2018年秋高中数学 课时分层作业5 同角三角函数的基本关系 新人教A版必修4

课时分层作业(五) 同角三角函数的基本关系
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．已知α是第三象限角，且sin α＝－1
3
，则3cos α＋4tan α＝( )
【导学号：84352046】
A ．－ 2 B. 2 C ．－ 3
D. 3
A [因为α是第三象限角，且sin α＝－1
3，
所以cos α＝－1－sin 2
α＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－132
＝－223，
所以tan α＝sin αcos α＝122＝2
4
，
所以3cos α＋4tan α＝－22＋2＝－ 2.] 2．化简sin 2
α＋cos 4
α＋sin 2
αcos 2
α的结果是( ) A ．1
4 B ．12 C ．1
D ．32
C [原式＝sin 2
α＋cos 2
α(cos 2
α＋sin 2
α) ＝sin 2
α＋cos 2
α＝1.] 3．已知sin α＝55
，则sin 4α－cos 4
α的值为( ) A ．－15
B ．－35
C ．15
D ．35
B [sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2
α－1＝－35.]
4．⎝
⎛⎭
⎪⎫tan x ＋
1tan x cos 2
x 等于( ) 【导学号：84352047】
A ．tan x
B ．sin x
C ．cos x
D ．1
tan x
D [原式＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫sin x cos x ＋cos x sin x ·cos 2x
＝sin 2
x ＋cos 2
x sin x cos x ·cos 2x ＝
1sin x cos x ·cos 2
x ＝cos x sin x ＝1tan x
.]
5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛
⎭⎪⎫0<θ≤π4，则sin θ－cos θ＝( )
A ．
2
3
B ．－
23
C ．13
D ．－13
B [由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，得2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2
＝1
－2sin θcos θ＝29，由0<θ≤π4，知sin θ－cos θ≤0，所以sin θ－cos θ＝－2
3
.]
二、填空题 6．化简
1
1＋tan 2
20°
的结果是________． cos 20° [11＋tan 2
20°
＝
1
1＋sin 2
20°cos 2
20°＝1
cos 220°＋sin 2
20°
cos 2
20°
＝
1
1cos 2
20°
＝|cos 20°|＝cos 20°.] 7．已知cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.
2 [由⎩⎨⎧
cos α＋2sin α＝－5，sin 2
α＋cos 2α＝1，
得(5sin α＋2)2
＝0，
∴sin α＝－255，cos α＝－5
5
，∴tan α＝2.]
8．已知tan α＝2，则4sin 2
α－3sin αcos α－5cos 2
α＝________.
【导学号：84352048】
1 [4sin 2
α－3sin αcos α－5cos 2
α ＝4sin 2
α－3sin αcos α－5cos 2
α
sin 2α＋cos 2
α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2
α＋1 ＝
4×4－3×2－54＋1＝5
5
＝1.]
三、解答题 9．化简下列各式： (1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α； (2)⎝
⎛⎭
⎪
⎫1sin α＋1tan α(1－cos α).
【导学号：84352049】
[解] (1)原式＝sin α
－sin α－sin α＋sin α
＋sin α－sin α
＝－2sin 2
α1－sin 2α＝－2sin 2
αcos 2
α
＝－2tan 2α. (2)原式＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1sin α＋cos α
sin α
(1－cos α) ＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝sin 2
αsin α＝sin α.
10．若3π
2
<α<2π，求证：
1－cos α
1＋cos α
＋
1＋cos α1－cos α＝－2
sin α
.
[证明] ∵3π
2<α<2π，∴sin α<0.
左边＝
－cos α
2
＋cos α－cos α
＋
＋cos α
2
－cos α＋cos α
＝ －cos α
2
sin 2α
＋ ＋cos α
2
sin 2α
＝
|1－cos α||sin α|＋|1＋cos α|
|sin α|
＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α
＝－2sin α＝右边．
∴原等式成立．
[冲A 挑战练]
1．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3
D.π2
C [由题意知cos A ＞0，即A 为锐角．
将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2
A ＝3cos A ， ∴2cos 2
A ＋3cos A －2＝0，
解得cos A ＝1
2或cos A ＝－2(舍去)．
∴A ＝π3
.]
2．1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 2
10°
的值为( ) 【导学号：84352050】
A ．1
B ．－1
C ．sin 10°
D ．cos 10°
B [1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 2
10° ＝
－
2
sin 10°－cos 2
10°
＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°
＝
cos 10°－sin 10°
sin 10°－cos 10°
＝－1.]
3．已知sin θ＝
m －3m ＋5，cos θ＝4－2m
m ＋5
，则m 的值为________． 0或8 [因为sin 2
θ＋cos 2
θ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－2m m ＋52＝1.
整理得m 2
－8m ＝0，解得m ＝0或8.]
4．已知sin θ，cos θ是方程2x 2
－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－
1tan θ＋cos θ1－tan θ＝________.
± 2 [sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－
sin θcos θ＝sin 2
θsin θ－cos θ＋cos 2
θ
cos θ－sin θ＝
sin 2
θ－cos 2
θsin θ－cos θ
＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x 2
－mx ＋1＝0的两根，所以由根与系
数的关系得sin θcos θ＝12
，则(sin θ＋cos θ)2
＝1＋2sin θcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝± 2.]
5．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 2
2x ＝1－
＋2x
1＋
＋2x
. 【导学号：84352051】
[证明] 法一：右边＝1－tan 2x
1＋tan 2x ＝1－
sin 2x cos 2x 1＋
sin 2x
cos 2x
＝
cos 2x －sin 2x
cos 2x ＋sin 2x
最新中小学教案、试题、试卷
＝
x －sin 2x 2
x
＋sin 2x x －sin 2x
＝cos 2
2x ＋sin 2
2x －2cos 2x sin 2x
cos 22x －sin 2
2x ＝
1－2sin 2x cos 2x
cos 22x －sin 2
2x
＝左边． 所以原等式成立．
法二：左边＝sin 2
2x ＋cos 2
2x －2sin 2x cos 2x
cos 22x －sin 2
2x ＝x －sin 2x 2
x
－sin 2x x ＋sin 2x
＝
cos 2x －sin 2x
cos 2x ＋sin 2x
.
右边＝1－tan 2x
1＋tan 2x ＝1－
sin 2x cos 2x 1＋
sin 2x
cos 2x
＝
cos 2x －sin 2x
cos 2x ＋sin 2x
.
所以原等式成立．。