反比例函数与几何综合(习题及答案)
反比例函数综合习题及答案
反比例函数综合习题及答案反比例函数测试题姓名___________班级__________学号__________分数___________1．下列函数，①y ＝2x ，②y ＝x ，③y ＝x －1，④y ＝11x 是反比例函数的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．反比例函数y ＝2x 的图象位于( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限3．已知矩形的面积为10，则它的长y 与宽x 之间的关系用图象表示大致为( )4．已知关于x 的函数y ＝k(x+1)和y ＝－kx (k ≠0)它们在同一坐标系中的大致图象是(• )5．已知点(3，1)是双曲线y ＝kx (k ≠0)上一点，则下列各点中在该图象上的点是( )A ．(13，－9)B ．(3，1)C ．(－1，3)D ．(6，－12)6．某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压P(kPa)是气体体积V(m 3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于140kPa 时，•气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应( )A ．不大于2435m 3B ．不小于2435m 3C ．不大于2437m 3D ．不小于2437m 37．某闭合电路中，电源电压为定值，电流IA ．与电阻R(Ω)成反比例，如右图所表示的是该电路中电流I 与电阻R 之间的函数关系的图象，则用电阻R 表示电流I •的函数解析式为( )．A ．I ＝6RB ．I ＝－6RC ．I ＝3RD ．I ＝2R8．函数y ＝1x 与函数y ＝x 的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 9．若函数y ＝(m+2)|m|－3是反比例函数，则m 的值是( )． A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．×210．已知点A(－3，y 1)，B(－2，y 2)，C(3，y 3)都在反比例函数y ＝4x 的图象上，则( )．A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 311．一个反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过点P(－2，－1)，则该反比例函数的解析式是________．12．已知关于x 的一次函数y ＝kx+1和反比例函数y ＝6x 的图象都经过点(2，m)，则一次函数的解析式是________．13．一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x •与完成任务所需的时间y 之间的函数关系式为________．14．正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x 的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD •⊥x 轴于D ，如图所示，则四边形ABCD 的为_______．15．如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_________．16．反比例函数y ＝21039nn x --的图象每一象限内，y 随x 的增大而增大，则n ＝_______．17．已知一次函数y ＝3x+m 与反比例函数y ＝3m x -的图象有两个交点，当m ＝_____时，有一个交点的纵坐标为6．18．若一次函数y＝x+b与反比例函数y＝kx图象，在第二象限内有两个交点，•则k______0，b_______0，(用“＞”、“＜”、“＝”填空)19．两个反比例函数y＝3x，y＝6x在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3……P2005，在反比例函数y＝6x的图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…x2005，纵坐标分别是1，3，•5•……，•共2005年连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2005分别作y轴的平行线与y＝3x的图象交点依次是Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，Q3(x3，y3)，…，Q2005(x2005，y2005)，则y2005＝________．20．当＞0时，两个函数值y，一个随x增大而增大，另一个随x的增大而减小的是( •)．A．y＝3x与y＝1x B．y＝－3x与y＝1xC．y＝－2x+6与y＝1x D．y＝3x－15与y＝－1x21．在y＝1x的图象中，阴影部分面积为1的有（）22．如图，已知一次函数y ＝kx+b(k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B •两点，且与反比例函数y ＝mx (m ≠0)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，•若OA ＝OB ＝OD ＝1．(1)求点A 、B 、D 的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的解析式．23．如图，已知点A(4，m)，B(－1，n)在反比例函数y ＝8x 的图象上，直线AB •分别与x 轴，y 轴相交于C 、D 两点，(1)求直线AB 的解析式．(2)C 、D 两点坐标．(3)S △AOC ：S △BOD 是多少？24．已知y＝y1－y2，y1成正比例，y与x成反比例，且当x＝1时，y＝－14，x＝4时，y＝3．求(1)y与x之间的函数关系式．(2)自变量x的取值范围．(3)当x＝14时，y的值．25．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝mx的图象交于A、B两点．(1)利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．26．如图，双曲线y＝5x在第一象限的一支上有一点C(1，5)，•过点C•的直线y＝kx+b(k＞0)与x轴交于点A(a，0)．(1)求点A的横坐标a与k的函数关系式(不写自变量取值范围)．(2)当该直线与双曲线在第一象限的另一个交点D的横坐标是9时，求△COA•的面积．反比例函数测试题（一）答案1．B．；2．D．；3．A．；4．A．；5．B．；6．B．；7．A．；8．B．；9．A．；10．D．；11．y＝2 x；12．y＝x+1；13．y＝20 x；14．2；15．y＝－8 x；16．n＝－3；17．m＝5；18．＜，＞；19．2004．5；20．A．；B．；；21．A．；C．；D．；22．解：(1)∵OA＝OB＝OD＝1，∴点A、B、D的坐标分别为A(－1，0)，B(0，1)，D(1，0)． (2)∵点AB在一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象上，∴1k bb-+=⎧⎨=⎩解得11kb=⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为y＝x+1，∵点C在一次函数y＝x+1的图象上，•且CD⊥x轴，∴C点的坐标为(1，2)，又∵点C在反比例函数y＝mx(m≠0)的图象上，∴m＝2，•∴反比例函数的解析式为y＝2 x．；23．(1)y＝2x－6；(2)C(3，0)，D(0，－6)；(3)S△AOC：S△BOD＝1：1．；24．(1)y＝－216x提示：设y＝k22kx，再代入求k1，k2的值．(2)自变量x取值范围是x＞0．(3)当x＝14时，y＝162＝255．；25．解：(1)由图中条件可知，双曲线经过点A(2，1)第11页（共11页） ∴1＝2m ，∴m ＝2，∴反比例函数的解析式为y ＝2x ．又点B 也在双曲线上，∴n ＝21-＝－2，∴点B 的坐标为(－1，－2)． ∵直线y ＝kx+b 经过点A 、B ．∴122k b k b =+⎧⎨-=-+⎩ 解得11k b =⎧⎨=-⎩ ∴一次函数的解析式为y ＝x －1．(2)根据图象可知，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方时，•一次函数的值大于反比例函数的值，即x ＞2或－1＜x ＜0．；26．解：(1)∵点C(1，5)在直线y ＝－kx+b 上，∴5＝－k+b ，又∵点A(a ，0)也在直线y ＝－kx+b 上，∴－ak+b ＝0，∴b ＝ak将b ＝ak 代入5＝－k+a 中得5＝－k+ak ，∴a ＝5k +1．(2)由于D 点是反比例函数的图象与直线的交点∴599y y k ak ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩ ∵ak ＝5+k ，∴y ＝－8k+5 ③将①代入③得：59＝－8k+5，∴k ＝59，a ＝10．∴A(10，0)，又知(1，5)，∴S △COA ＝12×10×5＝25．；。
2024年中考数学一轮复习-反比例函数K值与几何面积综合(解析版)
反比例函数K 值与几何面积综合（1）反比例函数上任何一点与轴线围城的直角三角形面积都相等|k|/2；2OCF k S S S OBN OAM ===∆∆∆图中 221K K S S PAB OAB +==∆∆图中2k ===∆∆∆S S S CBD OBD PDB 图中（2）图像上任意两点与原点构成的三角形的面积等于直角梯形的面积；【真题演练】 1．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y ＝和y ＝的图象的四个分支上，则实数n 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣C ．D ．3【答案】A【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：∵四边形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC＝S△OBD＝＝，∵点A在第二象限，∴n＝﹣3，故选：A．2．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：解法一：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵矩形OABC的对称中心M，∴延长OM恰好经过点B，M（，），∵点D在AB上，且AD＝AB，∴D（，b），∴BD＝a，∴S△BDM＝BD•h＝×a×（b﹣）＝ab，∵D在反比例函数的图象上，∴ab＝k，∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，∴ab＝16，∴k＝ab＝4，解法二：连接BM，因为点M是矩形的对称中心，∴三角形DMO的面积＝三角形DMB的面积，则三角形DBO的面积为6，∵AD＝1/4AB，∴AD：DB＝1：3，∴三角形ADO的面积：三角形DBO的面积为1：3，即三角形ADO的面积为2，∴K＝4．故选：C．3．（2023•黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（）A．﹣6B．﹣12C．﹣D．﹣9【答案】C【解答】解：设BC与y轴的交点为F，B（b，），则A（﹣b，﹣），b＞0，由题意知，AO＝BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，∵AC＝AB，AE⊥BC，∴BE＝CE，AE∥y轴，∴CF＝3BF＝3b，∴C（﹣3b，），∴D（﹣3b，），∴CD＝，BC＝4b，∴S△BCD＝，∴k＝﹣．故选：C．4．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，∴△NKC∽△ATC，∴＝＝，∵NC＝2AN，∴CK＝2TK，NK＝AT，∴，解得，∴，∴，，∴，∵△APN的面积为3，∴S梯形OANQ﹣S△AOP﹣S△NPQ＝3，∴，∴2ab+bc＝9，将点M（5b，c），代入得：，整理得：2a＝7c，将2a＝7c代入2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，∴，∴，故选：B．5．（2022•日照）如图，矩形OABC与反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（）A．3B．﹣3C．D．【答案】B【解答】解：∵y1、y2的图象均在第一象限，∴k1＞0，k2＞0，∵点M、N均在反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象上，∴S△OAM＝S△OCN＝k1，∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象上，∴S矩形OABC＝k2，∴S四边形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，∴k2﹣k1＝3，∴k1﹣k2＝﹣3，故选：B．6．（2022•郴州）如图，在函数y＝（x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y＝﹣（x ＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（）A．3B．5C．6D．10【答案】B【解答】解：∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△AOC＝×2＝1，又∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，∴S△BOC＝×8＝4，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝1+4＝5，故选：B．7．（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B．8．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【答案】D【解答】解：设B（a，），∵四边形OBAD是平行四边形，∴AB∥DO，∴A（，），∴AB＝a﹣，∵平行四边形OBAD的面积是5，∴（a﹣）＝5，解得k＝﹣2，故选：D．9．（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝，则k＝﹣．【答案】﹣．【解答】解：作AE⊥x轴于E，∵矩形OABC的面积是6，∴△AOC的面积是3，∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝，∴，∵对角线AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC，∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，∴，∴，∴S△OEA＝，∵S△OEA＝|k|，k＜0，∴k＝﹣．故答案为：﹣．10．（2023•枣庄）如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝．【答案】．【解答】解：∵P1，P2，P3，...P2024的横坐标依次为1，2，3， (2024)∴阴影矩形的一边长都为1，将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，∴S 1+S2+S3+…+S2023＝，把x＝2024代入关系式得，y＝，即OA＝，∴S矩形OABC＝OA•OC＝，由几何意义得，＝8，∴＝8﹣＝．故答案为：．11．（2023•朝阳）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接P A，PB．若△ABP的面积等于3，则k的值为．【答案】6．【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝3，△AOB的面积＝|k|，∴|k|＝3，∴k＝±6；又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，∴k＞0．∴k＝6．故答案为：6．12．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：设OA＝4a，∵AO＝2AB，∴AB＝2a，∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，∵Q为BE中点，∴BQ＝AB＝a，∴Q（6a，a），∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，∴k＝6a×a＝6a2，∵四边形OACD是正方形，∴C（4a，4a），∵P在CD上，∴P点纵坐标为4a，∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，∴P点横坐标为：x＝，∴P（，4a），∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，∴四边形OMNH是矩形，∴NH＝，MH＝a，∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，则k＝24，故答案为：24．13．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC 的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为．【答案】4．【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面积是6，∴，∴ac＝12，∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k＝ab，∵点B为AC的中点，∴点，∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，即：4k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．故答案为：4．14．（2023•黄石）如图，点A（a，）和B（b，）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为；若△AOB的面积为，则＝．【答案】，2．【解答】解：因为点A（a，）在反比例函数y＝的图象上，则，又a＞0，解得k＝5．根据k的几何意义可知，．过点B作x轴的垂线，垂足为D，则S△OBD+S梯形ACDB＝S△AOC+S△AOB，又根据k的几何意义可知，S△OBD＝S△AOC，则S梯形ACDB＝S△AOB．又△AOB的面积为，且A（a，），B（b，），所以，即．解得．又a＞b＞0，所以．故答案为：，2．15．（2023•辽宁）如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为6．【答案】6．【解答】解：如图，延长CD交y轴于E，连接OD，∵矩形ABCD的面积是8，∴S△ADC＝4，∵AC＝2AO，∴S△ADO＝2，∵AD∥OE，∴△ACD∽△OCE，∴AD：OE＝AC：OC＝2：3，∴S△ODE＝3，由几何意义得，＝3，∵k＞0，∴k＝6，故答案为：6．16．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A （x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是．【答案】2．【解答】解：如图，延长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，∴四边形OECF为矩形，∵x2＝2x1，∴点A为CE的中点，由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，∴点B为CF的中点，∴S△OAB＝S矩形OECF＝6，∴S矩形OECF＝16，∴S△ABC＝×16＝2．故答案为：2．217．（2022•烟台）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3，所以△AOC的面积为6，所以k＝12＝2m．解得：m＝6．故答案为：6．18．（2022•黄石）如图，反比例函数y＝的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝．【答案】8．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，设点A（a，），C（c，0），∵点E是矩形ABCD的对角线的交点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴＝k，∴c＝3a，∵△OCE的面积为6，∴OC•EH＝c•＝×3a•＝6，∴k＝8，故答案为：8．19．（2022•衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝．【答案】．【解答】解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM＝，∵OE∥CM，AE＝CE，∴＝＝1，∴AO＝m，∵DN∥CM，CD＝2BD，∴＝＝＝，∴DN＝，∴D的纵坐标为，∴＝，∴x＝3m，即ON＝3m，∴MN＝2m，∴BN＝m，∴AB＝5m，∵S△ABC＝6，∴5m•＝6，∴k＝．故答案为：．20．（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为．【答案】9．【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•b＝9，故答案为：9．21．（2022•鄂尔多斯）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：作EH⊥y轴于点H，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，∵∠ECF＝45°，∴∠OCD+∠OCF＝45°，∵∠DOC+∠OCF＝45°，∴∠BCE＝∠OCD，∵BC＝OC，∠B＝∠COD，∴△BCE≌△OCD（ASA），∴S△BCE＝S△COD＝5，∴S△CEH＝5，S矩形BCHE＝10，∴根据反比例函数系数k的几何意义得：k1﹣k2＝S矩形BCHE＝10，故答案为：10．22．（2022•东营）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为．【答案】y＝﹣．【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，∴∠ADO＝∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOD+∠DAO＝90°，∴∠BOC＝∠DAO，∵OB＝OA，∴△BOC≌△OAD（AAS），∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△OBC＝，∴S△OAD＝，∴k＝﹣1，∴经过点A的反比例函数解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣．23．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE 位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是．【答案】6．【解答】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，∴四边形HFGO的面积为2（a+），∴k＝4a＝2（a+），解得：a＝，∴k＝6．故答案为：6．24．（2022•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k的值是．【答案】．【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，∴S△COE＝S△BOD＝k，S△ACD＝S△OCD＝1，∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴△OCE与△OAB得到面积比为1：4，∴4S△OCE＝S△OAB，∴4×k＝1+1+k，∴k＝．故答案为：．。
