5， 乙运动员得分的 90%分位数为 x11＝39．
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第五章 统计与概率
数学（必修·第二册 RJB）
规律方法：1.求中位数的一般步骤 (1)把数据按大小顺序排列． (2)找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数．若中间位置有两 个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数．
[解析] 甲班平均数为510(50×1＋60×6＋70×12＋80×11＋90×15 ＋100×5)＝79.6(分)，
乙班平均数为510(50×3＋60×5＋70×15＋80×3＋90×13＋100×11) ＝80.2(分)，
从平均分看成绩较好的是乙班； 甲班众数为 90 分，乙班众数为 70 分，从众数看成绩较好的是甲班．
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第五章 统计与概率
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题型 四 典例剖析
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第五章 统计与概率
对点训练
数学（必修·第二册 RJB）
1．某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：
分数
50 60 70 80 90 100
甲班 人数
1
6 12 11 15
5
乙班 3 5 15 3 13 11
选用平均数与众数评估这两个班的成绩．
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第五章 统计与概率
数学（必修·第二册 RJB）
ax2＋b，…，axn＋b 的平均数是 a－x ＋B．
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第五章 统计与概率
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思考 1：(1)x5＋x6＋…＋x15 如何用符号∑表示？
n
n
(2)如何证明 (kxi)＝kxi?
i＝1
i＝1
15
提示：(1)x5＋x6＋…＋x15＝ xi．
i＝5
n
n
(2) (kxi)＝kx1＋kx2＋…＋kxn＝k(x1＋x2＋…＋xn)＝kxi．
i＝1
i＝1
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第五章 统计与概率
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知识点 三
中位数
1．如果一组数有奇数个数，并按照从小到大排列后为 x1，x2，…，x2n ＋1，则称 xn＋1 为这组数的中位数．
2．如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为 x1，x2，…，x2n， 则称xn＋2xn＋1为这组数的中位数．
对点训练
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2 ． 确 定 数 据 0,0,0,0,1,1,2,3,4,5,6,6,7,7,10,14,14,14,14,15 的 28% 分 位 数 和75%分位数．
[解析] 因为数据已从小到大排列，共有 20 个． 而且 i1＝20×28%＝5.6，不为整数， i2＝20×75%＝15 是整数， 因此，此数据的 28%分位数为 x6＝1,75%分位数为x15＋2 x16＝10＋2 14＝ 12．
[解析] (1)最大值为 6，最小值为 2，极差为 4．
(2)可将数据整理为
x
2
3
4
5
6
频数
3
4
5
6
2
每一个数都减去 4 可得
x－4
－2
－1
01
2
频数
3
4
5
6
2
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第五章 统计与概率
数学（必修·第二册 RJB）
这组数的平均数与方差分别为 210×[(－2)×3＋(－1)×4＋0×5＋1×6＋2×2]＝0， 210×[(－2)2×3＋(－1)2×4＋02×5＋12×6＋22×2]＝32． 因此，所求平均值为 4，方差为32． (3)由(2)知标准差为 26．