(完整版)反比例函数与几何的综合应用及答案
专训1 反比例函数与几何的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图象用含未知数的式子表示出几何图形与图象的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程(组)，解方程(组)即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值．反比例函数与三角形的综合1．如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝x 6(x>0)的图象交于A(m ，6)，B(3，n)两点．(1)求一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出使kx ＋b<x 6成立的x 的取值范围； (3)求△AOB 的面积．(第1题)2．如图，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，AO＝CD ＝2，AB ＝DA ＝，反比例函数y ＝x k(k ＞0)的图象过CD 的中点E.(1)求证：△AOB ≌△DCA ； (2)求k 的值；(3)△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，其中点F 在y 轴上，试判断点G 是否在反比例函数的图象上，并说明理由．(第2题)反比例函数与四边形的综合 反比例函数与平行四边形的综合3．如图，过反比例函数y ＝x 6(x ＞0)的图象上一点A 作x 轴的平行线，交双曲线y ＝－x 3(x ＜0)于点B ，过B 作BC ∥OA 交双曲线y ＝－x 3(x ＜0)于点D ，交x 轴于点C ，连接AD 交y 轴于点E ，若OC ＝3，求OE 的长．(第3题)反比例函数与矩形的综合4．如图，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y ＝x k(x>0)的图象过对角线的交点P 并且与AB ，(第4题)BC 分别交于D ，E 两点，连接OD ，OE ，DE ，则△ODE 的面积为________． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB ，AC 相交于点D ，且BE ∥AC ，AE ∥OB.(1)求证：四边形AEBD 是菱形；(2)如果OA ＝3，OC ＝2，求出经过点E 的双曲线对应的函数解析式．(第5题)反比例函数与菱形的综合6．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y ＝x 3的图象(第6题)经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积为( ) A ．2 B ．4 C ．2 D ．47．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数y ＝x k(k>0，x>0)的图象上，点D 的坐标为(4，3)．(1)求k 的值；(2)若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，当菱形的顶点D 落在反比例函数y ＝x k(k>0，x>0)的图象上时，求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．(第7题)反比例函数与正方形的综合8．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数y ＝x k(x ＞0，k ≠0)的图象经过线段BC 的中点D(1)求k 的值；(2)若点P(x ，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D 重合)，过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围．(第8题)反比例函数与圆的综合(第9题)9．如图，双曲线y ＝x k(k>0)与⊙O 在第一象限内交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 的坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为________．10．如图，反比例函数y ＝x k(k ＜0)的图象与⊙O 相交．某同学在⊙O 内做随机扎针试验，求针头落在阴影区域内的概率．(第10题)专训2 全章热门考点整合应用名师点金：反比例函数及其图象、性质是历年来中考的热点，既有与本学科知识的综合，也有与其他学科知识的综合，题型既有选择、填空，也有解答类型．其热门考点可概括为：1个概念，2个方法，2个应用及1个技巧．1个概念：反比例函数的概念1．若y ＝(m －1)x |m|－2是反比例函数，则m 的取值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数 2．某学校到县城的路程为5 km ，一同学骑车从学校到县城的平均速度v(km /h )与所用时间t(h )之间的函数解析式是( )A ．v ＝5tB ．v ＝t ＋5C ．v ＝t 5D ．v ＝5t3．判断下面哪些式子表示y 是x 的反比例函数： ①xy ＝－31；②y ＝5－x ；③y ＝5x －2；④y ＝x 2a(a 为常数且a ≠0)． 其中________是反比例函数．(填序号) 2个方法：画反比例函数图象的方法4．已知y 与x 的部分取值如下表： x … －6 －5 －4 －3 －2 －11 2 3 4 5 6…y… 1 1.21.52 3 6 －6－3－2－1.5 －1.2－1…析式；(2)画出这个函数的图象．求反比例函数解析式的方法5．已知反比例函数y ＝x k的图象与一次函数y ＝x ＋b 的图象在第一象限内相交于点A(1，－k ＋4)．试确定这两个函数的解析式．6．如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝x m的图象的两个交点．求：(1)反比例函数和一次函数的解析式；(2)直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；(3)方程kx ＋b －x m＝0的解(请直接写出答案)；(4)不等式kx ＋b －x m<0的解集(请直接写出答案)．(第6题)2个应用反比例函数图象和性质的应用7．画出反比例函数y ＝x 6的图象，并根据图象回答问题： (1)根据图象指出当y ＝－2时x 的值；(2)根据图象指出当－2<x<1且x ≠0时y 的取值范围； (3)根据图象指出当－3<y<2且y ≠0时x 的取值范围．反比例函数的实际应用8．某厂仓库储存了部分原料，按原计划每小时消耗2吨，可用60小时．由于技术革新，实际生产能力有所提高，即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x(单位：吨)，库存的原料可使用的时间为y(单位：小时)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并求出自变量的取值范围．(2)若恰好经过24小时才有新的原料进厂，为了使机器不停止运转，则x 应控制在什么范围内？1个技巧：用k 的几何性质巧求图形的面积9．如图，A ，B 是双曲线y ＝x k(k ≠0)上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C.若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为( )A .34B .38C ．3D ．4(第9题)(第10题)10．如图，过x 轴正半轴上的任意一点P 作y 轴的平行线交反比例函数y ＝x 2和y ＝－x 4的图象于A ，B 两点，C 是y 轴上任意一点，则△ABC 的面积为________．11．如图是函数y ＝x 3与函数y ＝x 6在第一象限内的图象，点P 是y ＝x 6的图象上一动点，PA ⊥x 轴于点A ，交y ＝x 3的图象于点C ，PB ⊥y 轴于点B ，交y ＝x 3的图象于点D.(1)求证：D 是BP 的中点； (2)求四边形ODPC 的面积．(第11题)答案1．解：(1)∵A(m ，6)，B(3，n)两点在反比例函数y ＝x 6(x>0)的图象上， ∴m ＝1，n ＝2，即 A(1，6)，B(3，2)．又∵A(1，6)，B(3，2)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上， ∴2＝3k ＋b ，6＝k ＋b ，解得b ＝8，k ＝－2，即一次函数解析式为y ＝－2x ＋8.(第1题)(2)根据图象可知使kx ＋b<x 6成立的x 的取值范围是0<x<1或x>3.(3)如图，分别过点A ，B 作AE ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别为E ，C ，设直线AB 交x 轴于D 点．令－2x ＋8＝0，得x ＝4，即D(4，0)． ∵A(1，6)，B(3，2)，∴AE ＝6，BC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOD －S △ODB ＝21×4×6－21×4×2＝8.2．(1)证明：∵点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，∴∠AOB ＝∠DCA ＝90°.在Rt △AOB 和Rt △DCA 中，∵AB ＝DA ，AO ＝DC ，∴Rt △AOB ≌Rt △DCA. (2)解：在Rt △ACD 中，∵CD ＝2，DA ＝， ∴AC ＝＝1.∴OC ＝OA ＋AC ＝2＋1＝3. ∴D 点坐标为(3，2)．∵点E 为CD 的中点，∴点E 的坐标为(3，1)．∴k ＝3×1＝3. (3)解：点G 在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称， ∴△BFG ≌△DCA.∴FG ＝CA ＝1，BF ＝DC ＝2，∠BFG ＝∠DCA ＝90°.∵OB ＝AC ＝1，∴OF ＝OB ＋BF ＝1＋2＝3.∴G 点坐标为(1，3)． ∵1×3＝3，∴点G(1，3)在反比例函数的图象上．3．解：∵BC ∥OA ，AB ∥x 轴，∴四边形ABCO 为平行四边形． ∴AB ＝OC ＝3.设Aa 6，则Ba 6，∴(a －3)·a 6＝－3.∴a ＝2. ∴A(2，3)，B(－1，3)．∵OC ＝3，C 在x 轴负半轴上，∴C(－3，0)， 设直线BC 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ， 则－k ＋b ＝3，－3k ＋b ＝0，解得.9∴直线BC 对应的函数解析式为y ＝23x ＋29. 解方程组，3得y1＝3，x1＝－1，.3∴D23.设直线AD 对应的函数解析式为y ＝mx ＋n ， 则，3解得.9∴直线AD 对应的函数解析式为y ＝83x ＋49. ∴E49.∴OE ＝49.4.415点拨：因为C(0，2)，A(4，0)，由矩形的性质可得P(2，1)，把P 点坐标代入反比例函数解析式可得k ＝2，所以反比例函数解析式为y ＝x 2.因为D点的横坐标为4，所以AD ＝42＝21.因为点E 的纵坐标为2，所以2＝CE 2，所以CE ＝1，则BE ＝3.所以S △ODE ＝S 矩形OABC －S △OCE －S △BED －S △OAD ＝8－1－49－1＝415.5．(1)证明：∵BE ∥AC ，AE ∥OB ， ∴四边形AEBD 是平行四边形．∵四边形OABC 是矩形，∴DA ＝21AC ，DB ＝21OB ，AC ＝OB. ∴DA ＝DB.∴四边形AEBD 是菱形． (2)解：如图，连接DE ，交AB 于F ， ∵四边形AEBD 是菱形，∴DF ＝EF ＝21OA ＝23，AF ＝21AB ＝1.∴E ，19.设所求反比例函数解析式为y ＝x k， 把点E ，19的坐标代入得1＝29，解得k ＝29. ∴所求反比例函数解析式为y ＝2x 9.(第5题)(第7题)6．D7．解：(1)如图，过点D 作x 轴的垂线，垂足为F. ∵点D 的坐标为(4，3)，∴OF ＝4，DF ＝3.∴OD ＝5. ∴AD ＝5.∴点A 的坐标为(4，8)．∴k ＝xy ＝4×8＝32.(2)将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，使得点D 落在函数y ＝x 32(x>0)的图象上点D ′处，过点D ′作x 轴的垂线，垂足为F ′.∵DF ＝3，∴D ′F ′＝3.∴点D ′的纵坐标为3.∵点D ′在y ＝x 32的图象上，∴3＝x 32，解得x ＝332，即OF ′＝332.∴FF ′＝332－4＝320.∴菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离为320.8．解：(1)∵正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，∴C(0，2)．∵D 是BC 的中点，∴D(1，2)．∵反比例函数y ＝x k(x ＞0，k ≠0)的图象经过点D ，∴k ＝2.(2)当P 在直线BC 的上方，即0＜x ＜1时，∵点P(x ，y)在该反比例函数的图象上运动，∴y ＝x 2.∴S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·－22＝2－2x ；当P 在直线BC 的下方，即x ＞1时，同理求出S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·x 2＝2x －2，综上，S ＝2－2x （0＜x ＜1）.2x －2（x ＞1），9．410．解：∵反比例函数的图象关于原点对称，圆也关于原点对称，故阴影部分的面积占⊙O 面积的41，则针头落在阴影区域内的概率为41.1．B 2.C 3．①③④4．解：(1)反比例函数：y ＝－x 6.(2)如图所示．(第4题)5．解：∵反比例函数y ＝x k的图象经过点A(1，－k ＋4)，∴－k ＋4＝1k ，即－k ＋4＝k ，∴k ＝2，∴A(1，2)．∵一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A(1，2)，∴2＝1＋b ，∴b ＝1.∴反比例函数的解析式为y ＝x 2，一次函数的解析式为y ＝x ＋1.6．解：(1)将B(2，－4)的坐标代入y ＝x m ，得－4＝2m ，解得m ＝－8.∴反比例函数的解析式为y ＝x －8.∵点A(－4，n)在双曲线y ＝x －8上，∴n ＝2.∴A(－4，2)．把A(－4，2)，B(2，－4)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得2k ＋b ＝－4，－4k ＋b ＝2，解得b ＝－2.k ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝－x －2.(2)令y ＝0，则－x －2＝0，x ＝－2.∴C(－2，0)．∴OC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝21×2×2＋21×2×4＝6.(3)x 1＝－4，x 2＝2.(4)－4<x<0或x>2.7．解：如图，由观察可知：(1)当y ＝－2时，x ＝－3；(2)当－2<x<1且x ≠0时，y<－3或y>6；(3)当－3<y<2且y ≠0时，x<－2或x>3.(第7题)点拨：解决问题时，画出函数图象．由图象观察得知结果．由图象解决相关问题，一定要注意数形结合，学会看图．8．解：(1)库存原料为2×60＝120(吨)，根据题意可知y 关于x 的函数解析式为y ＝x 120.由于生产能力提高，每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量，所以自变量的取值范围是x>2.(2)根据题意，得y ≥24，所以x 120≥24.解不等式，得x ≤5，即每小时消耗的原料量应控制在大于2吨且不大于5吨的范围内．点拨：(1)由“每小时消耗的原料量×可使用的时间＝原料总量”可得y 关于x 的函数解析式．(2)要使机器不停止运转，需y ≥24，解不等式即可．(第9题)9．B 点拨：如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，∵D 为OB 的中点，∴CD 是△OBE 的中位线，则CD ＝21BE.设Ax k ，则B2x k ，CD ＝4x k ，AD ＝x k －4x k .∵△ADO 的面积为1，∴21AD ·OC ＝1，即214x k ·x ＝1.解得k ＝38.10．311．(1)证明：∵点P 在双曲线y ＝x 6上，∴设P 点坐标为，m 6.∵点D 在双曲线y ＝x 3上，BP ∥x 轴，D 在BP 上，∴D 点坐标为，m 3.∴BD ＝m 3，BP ＝m 6，故D 是BP 的中点．(2)解：由题意可知S △BOD ＝23，S △AOC ＝23，S 四边形OBPA ＝6.∴S 四边形ODPC ＝S 四边形OBPA －S △BOD －S △AOC ＝6－23－23＝3.。
2.反比例函数与几何图形结合(6道)
反比例函数与几何图形结合1．如图，已知点A(5，0)，B(0，5)，把一个直角三角尺DEF 放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动，其中∠EFD＝45°，ED＝2，点G为边FD 的中点．(1)求直线AB的解析式；(2)如图，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y＝kx(k≠0)的解析式；(3)在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，请说明理由．解：(1)设直线AB的解析式为y＝ax＋b，把A 、B 的坐标分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋b ＝0b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5； (2)∵A (5，0)， ∴OA ＝5，当D 与A 重合时，则OE ＝OD －DE ＝5－2＝3， ∵∠EFD ＝45°， ∴EF ＝DE ＝2， ∴F (3，2)，D (5，0)， ∵G 为DF 的中点， ∴G (4，1)，∵点G 在y ＝kx 图象上， ∴k ＝4×1＝4，∴经过点G 的反比例函数的解析式为y ＝4x ；(3)设F (t ，－t ＋5)，则D 点横坐标为t ＋2，代入直线AB 的解析式可得y ＝－(t ＋2)＋5＝－t ＋3， ∴D (t ＋2，－t ＋3)， ∵G 为DF 的中点， ∴G (t ＋1，－t ＋4)，若反比例函数图象同时过G 、F 点，则可得t (－t ＋5)＝(t ＋1)(－t ＋4)，解得t ＝2，此时F 点坐标为(2，3)，设经过F 、G 的反比例函数解析式为y ＝sx ，则s ＝2×3＝6， ∴经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F ，其函数解析式为y ＝6x .2. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象相交于点A (－2，1)，点B (1，n )． (1)求此一次函数和反比例函数的解析式；(2)请直接写出满足不等式kx ＋b －mx ＜0的解集；第2题图(3)如图，在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG 的边均平行于坐标轴，若点E (－a ，a )，当曲线y ＝mx (x ＜0)与正方形EFDG 的边有交点时，求a 的取值范围． 解：(1)∵点A (－2，1)在反比例函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝－2×1＝－2，∴反比例函数的解析式为y ＝－2x ；∵点B (1，n )在反比例函数y ＝－2x 的图象上， ∴－2＝n ，即点B 的坐标为(1，－2)．将点A (－2，1)、B (1，－2)分别代入y ＝kx ＋b 中得：212k b k b -=+⎧⎨=-+⎩，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝－1， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1； (2)∵－x －1－(－2x )＜0，∴－x －1＜－2x ，观察两函数图象，发现：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴满足不等式kx ＋b －mx ＜0的解集为－2＜x ＜0或x ＞1； (3)过点O 、E 作直线OE ，如解图所示．第2题解图∵点E 的坐标为(－a ，a )， ∴直线OE 的解析式为y ＝－x .∵四边形EFDG 是边长为1的正方形，且各边均平行于坐标轴，∴点D 的坐标为(－a ＋1，a －1)， 代入直线y ＝－x ，得： a －1＝－(－a ＋1)， ∴点D 在直线OE 上．将y ＝－x 代入y ＝－2x (x ＜0)得： －x ＝－2x ，即x 2＝2， 解得x ＝－2或x ＝2(舍去)．∵曲线y ＝－2x (x ＜0)与正方形EFDG 的边有交点， ∴－a ≤－2≤－a ＋1，解得2≤a ≤2＋1.故当曲线y ＝mx (x ＜0)与正方形EFDG 的边有交点时，a 的取值范围为2≤a ≤2＋1.3. 如图，一次函数y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx (x >0)的图象交于点A (m ，3)和B (3，1)．第3题图(1)填空：一次函数的解析式为________，反比例函数的解析式为________；(2)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围． 解：(1)y ＝－x ＋4，y ＝3x ；【解法提示】将B (3，1)分别代入y ＝－x ＋b 与y ＝kx 中，解得b ＝4，k ＝3，则一次函数的解析式为y ＝－x ＋4，反比例函数的解析式为y ＝3x .(2) 由(1)得3＝3m ，∴m ＝1，则A 点坐标为(1，3)．设P 点坐标为(a ，－a ＋4)(1≤a ≤3)，则S ＝12OD ·PD ＝12a (－a ＋4)＝－12(a －2)2＋2， ∵－12＜0，∴当a ＝2时，S 有最大值，此时S ＝－12×(2－2)2＋2＝2； 由二次函数的性质得，当a ＝1或3时，S 有最小值，此时 S ＝－12×(1－2)2＋2＝32， ∴S 的取值范围是32 ≤ S ≤2.4. 如图，矩形AOCB 的顶点B 在反比例函数y ＝kx (k >0，x >0)的图象上，且AB ＝3，BC ＝8.若动点E 从A 开始沿AB 向B 以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F 从B 开始沿BC 向C 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t 秒． (1)求反比例函数的解析式；第4题图(2)当t ＝1时，在y 轴上是否存在点D ，使△DEF 的周长最小？若存在，请求出△DEF 的周长最小值；若不存在，请说明理由；(3)在双曲线上是否存在一点M ，使以点B 、E 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题可知点B 的坐标为(3，8)，且点B 在y ＝kx 上， ∴k ＝3×8＝24，∴反比例函数的解析式为y ＝24x ；(2)存在．t ＝1时，E (1，8)，F (3，6)，则EF ＝22， 如解图，延长EA 使A ′E ＝EA ，连接DE ′，E ′F ，则E ′F ＝25，C △DEF ＝DE ＋DF ＋EF ＝22＋DE ′＋DF ≥22＋E ′F ＝22＋25，∴C △DEF min ＝22＋25， 此时点D 为E ′F 与y 轴的交点，第4题解图∵E ′(－1，8)，F (3，6)，设直线E ′F 的解析式为：y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝83k ＋b ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝152，∴直线E ′F 的解析式为：y ＝－12x ＋152，∴此时D (0，152)，即：y 轴上存在点D (0，152)，使△DEF 的周长最小，且最小值为22＋2 5.(3)存在，若四边形BEMF 为平行四边形，则有三种可能，已知E (t ，8)，F (3，8－2t )，0<t ≤3. ①BE ∥FM ，此时M 在F 右侧，M (248－2t，8－2t )， 又∵BE ＝FM ，∴3－t ＝248－2t －3，即t 2－10t ＋12＝0，解得t 1＝5－13，t 2＝5＋13(舍去)． ②BF ∥EM ，此时M 在E 正上方，M (t ，24t )， ∵ME ＝BF ，∴24t －8＝2t ，t 2＋4t －12＝0， 解得t 1＝2，t 2＝－6(舍去)．③EF ∥BM ，易知点M 一定不在反比例函数上， 故综上，t ＝2或5－13.5．在平面直角坐标系xOy 中，点B 在x 轴上，四边形OACB 为平行四边形，且∠AOB ＝60°，反比例函数y ＝kx (k ＞0)在第一象限内过点A ，且与BC 交于点F . (1)若OA ＝10，求反比例函数的解析式； (2)若F 为BC 的中点，且S △AOF ＝243，求OA 的第5题图长及点C 的坐标；(3)在(2)的条件下，在x 轴上是否存在一点P ，使得PF ＋P A 最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)如解图①，过点A 作AH ⊥OB 于H ，第5题解图①∵∠AOB ＝60°，OA ＝10，∴AH ＝OA ·sin ∠AOB ＝53，OH ＝OA ·cos ∠AOB ＝5， ∴点A 的坐标为(5，53)， 将点A (5，53)代入y ＝kx ，得 53＝k5，解得k ＝253，∴反比例函数的解析式为y ＝253x ；(2)如解图①，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，设OA ＝a (a ＞0)， ∵∠AOB ＝60°，∴AH ＝OA ·sin ∠AOB ＝32a ，OH ＝OA ·cos ∠AOB ＝12a ， ∴S △AOH ＝12AH ·OH ＝12×32a ·12a ＝38a 2，∵S △AOF ＝243，∴S ▱AOBC ＝2S △AOF ＝483， ∵F 为BC 的中点， ∴S △OBF ＝14S ▱AOBC ＝123，∵BF ＝12BC ＝12OA ＝12a ，∠FBM ＝∠AOB ＝60°， ∴FM ＝BF ·sin ∠FBM ＝34a ，BM ＝BF ·cos ∠FBM ＝14a ， ∴S △BMF ＝12FM ·BM ＝12×34a ·14a ＝332a 2， ∴S △FOM ＝S △OBF ＋S △BMF ＝123＋332a 2， ∵点A ，F 都在y ＝kx 的图象上， ∴S △AOH ＝S △FOM ， 即38a 2＝123＋332a 2， 解得a ＝82，∴OA ＝82，∴OH ＝42，AH ＝3OH ＝3×42＝46，∵S▱AOBC＝OB·AH＝483，即OB·46＝483，解得OB＝62，∴AC＝OB＝62，∴C(102，46)；(3)存在．如解图②，作点F关于x轴的对称点F′，连接AF′交x轴于点P，此时PF＋P A最小，第5题解图②由(2)可知，A(42，46)，FM＝34a＝26，BM＝14a＝22，∴OM＝62＋22＝82，∴点F的坐标为(82，26)，∴点F′的坐标为(82，－26)，设直线AF′的解析式为y＝mx＋n，将点A(42，46)，F′(82，－26)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧42m ＋n ＝4682m ＋n ＝－26， 解得⎩⎨⎧m ＝－332n ＝106， ∴y ＝－332x ＋106，令y ＝0，即－332x ＋106＝0， 解得x ＝2023，∴在x 轴上存在点P ，使得PF ＋P A 最小，点P 的坐标为(2023，0)．6．如图，反比例函数y ＝m x (x ＞0)与一次函数y ＝kx ＋63交于点C (2，43)，一次函数图象与两坐标轴分别交于点A 和点B ，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点O 出发，沿OA 以相同的速度向点A 运动，运动时间为t 秒(0＜t ≤6)，以点P 为圆心，P A 为半径的⊙P与AB交于点M，与OA交于点N，连接MN、MQ.第6题图(1)求m与k的值；(2)当t为何值时，点Q与点N重合；(3)若△MNQ的面积为S，试求S与t的函数关系式．解：(1)将C(2，43)代入y＝mx中得，m＝83，将(2，33)代入y＝kx＋63中得，2k＋63＝43，∴k＝－3；(2)由(1)知，k＝－3，∴直线AB的解析式为y＝－3x＋63，∴A(6，0)，B(0，63)，∴AB＝12.∵AM是直径,∴∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠AOB.又∵∠MAN＝∠BAO，∴△MAN∽△BAO，∴ANAO＝MNBO＝AMAB.∵OQ＝AP＝t，AM＝2AP＝2t，OA＝6，OB＝63，AB＝12∴AN6＝MN63＝2t12,∴AN＝t，MN＝3t,∴ON＝OA－AN＝6－t.∵点Q与点N重合,∴ON＝OQ.即6－t＝t.∴t＝3;(3)①当0＜t ≤3时，QN ＝OA －OQ －AN ＝6－2t, ∴S ＝12QN ·MN ＝12(6－2t )·3t ＝－3t 2＋33t ; ②当3＜t ≤6时，QN ＝OQ ＋NA －OA ＝t ＋t －6＝2t －6, ∴S ＝12QN ·MN ＝12(2t －6)·3t ＝3t 2－33t ，即：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3t 2＋33t （0＜t ≤3）3t 2－33t （3＜t ≤6）.。
反比例函数与几何图像综合
1．如图，□ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是A （－1，0），B （0，－2），顶点C ，D 在双曲线y=kx上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k =_____________．第1题 第2题 第3题 第4题 第5题2．反比例函数y=kx（x ＞0）的图象如图，原点O 与图象上的点之间的距离的最小值为3，则k ＝___________.3．如图，点P 在双曲线y=kx（x ＞0）上，以P 为圆心的⊙P 与两坐标轴都相切，点E 为y 轴上的一点，过点P作PF ⊥PE 交x 轴于点F ，若OF －OE ＝6，则k 的值是____________.4. 如图，直线y 33x ＋b 与y 轴交于点A ，与双曲线y =kx在第一象限交于B 、C 两点，且AB ·AC =4，则k = .5．如图，B 为双曲线y =kx(x ＞0)上一点，直线AB 平行于y 轴交直线y ＝x 于点A ，若OB 2－AB 2＝4，则k＝ ．第6题 第7题 第8题 第9题 第10题轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．BM ∶DM ＝8∶9，当四边形OADM 的面积为274时，k ＝ ．7.如图，直线43y x =与双曲线y =k x （x ＞0）交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线y ＝kx（x＞0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若2AOBC=，则k ＝ _____ ．8．如图，直线y ＝x 向右平移b 个单位后得到直线l ，l 与函数y ＝6x（x ＞0）交于点A ，与x 轴交于点B ，则OA 2－OB 2＝ ．9．如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于M(0，－4)、N （0，－10），函数y ＝kx（x ＜0）的图象过P 点，则k ＝_______.10．如图，直线y =x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 点，与y =kx(x ＜0）的图象交于C 、D 点，且E 是点C 关于点A 的中心对称点，EF ⊥OA 于F ，若△AOD 的面积与△AEF 的面积之和为72时，则k ＝ .第11题 第12题 第13题 第14题 第15题11．如图，正方形ABCD 的边BC在x 轴负半轴上，E(－6，n)是对角线AC 的中点，函数y ＝kx（x ＜0）的图象经过D 、E 两点，则k ＝_________.12．如图，已知双曲线y ＝kx(k ＞0）经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C .若△OBC的面积为3，则k ＝_________.13．如图，已知点A 、B 在双曲线y＝kx(k ＞0)上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，P是AC 的中点，若△ABP 的面积为3，则k ＝_______________.14．如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与双曲线10y x=交于C ，若BC =2AB ，则S △AOB ＝______________.15．如图，y ＝k x (k ＜0)与直线y ＝－x ＋(k ＋1)交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B 点，且S △ABO ＝32，则S △ABC ＝________.16． 过点A （1，2)的直线与双曲线xy 2=在第一象限内交于点P ，直线AO 交双曲线的另一分支于点B ，且点C （2，1）.（1）如图，当点P 与C 重合时，P A 、PB 分别交y 轴于点E 、F .求证：CE =CF ；（2）当点P 异于A 、C 时，探究∠P AC 与∠PBC 的数量关系，请直接写出结论不必证明.17．如图，正方形AOCB 的边长为4，反比例函数的图象过点E （3，4）． （1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC 交于点D ，直线12y x b =-+过点D ，与线段（3）连接OF ，OE ，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系，并证明．。
反比例函数与几何综合
反比例函数与几何综合（一）反比例函数与一次函数、几何图形综合题类型一 反比例函数与一次函数综合 1. 已知反比例函数y ＝kx的图象过点A (3，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2) 若一次函数y ＝ax ＋6(a ≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．2. 如图，直线y ＝2x ＋4与反比例函数y ＝kx 的图象相交于A (－3，a )和B 两点．(1)求k 的值；(2)直线y ＝m (m >0)与直线AB 相交于点M ，与反比例函数y ＝kx的图象相交于点N .若MN ＝4，求m 的值．第2题图3. 如图，已知A (－4，n )，B (2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出方程kx ＋b －mx＝0的解．第3题图4. 如图，已知直线y ＝kx 与双曲线y ＝4x (x >0)相交于点A (2，m )，将直线y ＝kx 向下平移2个单位长度后与y 轴相交于点B ，与双曲线交于点C ，连接AB 、AC .第4题图(1)求直线BC 的函数表达式； (2)求△ABC 的面积．类型二 反比例函数与几何图形综合5. 如图，已知，A (0，4)，B (－3，0)，C (2，0)，D 为B 点关于AC 的对称点，反比例函数y ＝kx 的图象经过D 点．(1)证明四边形ABCD 为菱形； (2)求此反比例函数的解析式；(3)已知在y ＝kx的图象(x >0)上有一点N ，y 轴正半轴上有一点M ，且四边形ABMN 是平行四边形，求M 点的坐标．第5题图6. 如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的斜边OA 在x 轴的正半轴上，∠OBA ＝90°，且tan ∠AOB ＝12，OB ＝25，反比例函数y ＝kx的图象经过点B .(1)求反比例函数的表达式；(2)若△AMB 与△AOB 关于直线AB 对称，一次函数y ＝mx ＋n 的图象过点M 、A ，求一次函数的表达式．第6题图类型三 反比例函数与一次函数、几何图形综合7. 如图，双曲线y ＝kx (x >0)经过△OAB 的顶点A 和OB 的中点C ，AB ∥x 轴，点A 的坐标为(4，6)，连接AC 交x 轴于D ，连接BD . (1)确定k 的值；(2)求直线AC 的解析式；(3)判断四边形OABD 的形状，并说明理由； (4)求△OAC 的面积．第7题图8. 如图，直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象相交于A (1，4)，B 两点，延长AO 交反比例函数图象于点C ，连接OB .(1)求k 和b 的值；(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围；(3)在y 轴上是否存在一点P ，使S △PAC ＝25S △AOB ？若存在，请求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．第8题图。
反比例函数与几何图形的综合
反比例函数与几何图形的小综合题型一反比例函数与三角形结合1．（2020•沙坪坝区校级月考）如图，一次函数y＝x+32分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P为反比例函数y=kx（k≠0，x＜0）图象上一点，过点P作y轴的垂线交直线AB交于C，作PD⊥PC交直线AB于D，若AC•BD＝7，则k的值为（）A．﹣2B．﹣3C．−72D．−92【点睛】设P（m，n）．则AC=√2n，BD=−√2m，构建方程求出mn的值即可．【解析】解：设P（m，n）．则AC=√2n，BD=−√2m，∵AC•BD＝7，∴﹣2mn＝7，∴mn=−72，∴k=−72．故选：C．2．如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为12．【解析】解：∵OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=kx的图象上，∴点C的坐标为（6，2），∴2=k6，解得，k＝12，3．（2020•薛城区期中）在平面直角坐标系xOy 中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C 的坐标为（1，0），顶点A 的坐标为（0，2），顶点B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x 轴正方向平移，当顶点A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C 的对应点C ′的坐标为 （52，0） ．【解析】解：过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∵∠ACO +∠BCD ＝90°，∠OAC +∠ACO ＝90°， ∴∠OAC ＝∠BCD ，在△ACO 与△BCD 中，{∠OAC =∠BCD∠AOC =∠BDC AC =BC ，∴△ACO ≌△BCD （AAS ）∴OC ＝BD ，OA ＝CD ，∵A （0，2），C （1，0）∴OD ＝3，BD ＝1，∴B （3，1），∴设反比例函数的解析式为y =kx，将B （3，1）代入y =k x，∴k ＝3，∴y =3x，∴把y ＝2代入y =3x ，∴x =32，当顶点A 恰好落在该双曲线上时，此时点A 移动了32个单位长度，∴C 也移动了32个单位长度，此时点C 的对应点C ′的坐标为（ 52，0）故答案为（52，0）．4．（2020•盐湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB 的OA 边在x 轴的正半轴上，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过AB 边的中点C ，且与OB 边交于点D ，则点D 的坐标为 （√3，3） ．【解析】解：∵△AOB 是等边三角形，边长为4，∴B （2，2√3），∵BC ＝CA ，∴C （3，√3），把点C 坐标代入y =k x上，得到k ＝3√3，∵直线OB 的解析式为y =√3x ， 由{y =√3xy =3√3x，解得{x =√3y =3或{x =−√3y =−3（舍弃）∴D （√3，3），故答案为（√3，3）． 题型二 反比例函数与四边形结合5．（2020•北海期末）如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴的正半轴上，AB ＝3，BC ＝1，直线y =12x ﹣1经过点C 交x 轴于点E ，双曲线y =kx经过点D ，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：根据矩形的性质知点C 的纵坐标是y ＝1，∵直线y =12x ﹣1经过点C ，∴1=12x ﹣1， 解得，x ＝4，即点C 的坐标是（4，1）．∵矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴正半轴上，AB ＝3，BC ＝1，∴D （1，1），∵双曲线y =kx 经过点D ，∴k ＝xy ＝1×1＝1，即k 的值为1．故选：A ．6．（2020•秀洲区二模）平面直角坐标系中，菱形AOBC 的位置如图所示，点A 在x 轴负半轴上，B （1，√3），反比例函数y =kx 在第二象限的图象经过点C ，则k ＝ −√3 ．【点睛】根据菱形的性质可以求得点C 的坐标，再根据点C 在反比例函数图象上，从而可以求得k 的值．【解析】解：∵点A在x轴负半轴上，B（1，√3），∴OB＝2，点C的纵坐标是√3，∴OA＝2，∵四边形AOBC是菱形，点A在x轴的负半轴，∴点C的坐标为（﹣1，√3），∵反比例函数y=kx在第二象限的图象经过点C，∴√3=k−1，得k=−√3，故答案为：−√3．7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，BE∥AC，AE∥OB，函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点E，若点A、C的坐标分别为（3，0），（0，2），则k的值为92．【解析】解：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵四边形OABC是矩形，C的坐标为（0，2），∴DA=12AC，DB=12OB，AC＝OB，AB＝OC＝2，∴DA＝DB，∴四边形AEBD是菱形；连接DE，交AB于F，如图所示：∵四边形AEBD是菱形，∴AB与DE互相垂直平分，∵OA＝3，OC＝2，∴EF＝DF=12OA=32，AF=12AB＝1，3+32=92，∴点E坐标为：（92，1）．∵函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k=92×1=92，故答案为：92．8．（2020•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是2√26．【解析】解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M （6，k 6），N （k6，6），∴BN ＝6−k 6，BM ＝6−k 6，∵△OMN 的面积为10，∴6×6−12×6×k 6−12×6×k 6−12×（6−k6）2＝10，∴k ＝24，∴M （6，4），N （4，6），作M 关于x 轴的对称点M ′，连接NM ′交x 轴于P ，则NM ′的长＝PM +PN 的最小值，∵AM ＝AM ′＝4，∴BM ′＝10，BN ＝2，∴NM ′=√BM′2+BN 2=√102+22=2√26，故答案为2√26．巩固练习1．（2020•铜山区二模）如图，矩形ABCD 的边BC 在x 轴的负半轴上，顶点D （a ，b ）在反比例函数y =kx的图象上，直线AC 交y 轴点E ，且S △BCE ＝4，则k 的值为（ ）A ．﹣16B ．﹣8C ．﹣4D ．﹣2【解析】解：D （a ，b ），则CO ＝﹣a ，CD ＝AB ＝b ，∵矩形ABCD 的顶点D 在反比例函数y =kx （x ＜0）的图象上，∴k ＝ab ，∵△BCE 的面积是4，∴12×BC ×OE ＝4，即BC ×OE ＝8，∵AB ∥OE ，∴BC OC=AB EO，即BC •EO ＝AB •CO ，∴8＝b ×（﹣a ），即ab ＝﹣8，∴k ＝﹣8故选：B ．2．（2020•九龙坡区校级期末）如图，已知反比例函数y =ax和一次函数y ＝kx +b 的图象相交于点A （﹣1，y 1）、B （4，y 2）两点，则不等式ax ≤kx +b 的解集为（ ）A ．x ≤﹣1或x ≥4B ．﹣1≤x ≤4C ．x ≤4D ．x ≤﹣1或.0＜x ≤4【解析】解：不等式a x≤kx +b 的解集就是反比例函数值小于或等于一次函数值的自变量的取值范围，观察图象可得：第二象限x ≤﹣1，第四象限0＜x ≤4，故选：D ．3．（2020•深圳模拟）如图，点A 是双曲线y =3x上的动点，连结AO 并延长交双曲线于点B ，将线段AB 绕B 顺时针旋转60°得到线段BC ，点C 在双曲线y =kx上的运动，则k ＝ ﹣9 ．【解析】解：∵双曲线y =3x 关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称．∴OA ＝OB ．连接OC ，AC ，如图所示．∵将线段AB 绕B 顺时针旋转60°得到线段BC ，∴△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∠BAC ＝60°，∴tan ∠OAC =OCOA =√3，∴OC =√3OA ．过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F ，∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ，∴∠AEO ＝∠OFC ，∠AOE ＝90°﹣∠FOC ＝∠OCF ，∴△AEO ∽△OFC ．∴AE OF=EO FC=AO OC．∵OC =√3OA ，∴OF =√3AE ，FC =√3EO ．设点A 坐标为（a ，b ），∵点A 在第一象限，∴AE ＝a ，OE ＝b ．∴OF =√3AE =√3a ，FC =√3EO =√3b ．∵点A 在双曲线y =3x上，∴ab ＝3．∴FC •OF =√3b •√3a ＝3ab ＝9，设点C 坐标为（x ，y ），∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝﹣y ．∴FC •OF ＝x •（﹣y ）＝﹣xy ＝9．∴xy ＝﹣9．∵点C 在双曲线y =kx 上，∴k ＝xy ＝﹣9．故答案为：﹣9．4．（2020•普陀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A 、C 在坐标轴上，点B 的坐标是（2，2）．将△ABC 沿x 轴向左平移得到△A 1B 1C 1，点B 1落在函数y =−6x 的图象上．如果此时四边形AA 1C 1C 的面积等于552，那么点C 1的坐标是 （﹣5，112） ．【解析】解：如图，∵点B 的坐标是（2，2），BB 1∥AA 1，∴点B 1的纵坐标为2， 又∵点B 1落在函数y =−6x 的图象上，∴当y ＝2时，x ＝﹣3，∴BB 1＝AA 1＝5＝CC 1，又∵四边形AA 1C 1C 的面积等于552，∴AA 1×OC =552，∴OC =112，∴点C 1的坐标是（﹣5，112）．故答案为：（﹣5，112）．5．（2020•九龙坡区校级期末）如图，菱形OABC 在直角坐标系中，点A 的坐标为（52，0），对角线OB =2√5，反比例函数y =kx （k ≠0，x ＞0）经过点C ．则k 的值为 3 ．【解析】解：∵四边形OABC 是菱形，∴OA ＝AB ＝BC ＝CO ，设点C 的坐标为（a ，b ），∵点A 的坐标为（52，0），对角线OB =2√5，∴点B 的坐标为（a +52，b ），OC =52，∴{a 2+b 2=(52)2(a +52)2+b 2=(2√5)2，解得a =32，b ＝2，∴ab =32×2=3，∵反比例函数y =kx （k ≠0，x ＞0）经过点C ，点C 的坐标为（a ，b ），∴b =ka ，∴k ＝ab ＝3． 故答案为：3．6．以矩形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE ⊥AC ，垂足为E ．若双曲线y =32x（x ＞0）经过点D ，则OB •BE 的值为 3 ．【解析】解：如图，∵双曲线y =32x （x ＞0）经过点D ，∴S △ODF =12k =34， 则S △AOB ＝2S △ODF =32，即12OA •BE =32，∴OA •BE ＝3，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ，∴OB •BE ＝3，故答案为：3．7．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k x（k ＞0）的图象与半径为5的⊙O 交于M 、N 两点，△MON 的面积为3.5，若动点P 在x 轴上，则PM +PN 的最小值是 5√2 ．【解析】解：如图设点M （a ，b ），N （c ，d ），∴ab ＝k ，cd ＝k ，∵点M，N在⊙O上，∴a2+b2＝c2+d2＝25，作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），∴S△OMN=12k+12（b+d）（a﹣c）−12k＝3.5，∴bc﹣ad＝7，∴kca−kac=7，∴ac=k(c2−a2)7，同理：bd=k(b2−d2)7，∴ac﹣bc=k(c2−a2)7−k(b2−d2)7=k7[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，∵M（a，b），N'（c，﹣d），∴MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，∴MN'＝5√2，故答案为：5√2。
反比例函数与几何综合(一)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：思考反比例函数与几何综合的处理思路是什么？问题2：什么是关键点？问题3：将函数特征与几何特征联系起来的桥梁是什么？问题4：围绕关键点以及横平竖直线段长将几何特征与函数特征结合分析时有几种方式？分别是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：思考反比例函数与几何综合的处理思路是什么？答：反比例函数与几何综合的处理思路：①从关键点入手．通过关键点坐标和横平竖直线段长的互相转化可将函数特征和几何特征综合在一起进行研究．②对函数特征和几何特征进行转化、组合，列方程求解．若借助反比例函数模型，能快速将函数特征转化为几何特征．问题2：什么是关键点？答：关键点是几何图形与函数图象的交点，在处理反比例函数与几何综合的问题时从关键点入手分析．问题3：将函数特征与几何特征联系起来的桥梁是什么？答：通过关键点坐标与横平竖直线段长的相互转化，可将函数特征与几何特征综合起来一起进行研究．问题4：围绕关键点以及横平竖直线段长将几何特征与函数特征结合分析时有几种方式？分别是什么？答：可以采用两种方式：①根据函数特征设出坐标，表达线段长，利用几何特征建等式；②根据几何特征设出线段长，表达坐标，代入函数建立等式．反比例函数与几何综合（一）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，直线与双曲线在第一象限内的交点为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点为Q；作RM⊥x轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积之比为4：1，则k的值为( )A. B.C.2D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合2.如图，均是等腰直角三角形，点在反比例函数的图象上，斜边都在x轴上，则点的坐标是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合3.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A(3，0)，B(0，6)分别在x 轴，y轴上，反比例函数（x＞0）的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为( )A.(1，14)B.(2，8)C.(2，7)D.(1，16)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合4.如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数（x<0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为( )A.-6B.-8C.-9D.-12答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合5.如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动．若tan∠CAB=2，则k的值为( )A.2B.4C.6D.8答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合6.如图，直线与双曲线交于点A，将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA=3BC，则k的值为( )A.3B.6C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合7.如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于( )A.60B.80C.30D.40答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合8.直线y=-2x-2与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，过点B作x 轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为( )A.-1B.-2C.-4D.-8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合。
专题2.10反比例函数与几何综合大题(学生版)
专题2.11反比例函数与几何综合大题一、解答题1．（2022·上海奉贤·九年级期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像经过点A、B(−1，0)，反比例函数y=6x的图像也经过点A，且点A横坐标是2．(1)求一次函数的解析式．(2)点C是x轴正半轴上的一点，连接AC，tan∠ACB=34，过点C作CE⊥x轴分别交反比例函数y=6x和一次函数y=kx+b(k≠0)的图像于点D、E，求点D、E的坐标．(3)在（2）的条件下，连接AD，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像上是否存在一点F使得△EAD和△ECF相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形．(1)在y轴正半轴取一点E，使得△EOB是一个等腰直角三角形，EB与OA交于M，已知MB=32，求MO．≠0的图(2)若等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC=3BD．反比例函数y=象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）3．（2022·福建·晋江市季延中学九年级期中）如图点P(m,n)是双曲线y=k x(x<0)上一动点，且m，n为关于a的一元二次方程4a2+ba+320的两根，动直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，过点A与AB垂直的直线交y轴于点E，点F是AE的中点，过B点且与AB垂直的直线交FO的延长线于Q点．(1)求双曲线的解析式；(2)当OP取最小值求b的值．(3)若点O到AB的距离等于OP的最小值，求1EF+1BQ的值．>04．（2022·安徽·淮南市龙湖中学九年级期中）如图，直线y=ax+6经过点A−3,0，交反比例函数y=的图象于点B1,m．(1)求k的值；(2)点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作DC⊥y轴交线段AB于点C，连接AD，求△ACD的面积的最大值．5．（2022·广东·南山实验教育麒麟中学九年级期中）直线y=2x与反比例函数y=2x图象交于A，B两点，CA点右侧任意一点；(1)如图1，求A，B两点坐标；(2)如图2，连接BC，若∠ABC=45°，求点C的坐标；(3)如图3，设直线AC，BC分别与x轴相交于D，E两点，且AC=mCD，BC=nCE，求n−m的值．6．（2022·江苏·景山中学九年级阶段练习）在平面坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q 在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M、N的“最近距离”，记为d M，N．特别地，若图形M、N有公共点，规定值为0．(1)如图1，⊙O的半径为2，①点A0,1，则d A，⊙O=_________．>0的图像为G1，则d G1，⊙O=_________．②记反比例函数y=(2)如图2，点B2，0，⊙B的半径为1，直线l1：y=kx+3，若d l1，⊙B=135，求k的值．(3)如图3，直线l2：y=−x+4与x轴交于点C，与y轴交于点D，边长为2的正方形EFHK的中心为O，将正方形EFHK沿着x m个单位，记正方形EFHK为图形G2，若线段CD与正方形EFHK的“最近距离”满足0≤d CD，G2≤12，请直接写出m的取值范围．7．（2022·重庆第二外国语学校九年级期中）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，S△ABC＝3，且CA⊥x轴．(1)若点C在反比例函数y=k x（k≠0）的图象上，求该反比例函数的解析式；(2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，取OB的中点M，将线段OM沿着y轴上下移动，线段OM的对应线段是O1M1，直接写出四边形CM1O1N周长的最小值．8．（2022·陕西·西北大学附中九年级期中）如图，一次函数y=−x+4的图象与反比例函数y=k x（k为常数，且k≠0）的图象交与A1,a、B两点．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)点P在反比例函数第三象限的图象上，使得△PAB的面积最小，求满足条件的P点坐标及△PAB面积的最小值．9．（2021·广东·佛山市南海外国语学校九年级阶段练习）如图1，平面直角坐标系xOy中，A−4,3，反比例<0的图象分别交矩形ABOC的两边AC、BC于E、F（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC函数y=折叠使A、D重合(1)如图2，连接BC，求证：EF∥BC；(2)当点D落在矩形ABOC内部时，求k的取值范围；(3)如图3，连接CD，求CD的最小值，并直接写出此时点D的坐标．>0图象上10．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级阶段练习）如图，已知点A为函数y=任意一点，连接OA并延长至点B，使AB=OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OC．求四边形OCDA的面积．11．（2022·山东师范大学第二附属中学九年级阶段练习）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，已知顶点B(2,4)，反比例函数y=k x(x>0)的图像与BC,AB分别交于D，E，BD=12．(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；(2)写出DE与AC的位置关系并说明理由；(3)若点F在直线AC上，点G在反比例函数y=k x(x>0)的图像上，是否存在合适的F、G点，使四边形BCFG平行四边形，若存在，请求出点G的坐标．若不存在，请说明理由．12．（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）知识拓展如图1，由DE∥BC，AD=DB，可得AE=EC；如图2，由AB∥CD∥EF，AE=EC，可得BF=FD；解决问题如图3，直线AB与坐标轴分别交于点A m，0，B0,n m＞0,n＞0，反比例函数y=m x x>0的图象与AB交于C，D两点．(1)若m+n=8，n取何值时ΔABO的面积最大？(2)若SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD，求点B的坐标．13．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B 分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y=4x（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F．(1)求直线EF的解析式；(2)求△EOF的面积；(3)若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．14．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）如图，函数y＝k x（x＞0）的图像过点A（n，2）和B（85，2n−3）两点．(1)求n和k的值；(2)将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y＝k x（x＞0）于点C，若S△ACO＝6，求直线DE解析式；(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，直线AC：y＝ax+2分别交y轴和反比例函数y=k x（x＞0）的图象于点C和点A（2，m），点B也在反比例函数的图象上，且BC∥x轴，tan∠ACB＝2．(1)求点A、B的坐标；(2)设点D在x轴的正半轴上，点E在该反比例函数的图象上．①若四边形BDCE是菱形，求出该菱形周长；②若以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．16．（2022·浙江·九年级专题练习）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝1x（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝k x（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．(1)如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．(2)如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝k x（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．17．（2021·河南·商城县第二中学九年级阶段练习）已知反比例函数y=1-m x（m为常数）的图象在第一、三象限．(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．18．OABC，OA在y轴上，OC在x轴上，OA=2，AB=4，双曲线k>0与矩形的边AB、BC分别交于点E、F．(1)若点E是AB的中点，求点F的坐标；(2)将△BEF沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作EG⊥OC于点G．问：△EGD与△DCF是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．19．（2021·辽宁·沈阳市清乐围棋学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y轴对称，边AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD：y1＝kx+b与反比例函数y2＝m x的图象交于点B，点E．(1)求反比例函数及直线BD的关系式；(2)直接写出不等式m x﹣kx﹣b＜0的解集．20．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）如图，ΔAOB的边OB在x轴上，且∠ABO=90°，反比例函数y=k x(x>0)的图像与边AO、AB分别相交于点C、D，连接BC．已知OC=BC，ΔBOC的面积为12．(1)求k的值；(2)若AD=6，求直线OA的函数表达式．21．（2022·浙江省武义县实验中学八年级阶段练习）如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数y=k x 的图象过点A．(1)求k的值．(2)点P为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．(3)点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯(Pappus，约300−350)把∠AOB三等分的操作如下：（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系；（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y=1x(x>0)的图像，图像与∠AOB的边OA交于点C；（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y=1x的图像于点D；（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；（5）作射线OE，交CD于点N，得到∠EOB．(1)判断四边形CEDM的形状，并证明；(2)证明：O、M、E三点共线；(3)证明：∠EOB=13∠AOB．23．（2022·江苏省盐城中学新洋分校八年级阶段练习）【感知】如图1，已知反比例函数y=k x上有两点A(−2,1)，B(1,−2)，AE⊥x轴交x轴于点E，BF⊥y轴交y轴于点F，则S△AEF=______；S△BEF=_______；EF与AB的位置关系：_______．【探究】数学社团的同学们对上述问题又时行了思考，如图2，当A，B是双曲线y=k x(x>0)同一支上任意两点，过A，B分别向y轴，x轴作垂线，交y轴于点E，交x轴于点F，连接AF、BE．①试探究△AEF与△BEF面积的关系并说明理由．②试探究EF与AB之间的位置关系并说明理由．【运用】如图3，已知点A、B在反比例函数y=12x的图像上，且A(3,m)，B是反比例函数y=12x第三象限内图像上的一动点，过点A作AE⊥x轴，过点B作BF⊥y轴，垂足分别分为E，F，若四边形AEFB的面积为20，求点B的坐标．（提示，可直接运用上述所发现的结论，答案见公众号：绿爱生活）【拓展】如图4，函数y=k x(x>0)的图像与过原点O的直线相交于B、D两点，点A是第一象限内图像上的动点（点A在点B的左侧），直线AB分别交于y轴、x轴于点C、E，连接AD分别交y轴、x轴于点M、N．若AC=23AB，则AM AD=______．24．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点C在x轴负半轴上，四边形OABC为菱形，反比例函数y=−12x（x>0）经过点A(a,−3)，反比例函数y=k x(k>0,x＜0)经过点B，且交BC边于点D，连接AD．(1)求直线BC的表达式．(2)求tan∠DAB的值．(3)如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数y=−12x（x>0）于点N．在点P运动过程中，直线AB上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2021·江苏·开明中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴的正半轴上，A(8，0)，B(0，6)，点C从原点O出发，沿边OA向点A运动，速度为每秒1个单位长度，点D从点A出发，沿边AB向点B运动，速度为每秒2个单位长度．设两点同时出发，运动时间为t秒（0< t<5）(1)当t=时，DC∥BO；(2)当△ADC的面积为9时，求t的值；(3)在（2）的条件下；①作射线BC，若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②过点C作直线l1⊥x轴，过点B作直线l2⊥y轴，直线l1与直线l2交于点P，反比例函数y=k x（k>0，x>0）的图像与直线l1、l2分别交于点E、F，连接EF，在y轴上是否存在点Q，使得△PEF和△QEF全等，若存在，请直接写出相应的k的值；若不存在，请说明理由．26．（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）阅读理解对于任意正实数a，b，∵(a−b)2≥0，∴a+b−2ab≥0，∴a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立．结论：在a+b≥2ab(a,b均为正实数)中，若ab为定值p，则a+b≥2p只有当a=b时，a+b有最小值2p．根据上述内容，回答下列问题：(1)若m>0，只有当m=______时，m+1m有最小值______．(2)探索应用如图，已知A−2,0，B0,−3，P为双曲线y=6x(x>0)上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．(3)实践应用建筑一个容积为800m3，深为8m的长方体蓄水池，池壁每平方米造价为80元，池底每平方米造价为120元，如何设计池底的长、宽，使总造价最低？27．（2022·山东·新泰市楼德镇初级中学九年级阶段练习）反比例函数y＝k x（k＞0）的图像与直线y＝mx+n的图像交于Q点，点B（3，4）在反比例函数y＝k x的图像上，过点B作PB∥x轴交OQ于点P，过点P作PA∥y轴交反比例函数图像于点A，已知点A的纵坐标为94．(1)求反比例函数及直线OP的解析式；(2)在x轴上存在点N，使得△AON的面积与△BOP的面积相等，请求出点N的坐标；(3)在y轴上找一点E，使△OBE为等腰三角形，直接写出点E坐标．28．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期末）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣12x+2及双曲线y ＝k x（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m（m ＞0）．(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．(2)如图②过C、D两点分别作CC'∥y轴∥DD'交直线AB于C'，D'，当CD∥AB时，①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．②若k＝6，且满足m＝a﹣4+d a，求d的最大值．29．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期末）定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．例如，图1中，矩形ABCD的边AD∥BC∥x轴，AB∥CD∥y轴，且顶点A、C在反比例函数y=k x（k≠0）的图像上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”．解决问题：(1)已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是______；（填序号）(2)如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式；(3)若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．30．（2022·上海市梅陇中学九年级期中）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别与函数y=−1x,y=4x的图像交于A、B两点，(1)当OB与x轴的正半轴的夹角为45°时，求点A、B的坐标．(2)在直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转过程中，∠OAB大小会变化吗？如果不变，请求出tan∠OAB的值如果有变化，请说明理由．(3)如果AB交y轴于点C，若AC=2BC时，求点A，B的坐标．。
中考数学反比例函数综合经典题及答案
中考数学反比例函数综合经典题及答案一、反比例函数1．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.2．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M 的坐标．【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12，∴y= ．OA= =5，∵OA=OB，∴OB=5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得：解得：∴y=2x﹣5．（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），∵MB=MC，∴解得：x=2.5，∴点M的坐标为（2.5，0）．【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .3．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：①当x-3时，y=x+3；②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，得：，解得：，∴y=-x-3.综上，新函数的解析式为y=.（2）解：如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=4，∵点C（1，4）在反比例函数y=上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为y=.∵点D是线段AC上一动点，∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3<m<1，∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴点P的坐标为（，m+3），∴PD=-m，∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，∵a=<0，∴当m=时，S有最大值，最大值为，又∵-3<<1，∴△PAD的面积的最大值为.②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下：当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP与AC不能互相平分，∴四边形PAEC不能为平行四边形.【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.4．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【答案】（1）解：∵点A（1，a）在一次函数y=﹣x+3的图象上，∴a=﹣1+3=2，∴点A（1，2）．∵点A（1，2）在反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象上，∴k=1×2=2，∴反比例函数的表达式为y= ．联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点B（2，1）（2）解：作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，如图所示．∵点B、B′关于x轴对称，∴PB=PB′．∵点A、P、B′三点共线，∴此时PA+PB取最小值．设直线AB′的函数表达式为y=mx+n（m≠0），将A（1，2）、B（2，﹣1）代入y=mx+n，，解得：，∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5．当y=﹣3x+5=0时，x= ，∴满足条件的点P的坐标为（，0）．【解析】【分析】（1）将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标，由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；（2）作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB 取最小值，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．5．【阅读理解】我们知道，当a＞0且b＞0时，（﹣）2≥0，所以a﹣2 +≥0，从而a+b≥2 （当a=b时取等号），【获得结论】设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 即x= 时，函数y有最小值为2（1）【直接应用】若y1=x（x＞0）与y2= （x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________．（2）【变形应用】若y1=x+1（x＞﹣1）与y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），则的最小值是________（3）【探索应用】在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，﹣2），点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S①求S与x之间的函数关系式；②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．【答案】（1）1；2（2）4（3）解：①设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴AC=x+3，BD= +2，∴S= AC•BD= （x+3）（ +2）=6+x+ ；②∵x＞0，∴x+ ≥2 =6，∴当x= 时，即x=3时，x+ 有最小值6，∴此时S=6+x+ 有最小值12，∵x=3，∴P（3，2），C（3，0），D（0，2），∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形．【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，∴y1+y2=x+ ≥2 =2，∴当x= 时，即x=1时，y1+y2有最小值2，故答案为：1；2；（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ = =（x+1）+ ≥2 =4，∴当x+1= 时，即x=1时，有最小值4，故答案为：4；【分析】（1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x的值；（2）可把x+1看成一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设P（x，），则可表示出C、D的坐标，从而可表示出AC和BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到S 与x的函数关系式；②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，则可得到P、C、D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱形．6．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是________四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a=，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．【答案】（1）平行（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）将x= 带入y=k1x得y= ，故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），又∵OA=OB，∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，∵k1≠k2，所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；（3）解：∵P（x1， y1），Q（x2， y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，∴y1= ，y2= ，∴a= = = ，∴a﹣b= ﹣ = = ，∵x2＞x1＞0，∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，∴＞0，∴a﹣b＞0，∴a＞b．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD 是平行四边形；故答案为：平行；【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 = ，两边平分得 +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到a﹣b= ﹣ = = ＞0，即可得到结果．7．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，直线y= x+ 交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l，将直线l绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）.（1）当直线l与直线y= x+ 平行时，求出直线l的解析式；（2）若直线l经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数；（3）若直线l在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，直接写出符合条件的旋转角α的度数.【答案】（1）解：当直线l与直线y＝ x＋平行时，设直线l的解析式为y＝ x ＋b，∵直线l经过点C（1，0），∴0＝＋b，∴b＝，∴直线l的解析式为y＝x−（2）解：①对于直线y＝ x＋，令x＝0得y＝，令y＝0得x＝−1，∴A（0，），B（−1，0），∵C（1，0），∴AC＝，②如图1中，作CE∥OA，∴∠ACE＝∠OAC，∵tan∠OAC＝，∴∠OAC＝30°，∴∠ACE＝30°，∴α＝30°（3）解：①如图2中，当α＝15°时，∵CE∥OD，∴∠ODC＝15°，∵∠OAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝15°，∴AD＝AC＝AB，∴△ADB，△ADC是等腰三角形，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴△DBC是等腰三角形；②当α＝60°时，易知∠DAC＝∠DCA＝30°，∴DA＝DC＝DB，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；③当α＝105°时，易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°，∠DBC＝∠DCB＝15°，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；④当α＝150°时，易知△BDC是等边三角形，∴AB＝BD＝DC＝AC，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形，综上所述：当α＝15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形.【解析】【分析】（1）设直线l的解析式为y＝ x＋b，把点C（1，0）代入求出b即可；（2）①求出点A的坐标，利用两点间距离公式即可求出AC的长；②如图1中，由CE∥OA，推出∠ACE＝∠OAC，由tan∠OAC＝，推出∠OAC＝30°，即可解决问题；（3）根据等腰三角形的判定和性质，分情况作出图形，进行求解即可.8．综合实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.操作探究：（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为________cm，底面积为________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为________cm3.【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；C．可以折叠成无盖正方体；D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．故答案为：C．（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”（3）x；（20﹣2x）2；576【解析】【解答】（3）解：①如图，②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．故答案为：x，（20﹣2x）2， 576【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．9．请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB 对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE（1）求证:直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；①求证:△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值.【答案】（1）证明：由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）证明：①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB，∵OB=OC，∴∠CBH=∠OCB，∴△CBH∽△OBC解：②由△CBH∽△OBC可知：∵AB=8，∴BC2=HB•OC=4HB，∴HB= ，∴OH=OB-HB=∵CB=CH，∴OH+HC=当∠BOC=90°，此时BC=∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜令BC=x∴OH+HC= = =当x=2时，∴OH+HC可取得最大值，最大值为5【解析】【分析】（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB= ，由于BC=HC，所以OH+HC=利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．10．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）（1）求抛物线的解析式（2）点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点①当点N在何处时，△CAN的周长最小？②若点M（m，0）是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°，求m的取值范围．【答案】（1）解：函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a=﹣3，解得：a=1，故函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）解：①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小．设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b，则：，解得：，故直线AC'的表达式为：y=﹣x﹣1，当x=1时，y=﹣2，故点N（1，﹣2）；②如图2，过点C作CG⊥ED于点G．设NG=n，则NE=3﹣n．∵∠CNG+∠GCN=90°，∠CNG+∠MNE=90°，∴∠NCG=∠MNE，则tan∠NCG=n=tan∠MNE，故ME=﹣n2+3n，∴﹣1＜0，故ME有最大值，当n时，ME，则m的最小值为：；如下图所示，当点N与点D重合时，m取得最大值．过C作CG⊥ED于G．∵y=x2﹣2x﹣3= y=（x－1）2﹣4，∴D（1，－4），∴CG=OE=1．∵EG=OC=3∴GD=4－3=1，∴CG=DG=1，∴∠CDG=45°．∵∠CDM=90°，∴∠EDM=45°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=ED=4，∴OM=OE+EM=1+4=5，∴m=5．故：m≤5．【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），即可求解；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小，即可求解；②如图2，ME=﹣n2+3n，求出ME最大值，则可求出m的最小值；当点N与点D处时，m取得最大值，求解即可．11．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．（1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△BDC，∴∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝AC．∴BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵，∴，∴CD＝，∴AD＝AC+CD＝4+ ＝，∴OD＝AD﹣AO＝，∴点D的坐标为：（，0）；（2）解：如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，∴△APQ∽△ABD，∴，∴∴m＝，如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，∴△APQ∽△ADB，∴，∴∴m＝；综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似．【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，可证△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可证△ABC∽△BDC，可得，可求CD 的长，即可求点D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【答案】（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）解：①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴．【解析】【分析】（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令y=0，则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，即可得到结论．。
反比例函数与几何综合 (通用版)(含答案)
反比例函数与几何综合（通用版）试卷简介:反比例函数与几何综合一、单选题(共8道，每道10分)1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-3x+3与x轴,y轴分别交于A,B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD,点D在双曲线(k≠0)上.将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在该双曲线上,则a的值是( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：如图，作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．根据题意可得，A（1，0），B（0，3），△CEB≌△BOA≌△AFD．∴BE=OA=DF=1，CE=OB=AF=3，∴OF=OE=4，∴C（3，4），D（4，1），k=1×4=4．∵平移后点C的纵坐标为4，∴平移后点C的横坐标为1，∴a=3-1=2．试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合2.如图,反比例函数(x>0)的图象与矩形OABC的边AB,BC分别交于点E,F,且AE=BE, 则△OEF的面积为( )A.3B.C. D.答案：C解题思路：由反比例函数常用模型知道，若点E是BA中点，则点F是线段BC的中点，，，，∴．试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合3.如图,正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上,C(2,1),D(1,1).反比例函数的图象与边BC交于点E,与边CD交于点F.已知BE:CE=3:1,则DF:FC等于( )A.4:1B.3:1C.2:1D.1:1答案：D解题思路：方法一：易知点E，则反比例函数为，∴点，，∴DF：FC=1：1．方法二：如图，延长CD交y轴于点G，连接FE，BG．由反比例函数常见模型，可知FE∥BG，∴△CFE∽△CGB，∴，∵，易求∴DF：FC=1：1．试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合4.如图,在函数(x<0)和(x>0)的图象上,分别有A,B两点,若AB∥x轴,交y轴于点C,且OA⊥OB,已知,,则线段AB的长度为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：由，得．∴两反比例函数的解析式为，设B点坐标为（t>0），∵AB∥x轴，∴A点坐标为．由题意，可证得Rt△AOC∽Rt△OBC，∴OC：BC=AC：OC，即，∴，∴，，∴．试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合5.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(8,4).将矩形OABC绕点O逆时针旋转,使点B落在y轴上的点B′处,得到矩形OA′B′C′,OA′与BC相交于点D,则经过点D的反比例函数的解析式为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：只需求出点D的坐标即可．如图，连接OB，∵∴∵OC=AB=4，∴CD=2，即点D（2，4），∴．试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合6.如图,菱形OABC的顶点O是坐标原点,顶点A在x轴的正半轴上,顶点B,C均在第一象限,OA=2,∠AOC=60°.点D在边AB上,将菱形OABC沿直线OD翻折,使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处,且.若某反比例函数的图象经过点,则这个反比例函数的解析式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：连接CD，由折叠性质可知，，∴点A与点D重合．如图所示：根据题意可求得，点B的坐标为，∴点的坐标为，∴经过点的反比例函数的解析式为．试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合7.如图,直线与双曲线(k>0)在第一象限内的交点为R,与x轴的交点为P,与y轴的交点为Q;作RM⊥x轴于点M,若△OPQ与△PRM的面积之比为4:1,则k的值为( )A. B.C.2D.3答案：B解题思路：由题意可知点，点易知△OPQ与△MPR相似，且相似比为2：1，∴，∴点，则试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合8.函数y=x的图象与函数的图象在第一象限内交于点B,点C是函数在第一象限图象上的一个动点,当△OBC的面积为3时,点C的坐标是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：在x轴上找到点D使得△OBD的面积为3，过点D作OB的平行线，根据平行线间的距离处处相等及同底等高转化面积可知，平行线与反比例函数图象的交点即为要求的点C．如图，CD∥OB，由，点B的纵坐标为2，得OD=3，∴D（3，0）．由CD∥OB可设直线CD的函数解析式为y=x+b，把D点坐标代入可得b=-3，∴直线CD的函数解析式为y=x-3．联立直线CD和反比例函数的解析式可求得C（4,1）．同理可求得，直线的函数解析式为y=x+3，联立直线和反比例函数的解析式可求得．试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合二、填空题(共2道，每道10分)9.如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线经过点C，交x轴于点E，双曲线经过点D，则k=____．答案：1解题思路：∵点C的纵坐标为1，则点，∴OB=4，∵AB=3，BC=1，∴D（1，1），∴．试题难度：知识点：反比例函数图象上点的坐标特征10.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB．A，B两点的坐标分别是（-1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数（k<0）的图象上，则k=____．答案：-12解题思路：题目当中关键点是点C和点D，我们需要建立等式来求解，题干中给出建等式的信息有三点：①点C，D都在反比例函数的图象上；②四边形ABCD是平行四边形，可以利用对边相等等条件建立等式；③BC=2AB，可以用来建等式．设点C的坐标是，过点C作x轴的垂线，过点D作y轴的垂线，两垂线交于点E，如图所示：易证得△CED≌△BOA，则DE=1，CE=2，∴点D的坐标是．∵点D在反比例函数的图象上，∴（此时利用①②两个条件）；由于DA=BC=2AB=，点D，点A（-1，0），构造直角三角形，利用勾股定理可以得到，整理我们可以得到，将其代入可以得到，∵，∴，∴．试题难度：一颗星知识点：反比例函数与几何综合第 11 页共 11 页。
反比例函数与几何图形结合(含答案)
类型二 反比例与几何图形结合1. (2018原创)如图，已知四边形OABC 是菱形，CD ⊥x 轴，垂足为D ，函数y ＝4x 的图象经过点C ，且与AB 交于点E ，连接OE ，CE ，若OD ＝2，则△OCE 的面积为( )A . 2B . 4C . 2 2D . 4 2第1题图 第2题图 2. (2017威海)如图，正方形ABCD 的边长为5，点A 的坐标为(－4，0)，点B 在y轴上，若反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象过点C ，则该反比例函数的表达式为( )A ．y ＝3xB ．y ＝4xC ．y ＝5xD ．y ＝6x3. (2017荆门)已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边△AOB 的边长为6，点C 在边OA 上，点D 在边AB 上，且OC ＝3BD .反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象恰好经过点C 和点D .则k 的值为( )A . 81325B . 81316C . 8135D . 8134第3题图 第4题图4. (2018原创)已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC ，A 点的坐标为(10，0)，对角线OB 、AC 相交于D 点，双曲线y ＝k x (x >0)经过D 点，交BC 的延长线于E 点，且OB ·AC ＝160，有下列四个结论：①双曲线的解析式为y ＝40x (x >0)；②E 点的坐标是(5，8)；③sin ∠COA ＝45；④AC＋OB ＝12 5.其中正确的结论有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个5. (2017宿迁)如图，矩形ABOC 的顶点O 在坐标原点，顶点B 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，顶点A 在反比例函数y ＝k x (k 为常数，k ＞0，x ＞0)的图象上，将矩形ABOC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到矩形AB ′O ′C ′，若点O 的对应点O ′恰好落在此反比例函数图象上，则OB OC的值是________．第5题图 第6题图 6. (2017齐齐哈尔)如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴的负半轴上，O 是坐标原点，tan ∠AOC ＝43，反比例函数y ＝k x 的图象经过点C ，与AB 交于点D ，若△COD 的面积为20，则k 的值等于________．答案1. C 【解析】如解图，连接AC ，∵OD ＝2，CD ⊥x 轴，∴OD ×CD ＝4，解得CD ＝2，由勾股定理，得OC ＝OD 2＋CD 2＝22，由菱形的性质可知OA ＝OC ，∵OC∥AB ，∴△OCE 与△OAC 同底等高，∴S △OCE ＝S △OAC ＝12×OA ×CD ＝12×22×2＝2 2.第1题解图2. A 【解析】如解图，设BC 与x 轴交于点E ，过C 作CF ⊥x 轴，由题知AB ＝5，OA ＝4，∴OB ＝3.∵△AOB ∽△BOE ，∴OB 2＝AO ×OE ，即9＝4×OE ，∴OE ＝94，又∵△ABE ∽△BOE ，∴EB 2＝AE ×OE ，即EB 2＝(4＋94)×94，∴EB ＝154，∴CE ＝BC －EB ＝54，∵△CEF ∽△AEB ，∴CF ∶AB ＝CE ∶AE ，即CF ∶5＝54∶254，∴CF＝1，同理EF ＝34，∴C (3，1)，∴k ＝3.第2题解图3. A 【解析】过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，如解图．设BD ＝a ，则OC ＝3a .∵△AOB 为边长为6的等边三角形，∴∠COE ＝∠DBF ＝60°，OB ＝6.∴OE ＝32a ，CE ＝OC 2－OE 2＝332a ，∴点C (32a ，332a )．同理，可求出点D 的坐标为(6－12a ，32a )．∵反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象恰好经过点C 和点D ，∴k ＝32a ×332a ＝(6－12a )×32a ，∴a ＝65，k ＝81325.第3题解图4. B 【解析】如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，∵OB ·AC ＝160，A 点的坐标为(10，0)，∴OA ·CF ＝12OB ·AC ＝12×160＝80，菱形OABC 的边长为10，∴CF＝80OA ＝8010＝8，在Rt △OCF 中，∵OC ＝10，CF ＝8，∴OF ＝OC 2－CF 2＝102－82＝6，∴C (6，8)，∵点D 是线段AC 的中点，∴D 点坐标为(10＋62，82)，即D (8，4)，∵双曲线y ＝k x (x ＞0)经过D 点，∴4＝k 8，即k ＝32，∴双曲线的解析式为：y ＝32x (x＞0)，故①错误；∵CF ＝8，∴直线CB 的解析式为y ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x y ＝8，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝8，∴E 点坐标为(4，8)，故②错误；∵CF ＝8，OC ＝10，∴sin ∠COA ＝CF OC ＝810＝45，故③正确；∵A (10，0)，C (6，8)，∴AC ＝（10－6）2＋（0－8）2＝45，∵OB ·AC＝160，∴OB ＝160AC ＝16045＝85，∴AC ＋OB ＝45＋85＝125，故④正确．第4题解图5.5－12 【解析】设A (m ，n )，则OB ＝m ，OC ＝n ，∵矩形ABOC 绕点A 按逆时针反向旋转90°得到矩形AB ′O ′C ′，∴O ′C ′＝n ，B ′O ′＝m ，∴O ′(m ＋n ，n －m )，∵A ，O ′在此反比例函数图象上，∴(m ＋n )(n －m )＝mn ，∴m 2＋mn －n 2＝0，∴m ＝－1±52n ，∴m n ＝5－12，(负值舍去)，∴OB OC 的值是5－12. 6. －24 【解析】如解图，作DE ∥AO ，CF ⊥AO ，∵四边形OABC 为菱形，∴AB ∥CO ，AO ∥BC ，∵DE ∥AO ，∴S △ADO ＝S △DEO ，同理S △BCD ＝S △CDE ，∵S 菱形ABCO ＝S △ADO ＋S △DEO ＋S △BCD ＋S △CDE ，∴S 菱形ABCO ＝2(S △DEO ＋S △CDE )＝2S △CDO ＝40，∵tan ∠AOC ＝43，设CF ＝4x ，∴OF ＝3x ，∴OC ＝OF 2＋CF 2＝5x ，∴OA ＝OC ＝5x ，∵S 菱形ABCO ＝AO ·CF ＝20x 2，解得x ＝2，∴OF ＝32，CF ＝42，∴点C 坐标为(－32，42)，∵反比例函数y ＝k x 的图象经过点C ，∴k ＝－32×42＝－24.第6题解图。
反比例函数与几何综合专题(基础篇)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题26.14反比例函数与几何综合专题（基础篇）（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，则y 与x 的函数关系式为（）A ．y=B ．y=C ．y=D ．y=2．如图，点A 在反比例函数y ＝﹣x（x ＜0）的图象上，过点A 作AC ⊥x 轴垂足为C ，OA 的垂直平分线交x 轴于点B ，当AC ＝1时，△ABC 的周长为（）A ．1B 1+C D2+3．如图，点A 是双曲线y =6x是在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不）A ．13y x=-B ．3y x =-C ．16y x=-D ．6y x=-4．如图，反比例函数ky x=（0x >）的图象经过点()1,2A 和点(),B m n ，过点B 作BC y⊥轴与C ，若ABC 的面积为2，则点B 的坐标为（）A ．23,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,1D ．()1,25．如图，菱形AOBC 的边BO 在x 轴正半轴上，点A (2，，反比例函数kyx=图象经过点C ，则k 的值为()A ．12B ．C ．D ．6．在ABC 中90ACB ∠=︒，将Rt ABC 放在如图所示的平面直角坐标系中，ABC 的边AC x ∥轴．1AC =，点B 在x 轴上，点C 在反比例函数2(0)y x x=>的图像上，将ABC 先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到111A B C △，此时点1A 在反比例函数()0ky x x=<的图像上．11B C 与此图像交于点P ，则点P 的纵坐标是（）A ．92-B ．72-C ．94-D ．74-7．如图，点A 在双曲线y ＝6x上，过A 作AC ⊥x ，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，且AC ＝1.5，则△ABC 的周长为（）A ．6.5B ．5.5C ．5D ．48．如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，在OAB ∆中，AO AB =，AC OB ⊥于点C ，点A 在反比例函数()0ky k x=≠的图像上，若4OB =，3AC =，则k 的值为（）．A ．12B ．8C ．6D ．39．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，60BOC ∠=︒，顶点C 的坐标为(m ，反比例函数()0ky k x=<的图象与菱形对角线AO 交于点D ，连结BD ，当DB x ⊥轴时，k 的值是（）A ．B ．C ．D ．-10．如图，平行于y 轴的直线l 分别与反比例函数k y x =（x ＞0）和1y x=-（x ＞0）的图象交于M 、N 两点，点P 是y 轴上一动点，若△PMN 的面积为2，则k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．如图反比例函数图像过A(2，2)，AB ⊥x 轴于B ，则△OAB 的面积为_______12．如图，点A 、B 是反比例函数y ＝kx（x ＞0）图象上的两点，且A 、B 两点的纵坐标分别为2和1，C 在x 轴上，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，则k ＝_____．13．如图，在平面直角坐标系中，△ABO 边AB 平行于y 轴，反比例函数(0)k y x x=>的图像经过OA 中点C 和点B ，且△OAB 的面积为9，则k =________14．我市某校想种植一块面积为400平方米的长方形草坪，要求两邻边均不小于10米，草坪的一边长y （米）与另一边长x （米）之间的关系如图中曲线AB 所示，其中AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ，连接AB ，则四边形ACDB 的面积为______平方米．15．在平面直角坐标系中，OA ＝AB ，∠OAB ＝90°，反比例函数ky x=（x ＞0）的图像经过A 和B 两点其中A （2，m ），且点B 的纵坐标为n ，则n ＝______．16．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y＝kx﹣（k＜0）交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，若BC平分∠ABO交OA于点C，AC＝2OC，则k 的值为____．17．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在反比例函数y=kx(x>0)图象上，C在x轴上，AB//x轴，BC与双曲线交于点D，且BD=3CD=6，则k=_______．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数8yx=的图象经过A（2，4），B两点，∠AOB＝45°，则点B的坐标为________．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，某反比例函数的图象经过点()1,3A--．()1求该反比例函数的解析式；()2点(),3B m 和()3,C n 均在该反比例函数的图象上，点P 在x 轴上，请画出使PB PC+的值最小的P 点位置，并求出此时点P 的坐标．20．（8分）如图，点P 的坐标是(32)-，，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点A ，交双曲线(0)ky x x =>于点N ，作PM AN ⊥交双曲线(0)k y x x=>于点M ，连接AM ．已知PN =4．(1)求k 的值；(2)求APM △的面积．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 在函数()0ky x x=>的图象上（点A 的纵坐标大于点B 的纵坐标），点A 的坐标为（2，4），过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，连结OA ，AB ．(1)求k 的值．(2)若CD ＝2OD ，求四边形OABC 的面积．22．（10分）如图，矩形ABCD 的两边AD AB 、的长分别为3、8.边BC 落在x 轴上，E 是DC 的中点，连接AE ，反比例函数my x=的图象经过点E ，与AB 交于点F ．(1)直接写出AE 的长；(2)若2AF AE -=，求反比例函数的解析式．23．（10分）如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例函数()0ky k x=≠在第一象限内的图象交于()1,A n 和()3,B m 两点．(1)求反比例函数的表达式．(2)在第一象限内，当一次函数4y x =-+的值大于反比例函数()0ky k x=≠的值时，写出自变量x 的取值范围(3)求△AOB 面积．24．（12分）如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A 、C 在反比例函数ky x=的图象上，顶点B 、D 在x 轴上．已知点()32A -，、(50)B -，．(1)直接写出点C 、D 的坐标；(2)求反比例函数的解析式；(3)求平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的长；(4)求平行四边形ABCD 的面积S ．参考答案1．C试题分析：利用三角形面积公式得出xy=10，进而得出答案．解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，∴xy=10，∴y 与x 的函数关系式为：y=．故选C ．考点：根据实际问题列反比例函数关系式．2．B【分析】依据点A 在反比例函数y ＝﹣x（x ＜0）的图象上，AC ⊥x 轴，AC ＝1，可得OC ，再根据CD 垂直平分AO ，可得OB ＝AB ，再根据△ABC 的周长＝AB+BC+AC ＝OC+AC 进行计算即可．解：∵点A 在反比例函数y ＝﹣x（x ＜0）的图象上，AC ⊥x 轴，∴AC×OC ∵AC ＝1，∴OC ∵OA 的垂直平分线交x 轴于点B ，∴OB ＝AB ，∴△ABC 的周长＝AB+BC+AC ＝OB+BC+AC ＝OC+AC +1，故选：B ．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，比较容易掌握．3．D【分析】连接OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD ≌△OAE ，设A 点坐标为（a ，6a ），得出OD =AE =6a，CD =OE =a ，最后根据反比例函数图象上点C 的坐标特征确定函数解析式．解：如图，连接OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=6x的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC=OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE，∴△COD≌△OAE（AAS），设A点坐标为（a，6a），得出OD=AE=6a，CD=OE=a，∴C点坐标为（-6a，a），∵-6a•a=-6，∴点C在反比例函数y=-6x图象上．故选：D．【点拨】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．4．A【分析】根据三角形面积公式得到12•m•（2−n）＝2，即2m−mn＝4，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到mn＝2，则可计算出m＝3，n＝23，从而可确定B点坐标．解：∵△ABC的面积为2，∴12•m •（2−n ）＝2，即2m −mn ＝4，∵反比例函数k y x=（x ＞0）的图象经过点A （1，2）和点B （m ，n ），∴1×2＝mn ，∴2m −2＝4，解得m ＝3，∴n ＝23，∴B （3，23）．故选A ．【点拨】本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数k y x =图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．5．C【分析】根据题意可求出菱形的边长．再根据边BO 在x 轴正半轴上，即可判断AC x ∥轴，从而可求出C 点坐标，代入反比例函数解析式求解即可．解：∵点A (2，，∴4OA =，∴菱形的边长为4，即4AC =．∵边BO 在x 轴正半轴上，∴AC x ∥轴，∴246C A x x AC =+=+=，C A y y ==∴C (6，．将C (6，代入k y x =，得：6k =解得：k =故选C ．【点拨】本题考查两点的距离公式，菱形的性质，坐标与图形以及求反比例函数解析式．利用数形结合的思想是解题关键．6．A【分析】首先由边AC ∥x 轴，AC ＝1，点C 在函数2(0)y x x=>的图像上，求得点C 的坐标，继而求得点A 与点B 的坐标，然后由旋转的性质、平移的性质，求得△A 1B 1C 1各顶点的坐标，再由点A 1在函数()0k y x x=<的图像上，B 1C 1与此图像交于点P ，求得答案．解：∵边AC ∥x 轴，AC ＝1，∴点C 的横坐标为1，∵点C 在函数2(0)y x x =>的图像上，∴y ＝2，∴点C 的坐标为：（1，2），∴点A 的坐标为：（0，2），点B 的坐标为：（1，0），∵将ABC 先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到111A B C △，，∴A 1的坐标为：（-3，﹣3），B 1的坐标为：（-2，-5），C 1的坐标为：（-2，﹣3），∵点A 1在函数()0k y x x=<的图像上，∴k ＝xy ＝-3×（﹣3）＝9，∴此反比例函数的解析式为：9y x =，∵线段B 1C 1的解析式为：x ＝-2∴点P 的横坐标为：-2，∴点P 的纵坐标为：92y =-．故选：A ．【点拨】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求反比例函数解析式、旋转的性质、平移的性质以及点与函数的关系．注意求得△A 1B 1C 1各顶点的坐标是关键．7．B【分析】由于BD 是OA 的垂直平分线，那么OB AB =，据图可知A 点的纵坐标是1.5，把 1.5y =代入反比例函数解析式，易求OC ，进而可求ABC ∆的周长．解：如图所示，BD Q 是OA 的垂直平分线，OB AB ∴=，1.5AC = ，∴点A 的纵坐标是1.5，把 1.5y =代入6y x=，得61.5x =，解得4x =，4OC ∴=，ABC ∴∆的周长 1.54 5.5AC AB BC AC OB BC AC OC =++=++=+=+=，故选：B ．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质，解题的关键是求出A 点的坐标．8．CC 点坐标，结合AC 长即可得到A 点坐标，根点A 在反比例函数的图像上，将点A 的坐标代入反比例函数解析式中可得k 值．解：∵AO AB =，∴OAB ∆为等腰三角形，又∵AC OB ⊥，∴C 为OB 中点，∵4OB =，∴2OC =，∵3AC =，∴A 点坐标为（2，3），将A 点坐标代入反比例函数(0)k y k x=≠得，32k =，∴6k =．故选：C ．【点拨】本题考查反比例函数图像上的点的性质，等腰三角形的判定和性质．利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的坐标是解题关键．9．C【分析】延长AC交y轴于E，如图，根据菱形的性质得AC//OB，则AE⊥y轴，再由∠BOC＝60°得到∠COE＝30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到CE OE＝2，OC＝2CE＝4，接着根据菱形的性质得OB＝OC＝4，∠BOA＝30°，于是在Rt△BDO中可计算出BD＝3，所以D点坐标为（−4，3），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值．解：延长AC交y轴于E，如图，∵菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∴AC//OB，∴AE⊥y轴，∵∠BOC＝60°，∴∠COE＝30°，∴CO=2CE而顶点C的坐标为(m，∴OE＝CE=-m，CO=-2m，∵CO2=CE2+OE2，即（-2m）2=（-m）2+（2，解得m=-2∴OC＝2CE＝4，∴C(2,-∵四边形ABOC为菱形，∴OB ＝OC ＝4，∠BOA ＝30°，∴OD =2BD在Rt △BDO 中，DO 2=BD 2+OB 2，即（2BD ）2=BD 2+42，∴BD ＝3，∴D 点坐标为（−4，3），∵反比例函数()0k y k x =<的图象经过点D ，∴k ＝故选：C ．【点拨】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．10．B【分析】由题意易得点M 到y 轴的距离即为△PMN 以MN 为底的高，点M 、N 的横坐标相等，设点1,,,k M a N a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有11k k MN a a a +⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，进而根据三角形面积公式可求解．解：由平行于y 轴的直线l 分别与反比例函数k y x =（x ＞0）和1y x=-（x ＞0）的图象交于M 、N 两点，可得：点M 到y 轴的距离即为△PMN 以MN 为底的高，点M 、N 的横坐标相等，设点1,,,k M a N a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11k k MN a a a+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∵△PMN 的面积为2，∴111222PMN k S MN a a a+=⋅=⨯⨯= ，解得：3k =；故选B ．【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键．11．2【分析】根据题意可得OB=2，AB=2，然后根据三角形的面积公式即可求出结论．解：∵反比例函数图像过A(2，2)，AB ⊥x 轴于B ，∴OB=2，AB=2∴S △ABC =12OB·AB=2故答案为：2．【点拨】此题考查的是坐标与图形的面积，掌握三角形的面积公式是解决此题的关键．12．6【分析】过点A 作AG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，易证△AGC ≌CHB ，根据全等三角形的性质，可得GC 和CH 的值，根据A 、B 的纵坐标，表示出横坐标，列方程求解即可．解：过点A 作AG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，如图所示，则有∠AGC =∠CHB =90°，∴∠GAC +∠GCA =90°，∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠ACG +∠HCB =90°，∴∠GAC =∠HCB ，∴△AGC ≌CHB （AAS ），∴AG =CH =2，GC =BH =1，∴=3∵A 、B 在反比例函数的图象上，∴,22k A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B （k ,1），∴32k k -=,∴k =6，故答案为：6．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设计等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是解题的关键．13．6【分析】延长AB 交x 轴于D ，根据反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过点B ，设B k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则OD ＝m ，根据△OAB 的面积为9，列等式可表示AB 的长，表示点A 的坐标，根据线段中点坐标公式可得C 的坐标，从而得出结论．解：延长AB 交x 轴于D ，如图所示：∵AB y ∥轴，∴AD ⊥x 轴，∵反比例函数k y x=（x ＞0）的图像经过OA 中点C 和点B ，∴设B k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则OD ＝m ，∵△OAB 的面积为9，∴192AB OD ⋅=，即12AB •m ＝9，∴AB ＝18m ，∴A （m ，18k m +），∵C 是OA 的中点，∴C 11822k m m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴11822k k m m+=⋅，∴k ＝6，故答案为：6．【点拨】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，线段的中点坐标公式，三角形面积公式，解本题的关键是设未知数建立方程解决问题．14．750【分析】由题意得y 与x 的函数关系式为400y x =，则当10x =时，4004010y ==，当40x =时，4001040y ==，即可得40AC =，10BD =，401030CD =-=，即可得．解：∵长方形草坪的面积为400平方米，∴y 与x 的函数关系式为400y x =，∴当10x =时，4004010y ==，当40x =时，4001040y ==，∵AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，∴40AC =，10BD =，401030CD =-=，∴四边形ABCD 的面积为：()()2401030750m 2+⨯=，故答案为：750．【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质．15【分析】过A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，作BD ⊥AC ，垂足为D ，通过证△AOC ≌△ABD 可得：OC ＝AD ＝m ，AC ＝BD ＝2，即可求得B 点的纵坐标．解：如图：过A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，作BD ⊥AC ，垂足为D ，∵∠BAO ＝90°，∴∠OAC +∠BAD ＝90°，∠BAD +∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAO ，∵∠D ＝∠ACO ＝90°，AO ＝AB ，∴△ACO ≌△DAB （AAS ），∴AD ＝CO ，BD ＝AC ，∵A （2，m ），∴OC ＝AD ＝m ，AC ＝BD ＝2．∴点B 坐标为()2,2m m +-∴()()222m m m =+-∴解得11m =+21m =（舍去）∴n ＝m ﹣2，．【点拨】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，关键是求得BD 的长．16．【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则OC =CD ，利用面积法结合AB =2OC ，可得出AB =2OA ，利用勾股定理可得出OA =，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出OA ，OB的长，结合OA =可求出k 值．解：如图，过点C 作CD ⊥D ，∵BC 平分∠ABO ，∴OC =CD ，∵12BOC S OC OB ∆=⋅，1122ABC S AC OB AB CD ∆=⋅=⋅，∴2ABC BOC S AC AB S OC OB∆∆===，∴AB =2OB ，∴OA ==，当x =0时，y，当y =0时，x =∴OB =-，=OA∴()-，解得：3k =-，故答案为：-．3【点拨】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积、勾股定理以及一次函数图象上点的坐标特征，利用面积法找出OA=是解题的关键．173【分析】过点A、D分别作x轴和垂线，垂足分别为E、F，求得CD=2，AB=BC=AC=8，利用直角三角形的性质求得CE=4，CF=1，设A，，D，利用OF-OE=CE+CF=5，列方程求解即可．解：过点A、D分别作x轴和垂线，垂足分别为E、F，∵△ABC是等边三角形，BD=3CD=6，∴CD=2，AB=BC=AC=8，∵AB//x轴，∴∠ACE=∠BCF=30°，∴CE=4，CF=1，由勾股定理得AEDF设AOF，解得：k【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的三边关系，解题的关键是通过含30°角的直角三角形的三边关系表示点A 和点B 的坐标．18．3⎛ ⎝⎭【分析】将OA 绕O 点顺时针旋转90°到OC ，连接AB 、CB ，作AM ⊥y 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，通过证得△AOB ≌△COB （SAS ），得到AB =CB ，证得△AOM ≌△CON （AAS ），求得C （4，-2），设B 点的坐标为（m ，8m），根据AB =BC ，得到关于m 的方程，解方程求得m 的值，即可求得B 的坐标．解：将OA 绕O 点顺时针旋转90°到OC ，连接AB 、CB ，作AM ⊥y 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，∵点A 的坐标为（2，4），∴AM =2，OM =4，∵∠AOB =45°，∴∠BOC =45°，在△AOB 和△COB 中，OA OC AOB COB OB OB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOB ≌△COB （SAS ），∴AB =CB ，∵∠AOM +∠AON =90°=∠CON +∠AON ，∴∠AOM =∠CON ，在△AOM 和△CON 中，AOM CON AMO ONC OA OC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOM ≌△CON （AAS ），∴CN =AM =2，ON =OM =4，∴C （4，-2），设B 点的坐标为（m ，8m ），∵AB =CB ，∴2222882442m m m m-+-=-++（）（）（）（），解得m =-（负值不合题意，舍去）故答案为：⎛ ⎝．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．19．（1）3y x =；（2）P 点坐标为5()20【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）先求出B,C 的坐标，再根据对称性作A 点关于x 轴的对称点’A ，连接'BA 交x 轴于P 点，求出直线'BA 的解析式即可得到P 点坐标．解：解:()1设反比例函数解析式为k y x=把()1,3A 代入，得133k =⨯=，∴反比例函数解析式为3y x=()2把(3,)B m 代入得33m =，解得1m =，B ∴点坐标为(3)1，；作A 点关于x 轴的对称点’A ，连接'BA 交x 轴于P 点，则’3(1)A -，，''PA PB PA PB BA +=+= ，设直线'BA 的解析式为y mx n =+，则331m n m n +=-⎧⎨+=⎩，解得25m n =⎧⎨=-⎩∴直线'BA 的解析式为25y x =-，当0y =时，250x -=，解得52x =P ∴点坐标为5()20．【点拨】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、待定系数法的应用．20．(1)-14(2)4【分析】（1）由题意可得出3AP =，2N y =-．再根据PN =4，可求出AN =7，即得出N 的坐标，最后将N 的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k 的值；（2）由题意可得出3M x =，代入所求出的反比例函数解析式，即得出M 的纵坐标，从而可求出PM 的长，最后由三角形面积公式计算即可．解：（1）由题意可知3AP =，2N =-．∵PN =4，∴AN =AP +PN =3+4=7，∴7N x =，∴N (7，-2)．将N (7，-2)代入k y x =，得：27k -=解得：14=-k ．（2）由题意可知3M x =．由（1）可知反比例函数解析式为：14y x =-，将3M x =代入14y x =-得：143M y =-∴1482(33P M PM y y =-=---=，∴11834223APM S AP PM =⋅=⨯⨯=△．【点拨】本题考查坐标与图形，求反比例函数的解析式，反比例函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键．21．(1)8(2)443【分析】（1）将点A 的坐标（2，4）代入()0k y x x=>，可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B 的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．（1）解：将点A 的坐标（2，4）代入()0k y x x =>，可得k ＝xy ＝2×4＝8，∴k 的值为8；（2）∵k 的值为8，∴函数k y x =的解析式为8y x =，∵CD ＝2OD ，OD ＝2，∴CD ＝4，∴OC ＝6，∴点B 的横坐标为6，将x ＝6代入8y x =，得43y =，∴点B 的坐标为（6，43），∴S 四边形OABC ＝S △AOD ＋S 梯形ABCD ＝12×2×4＋12×(43＋4)×4＝443．【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想是解答此题的关键．22．(1)5(2)4y x=-【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）设E 点的坐标为（x ，4），F 点的坐标是（x −3，1），代入m y x =求出x ，再求出m ，即可得出答案．解：(1)∵矩形ABCD 的两边AD AB 、的长分别为3、8，∵点E 为DC 的中点，∴CE =DE =4，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE 5=；(2)∵AF −AE ＝2，∴AF ＝5＋2＝7，∴BF ＝8−7＝1，设E 点的坐标为（x ，4），F 点的坐标是（x −3，1），代入m y x=得：m ＝4x ＝（x −3）•1，解得：x ＝−1，即m ＝−4，所以当AF −AE ＝2时反比例函数表达式是4y x=-．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质等知识点，能求出E 点的坐标是解此题的关键．23．(1)3y x=．(2)1﹤x ﹤3．(3)4．【分析】（1）把A n 的值，再代入反比例函数解析式可求得k ，即可得出反比例函数的表达式；（2）根据A ，B 点的横坐标，结合图象可直接得出满足条件的x 的取值范围；（3）设一次函数与x 轴交于点C ，可求得C 点坐标，利用AOB AOC BOC S S S =-△△△可求得ABO 的面积．（1）解：（1）∵点A 在一次函数图象上，∴n =-1+4=3，∴A （1，3），∵点A 在反比例函数图象上，∴k =3×1=3，∴反比例函数的表达式为3.y x=（2）结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x 的取值范围为1＜x ＜3．（3）如图，设一次函数与x 轴交于点C ，在y =-x +4中，令y =0可求得x =4，∴C （4，0），即OC =4，将B （3，m ）代入y =-x +4，得m =1，∴点B 的坐标为（3，1）．114341 4.22AOB AOC BOC S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= 故△AOB 的面积为4．【点拨】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．24．(1)C (3，-2)；D （5，0）(2)6y x =-(3)10BD =；AC =20S =【分析】（1）由题意，点A 、C ，点B 、D 关于原点对称，即可得出答案；（2）直接将点()32A -，代入反比例函数k y x =，即可求出解析式；（3）直接根据B 、D BD 的长，过点A 作AE ⊥x 轴于E ，有勾股定理可求出OA 的长，即可得出AC 的长；（4）由2ABD S S = ，即可求解．（1）解：由题意点A 、C ，点B 、D 关于原点对称，且()32A -，、(50)B -，，∴C (3，-2)；D （5，0）．（2）∵反比例函数图象经过点（-3，2），∴()326k xy ==-⨯=-反比例函数的解析式为6y x=-．（3）()5510BD =--=；过点A 作AE ⊥x 轴于E ，在Rt △AEO 中，AO ===∴2AC AO ==（4）Δ122210202ABD S S ==⨯⨯⨯=．【点拨】本题考查反比例函数，平行四边形，熟练运用反比例函数的对称性是解题的关键．。
2022年中考数学专题复习：反比例函数与几何综合
2022年中考数学专题复习：反比例函数与几何综合1．如图，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝4．(1)点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由； (2)若反比例函数的图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．2．如图1，点A 、B 是双曲线y =kx （k ＞0）上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段AC 、AD 、BE 、BF ，AC 和BF 交于点G ，得到正方形OCGF （阴影部分），且S 阴影=1，△AGB 的面积为2．(1)求双曲线的解析式；(2)在双曲线上移动点A 和点B ，上述作图不变，得到矩形OCGF （阴影部分），点A 、B在运动过程中始终保持S 阴影=1不变（如图2），则△AGB 的面积是否会改变？说明理由．3．已知点A 为函数4(0)y x x=>图象上任意一点，连接OA 并延长至点B ，使AB OA =，过点B 作//BC x 轴交函数图象于点C ，连接OC ．(1)如图1，若点A 的坐标为(4,)n ，求点C 的坐标；(2)如图2，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，求四边形OCDA 的面积．4．如图，直线1:l y k x b =+与双曲线()20k y x x=>相交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，若点A ，B 的横坐标分别是1和2，(1)请直接写出21k k x b x+>的解集； (2)当AOB 的面积为3时，求2k 的值．5．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（0，6）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y＝kx（k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y＝kx的另一个交点．(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；(2)动点P在第一象限内，且满足S△PBO＝56S△ODE．①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；①若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数ykx=（x＞0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝3．(1)若点D的坐标为（4，n）．①求反比例函数ykx=的表达式；①求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；(2)在（1）的条件下，设点E是x轴上的点，使△CDE为以CD为直角边的直角三角形，求E点的坐标．7．如图1，点(08)(2)A B a ，、，在直线2y x b =-+上，反比例函数(ky x x=＞0）的图象经过点B ．(1)求反比例函数解析式；(2)将线段AB 向右平移m 个单位长度（m ＞0），得到对应线段CD ，连接AC 、BD ． ①如图2，当m ＝3时，过D 作DF ①x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求E 点坐标；①在线段AB 运动过程中，连接BC ，若①BCD 是以BC 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m 的值．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（8，4），OA 、OC 分别落在x 轴和y 轴上，OB 是矩形的对角线．将①OAB 绕点O 逆时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到①ODE ，OD 与CB 相交于点F ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点F ，交AB 于点G ．(1)求k 的值．(2)连接FG ，求四边形OAGF 的面积．(3)图中是否存在与①BFG相似的三角形？若存在，请找一个，并进行证明；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为矩形，若点AD①AB＝3①4，A（－6，0）、D（－9，4），点B、C在第二象限内．(1)请直接写出：点B的坐标________；(2)将矩形ABCD以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式：(3)在（2）的情况下，是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、C′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin①AOB＝45，反比例函数y＝kx（x>0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．(1)若OA＝10，求反比例函数的解析式；(2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标．11．如图，在正方形OABC 中，点O 为坐标原点，点()3,0C -，点A 在y 轴正半轴上，点E ，F 分别在BC ，CO 上，2CE CF ==，一次函数()0y kx b k =+≠的图象过点E 和F ，交y 轴于点G ，过点E 的反比例函数()0my m x=≠的图象交AB 于点D ．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)在线段EF 上是否存在点P ，使ADP APG S S =△△，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图是反比例函数y 2x=与反比例函数y 4x =在第一象限中的图象，点P 是y 4x =图象上一动点，P A ①x 轴于点A ，交函数y 2x =图象于点C ，PB ①y 轴于点B ，交函数y 2x=图象于点D ，点D 的横坐标为a ．(1)求四边形ODPC 的面积；(2)连接DC 并延长交x 轴于点E ，连接DA 、PE ，求证：四边形DAEP 是平行四边形．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，OA＝3，AB＝4，反比例函数kyx（k＞0）的图象与矩形两边AB，BC分别交于点D，点E，且BD＝2AD．(1)求点D的坐标和k的值；(2)连接OD，OE，DE，求①DOE的面积；(3)若点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使①APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图1，点P是反比例函数y＝kx（k＞0）在第一象限的点，P A①y轴于点A，PB①x轴于点B，反比例函数y＝6x的图象分别交线段AP、BP于C、D，连接CD，点G是线段CD上一点．(1)若点P（6，3），求①PCD的面积；(2)在（1）的条件下，当PG平分①CPD时，求点G的坐标；(3)如图2，若点G是OP与CD的交点，点M是线段OP上的点，连接MC、MD．当①CMD＝90°时，求证：MG＝12CD．15．在矩形AOBC 中，分别以,OB OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．A 点坐标为(0,3)，B 点坐标为(4,0)，F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky x x=>的图象与AC 边交于点E ，连接,OE OF ，作直线EF ．(1)若2CF =，求反比例函数解新式； (2)在（1）的条件下求出EOF △的面积； (3)在点F 的运动过程中，试说明ECFC是定值．16．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k ≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y ＝mx（x＞0）的图象交于点A （8，1）．(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；(2)点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当CD 等于6时，求点C 的坐标和△ACD 的面积； (3)在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O 'CD '，若点O 的对应点O '恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O '，D '的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为()4,2，OA ，OC 分别落在x 轴和y 轴上，OB 是矩形的对角线，将OAB 绕点O 逆时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到ODE ，OD 与CB 相交于点F ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点F ，交AB 于点G ．(1)求出k 的值．(2)在x 轴上是否存在一点M ，使MF MG -的值最大？若存在，求出点M ；若不存在，说明理由．(3)在线段OA 上存在这样的点P ，使得PFG △是等腰三角形，请直接写出OP 的长．18．如图，菱形OABC 的点B 在y 轴上，点C 坐标为（4，3），双曲线ky x=的图象经过点A ．(1)菱形OABC 的边长为 ； (2)求双曲线的函数关系式；(3)①点B 关于点O 的对称点为D 点，过D 作直线l 垂直于x 轴，点P 是直线l 上一个动点，点E 在双曲线上，当P 、E 、A 、B 四点构成平行四边形时，求点E 的坐标； ①将点P 绕点A 逆时针旋转90°得点Q ，当点Q 落在双曲线上时，求点Q 的坐标．19．已知正方形OABC 的面积为9，点O 是坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数(),ky x 0k 0x=>>的图象上，点(),P m n 是函数(),k y x 0k 0x=>>的图象上任意一点．过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ．若矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分（阴影）面积为S ．（提示：考虑点P 在点B 的左侧或右侧两种情况）（1）求B 点的坐标和k 的值； （2）写出S 关于m 的函数关系式； （3）当3S =时，求点P 的坐标．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴的正半轴上，顶点C ，D 在第一象限内，正比例函数y 1＝3x 的图象经过点D ，反比例函数2(0)ky x x=>的图象经过点D ，且与边BC 交于点E ，连接OE ，已知AB ＝3． （1）点D 的坐标是 ； （2）求tan ①EOB 的值；（3）观察图象，请直接写出满足y 2＞3的x 的取值范围； （4）连接DE ，在x 轴上取一点P ，使98DPES =，过点P 作PQ 垂直x 轴，交双曲线于点Q ，请直接写出线段PQ 的长．。
(完整版)反比例函数综合测试题(含答案)
反比例函数综合测试题一、选择题(每小题3分，共24分)1.已知点M (- 2，3 )在反比例函数xky=的图象上，下列各点也在该函数图象上的是( ).AA. (3，- 2)B. (- 2，- 3)C. (2，3)D. (3，2)2. 反比例函数(0)ky kx=≠的图象经过点(- 4，5)，则该反比例函数的图象位于( ).BA. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第二、三象限D. 第一、二象限3. 在同一平面直角坐标系中，函数xy2-=与xy2=的图象的交点个数为( ). DA. 3个B. 2个C. 1个D. 0个4. 如图1，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y = 2 x(x> 0)图象上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐减小时，△OAB的面积将( ). AA．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大后减小5. (2009年恩施市)如图2，一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2 ≤x≤ 10，则y与x的函数图象是( ). A6. 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数xky=(k > 0)的图象上的两点，若x1 < 0 < x2，则( ).AA. y1 < 0 < y2B. y2 < 0 < y1C. y1 < y2 < 0D. y2 < y1 < 07. 如图3，反比例函数3yx=的图象与一次函数y = x + 2的图象交于A，B两点，那么△AOB 的面积是( ).CA. 2B. 3C. 4D. 68. 如图4，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB= AC = 2，直角顶点A在直线y = x上，1212图2图4A B C Dy xOP 1P 2P 3P 4 P 5A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 图7其中点A 的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴、y 轴，若反比例函数k y x=的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是( ). C A.1 < k < 2B.1 ≤ k ≤ 3C.1 ≤ k ≤ 4D.1≤ k < 4二、填空题(每小题4分，共24分) 9. 已知反比例函数k y x =的图象经过点(23)，，则此函数的关系式是 ．6y x= 10. 在对物体做功一定的情况下，力F (N)与此物体在 力的方向上移动的距离s (m)成反比例函数关系，其图 象如图5所示，点P (5，1)在图象上，则当力达到10 N 时，物体在力的方向上移动的距离是 m. 0. 511. 反比例函数xky =)0(<k 的图象与经过原点的直线l 相交于A ，B 两点，若点A 坐标为(-2，1)，则点B 的坐标为 . (2，-1).12.一次函数y = x + 1与反比例函数ky x=的图象都经过点(1，m )，则使这两个函数值都小于0时x 的取值范围是___________. x < - 113. (2009年兰州市)如图6，若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数 反比例函数1y x=(x > 0)的图象上，则点E 的坐标是_________. (215+，215-)14. (2009年莆田市)如图7，在x 轴的正半轴上依次截取OA 1 = A 1A 2 = A 2A 3 = A 3A 4 = A 4A 5，过点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象相交于点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，得直角三角形OP 1A 1，A 1P 2A 2，A 1P 2A 2，A 2P 3A 3，A 3P 4A 4，A 4P 5A 5，并设其面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，则S 5的值为 . 三、解答题(共30分)15.(6分) 已知点P (2，2)在反比例函数xky =(k ≠ 0)的图象上. （1）当x = - 3时，求y 的值； （2）当1 < x < 3时，求y 的取值范围．F / N图5s / mO图616.(8分)已知图8中的曲线是反比例函数5myx-=(m为常数)图象的一支. 若该函数的图象与正比例函数y = 2x的图象在第一象内限的交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式.17.(8分)如图9，点P的坐标为322⎛⎫⎪⎝⎭，，过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交反比例函数kyx=(x > 0)于点点N，作PM ⊥AN交反比例函数kyx=(x > 0)的图象于点M，连接AM.若PN = 4，求：（1）k的值.（2）△APM的面积.18.(8分)为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”. 已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与燃烧时间x(min)成正比例；燃烧后，y与x成反比例(如图10所示). 现测得药物10 min燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg. 根据以上信息，解答下列问题：（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式；（2）求药物燃烧后y与x的函数关系式；（3）当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时，对人体无毒害作用. 那么从消毒开始，经多长时间学生才可以返回教室？四、探究题(共22分)19.(10分) 我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如，把方程2x – 1 = 3 - x 的解看成函数y = 2 x - 1的图象与函数y = 3 - x 的图象交点的横坐标. 如图11，已画出反比例函数1y x=在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x 2 – x – 1 = 0的正数解(要求画出相应函数的图象，求出的解精确到0.1）.20.(12分)一次函数y = ax + b 的图象分别与x 轴、y 轴交于点M ，N ，与反比例函数k y x=的图象相交于点A ，B ．过点A 分别作AC ⊥x 轴，AE ⊥y 轴，垂足分别为点C ，E ；过点B 分别作BF ⊥x 轴，BD ⊥y 轴，垂足分别为点F ，D ，AC 与BC 相交于点K ，连接CD ． （1）如图12，若点A ，B 在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，试证明： ①A E D K C F B K S S =四边形四边形；②A N B M =． （2）若点AB ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图13，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．反比例函数综合测试题参考答案一、选择题 1. A. 2. B. 3. D.4. A.5. A.6. A.7. C.8. C.二、填空题 9. 6y x=. 10. 0. 5. 11. (2，-1).12. x < - 1. 13. (215+，215-). 14.15. 三、解答题 15.（1）34-=y ；（2）y 的取值范围为434<<y ． 16.∵第一象限内的点A 在正比例函数y = 2x 的图象上，∴设点A 的坐标为(m ，2m )(m > 0)，则点B 的坐标为(m ，0). ∵S △OAB = 4，∴12m • 2m = 4. 解得m 1 = 2，m 2 = - 2(不符合题意，舍去).∴点A 的坐标为(2，4).又∵点A 在反比例函数5m y x -=的图象上，∴542m -=，即m – 5 = 8. ∴反比例函数的解析式为8y x=.17.（1）∵点P 的坐标为322⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴AP = 2，OA =32. ∵PN = 4，∴AN = 6. ∴点N 的坐标为362⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 把点362N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入ky x=中，得k = 9. （2）由（1）知k = 9，∴9y x =. 当x = 2时，92y =. ∴93322M P =-=. ∴12332A P MS =⨯⨯=△. 18.（1）设药物燃烧阶段函数关系式为y = k 1x (k 1 ≠ 0).根据题意，得8 = 10k 1，k 1 = 45. ∴此阶段函数关系式为45y x =(0 ≤ x < 10).（2）设药物燃烧结束后函数关系式为22(0)ky k x=≠.根据题意，得2810k=，280k =. ∴此阶段函数关系式为80y x=(x ≥ 10).（3）当y < 1.6时，801.6x<. ∵0x >，∴1.680x >，50x >. ∴从消毒开始经过50 min 学生才返可回教室. 四、探究题19. 方程x 2 – x – 1 = 0的正数解约为1.6.提示：∵x ≠ 0，将x 2 – x – 1 = 0两边同除以x ，得110x x --=．即11x x=-． 把x 2 – x – 1 = 0的正根视为由函数1y x=与函数y = x - 1的图象在第一象限交点的横坐标． 20.（1）①A C x ⊥轴，A E y ⊥轴，∴四边形AE O C 为矩形． BF x ⊥轴，B D y ⊥轴，∴四边形BD O F 为矩形．A C x ⊥轴，B D y ⊥轴，∴四边形A E D K D OC K C F B K ，，均为矩形．1111O C x A C y x y k ===，，，∴11A E O CS O C A C x y k ===矩形2222O F x F B y x yk ===，，，∴22B D O F S O F F B x y k ===矩形．∴A E O C B D O F S S =矩形矩形．A E D K A E O C D O C K S S S =-矩形矩形矩形，C FB K B D O F D OC K S S S =-矩形矩形矩形，∴A ED K C F B K S S =矩形矩形． ②由（1）知，AE D K CF B KS S =矩形矩形．∴A K D K B K C K =．∴AK BKCK DK=． 90A K B C K D ∠=∠=°，∴A K B C K D △∽△．∴C D K A B K ∠=∠．∴A B C D∥．A C y ∥轴，∴四边形AC D N 是平行四边形．∴A N C D =．同理可得B M C D =．A N B M∴=． （2）AN 与BM 仍然相等．A E D K A E O C O D K C S S S =+矩形矩形矩形，B KC F BD O F O D K CS S S =+矩形矩形矩形， 又A E O CB D O F S S k ==矩形矩形，∴A E D K B KC FS S =矩形矩形． ∴A K D K B K C K=．∴CK DKAK BK=． K K ∠=∠，∴C D K A B K △∽△．∴C D K A B K ∠=∠．∴A B C D∥．A C y ∥轴，∴四边形AN D C 是平行四边形．∴A N C D =．同理B M C D =．∴A N B M =【教学标题】反比例函数 【教学目标】1、 提高学生对反比例函数的学习兴趣2、 使学生掌握反比例函数基础知识3、让学生熟练地运用反比例知识【重点难点】图像及性质 【教学内容】反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
9.2 反比例函数与几何综合
综合训练
3 y 如图，一次函数的图象与反比例函数 1 （x＜0）的图象相交 x
a y 轴对称，在 2 （x＞0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于 x 2），过P点作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2， 求P点的坐标．
拓展思维
m 若直线y1=kx＋4 (k＞0) 与反比例函数 y2= x 的
图象一个交点为A(－3，1)，如图. 3 （1）y1=________, x＋ 4 y2=________. x （2）直接写出两函数的另一个交点坐标； y （3）当x取何值时，y1＞y2； N B 3 解：－3＜x＜－1 或x＞0 （4）求△OAB的面积； A 1 解：S △OAB＝4
M -3 -1 O
x
（5）过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线， 两线交于点C． m 若反比例函数 y2= x 的图象与△ABC有公共 点，请直接写出m的取值范围； 解： －9≤m≤－3
能力训练
（2011中考）如图，正比例函数 y1 k1 x 与反比例函数 k2 y2 相交于A、B点。已知点A的坐标为A（4，n）， x BD⊥x轴于点D且 SBDO 4 ，过点A的一次函数 y3 k3 x b 与反比例函数的图象交于另一点C，与x轴 交于点E（5，0）。 （1）求正比例函数 y1 、反比例函数 y2 和一次函数 y3 的解析式； （2）结合图象，求出当
k1 y= k1 > 0 x
于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0），当x＜ －1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞－1时，一次函数值 小于反比例函数值． （1）求一次函数的解析式；
3 a （2）设函数 y2 x （x＞0）的图象与 y1 x （x＜0）的图象关于y
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C．若 AB=AC，则 k 的值为__________．
第 1 题图
第 2 题图
2. 如图，直线 y 1 x 与双曲线 y k （k＞0，x＞0）交于点 A，
2
x
将直线 y 1 x 向上平移 4 个单位长度后，与 y 轴交于点 C， 2
与双曲线 y k （k＞0，x＞0）交于点 B．若 OA=3BC，则 k x
反比例函数特征的常见用法 ①利用反比例函数表达式，设点坐标． ②利用几何特征表达出坐标之后，代入到反比例函数表达式 中列方程求解． ③同一反比例函数上有两个点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1y1=x2y2．常用同一个未知数表达出两点坐标后列方程 求解． ④同一反比例函数上有两个点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1 y2 ．如果两个点的横坐标（纵坐标）有比例关系，
10. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，AB∥x 轴，AD∥y 轴， 顶点 A 恰好落在双曲线 y 1 上，边 CD，BC 分别交该双曲 2x 线于点 E，F，若线段 AE 过原点，则△AEF 的面积为______．
4
11. 如图，直线 y=-x+3 与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y k （k x
≠0）的图象交于点 C，过点 C 作 CB⊥x 轴于点 B，AO=3BO，
则反比例函数的解析式为（ ）
A． y 4 x
B． y 4 x
C． y 2 x
D． y 2 x
第 11 题图
第 12 题图
12. 如图，已知点 A 在反比例函数 y k （x＜0）上，作 Rt△ABC， x
点 D 为斜边 AC 的中点，连接 DB 并延长交 y 轴于点 E，若
3
9. 如图，将边长为 4 的等边三角形 AOB 放置于平面直角坐标系 xOy 中，F 是 AB 边上的动点（不与点 A，B 重合），过点 F 的反比例函数 y k （k＞0，x＞0）与 OA 边交于点 E，过点 F x 作 FC⊥x 轴于点 C，连接 EF，OF． （1）若 S△OCF= 3 ，求反比例函数的解析式． （2）在（1）的条件下，试判断以点 E 为圆心，EA 长为半径 的圆与 y 轴的位置关系，并说明理由． （3）AB 边上是否存在点 F，使得 EF⊥AE？若存在，请求出 BF:FA 的值；若不存在，请说明理由．
1 EF BC 3 OB 2 ，
2
4
解得，EF= 3 ， 2
在 Rt△BFE 中，可求得 BF 1 ，则 OF 2 1 3 ；
2
22
即 E( 3， 3 )，所以 k 3 3 ．
22
4
1
巩固练习
1. 如图，直线 y 1 x 1 与反比例函数 y k （x＜0）的图象交
2
x
于点 A，与 x 轴交于点 B，过点 B 作 x 轴的垂线交双曲线于点
△BCE 的面积为 8，则 k=__________．
13. 如图，在 x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点 O 按顺时针方向旋
转．若∠BOA 的两边分别与函数 y 1 ， y 2 的图象交于
x
x
B，A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）
A．逐渐变小
B．逐渐变大
C．____________．
3. 如图，A，B 是双曲线 y k （k＞0）上的点，且 A，B 两点的 x
横坐标分别为 a，2a，线段 AB 的延长线交 x 轴于点 C．若
S△AOC=6，则 k=________．
第 3 题图
第 4 题图
4. 如图，已知平行四边形 AOBC，对角线相交于点 E，双曲线
y k （k＞0）经过 A，E 两点．若平行四边形 AOBC 的面积 x
为 18，则 k=__________．
2
5. 如图，正方形 ABCD 的顶点 B，C 在 x 轴的正半轴上，反比 例函数 y k （k≠0）在第一象限的图象经过顶点 A(m，2)和 x CD 边上的点 E(n， 2 )，过点 E 的直线 l 交 x 轴于点 F，交 y 3 轴于点 G(0，-2)，则点 F 的坐标是_________．
x2 y1 那么对应的纵坐标（横坐标）也有比例关系．
6
【参考答案】
1. -4
2.
9 2
3. 4
4. 6
5. (9 ，0) 4
6. 2
7. -9
8. 3
9. （1） y 2 3（x 0）； x
点 E 为等边三角形与反比例函数图象的交点，为关键点；要 k
求 k，准备求解点 E 的坐标或相关的 ． 2
2. 考虑将函数特征与几何特征进行转化、组合，列方程求解． ①整合条件． 考虑通过横平竖直的线，将函数特征和几何特征结合起来： 过点 E 向 x 轴作垂线，垂足为 F． ②尝试将几何条件与横平竖直的线结合起来使用． EF 和 OF 不能直接与 S△ADE=S△OCD 产生联系；转为尝试将等 边三角形 ABO 与 S△ADE=S△OCD 相结合，即将 S△ADE=S△OCD 转化 为 S△ABO=S△BCE 进行使用． ③列方程求解．
反比例函数与几何综合（习题）
例题示范
例 1：如图，等边三角形 ABO 的顶点 B 的坐标为(-2，0)，过 点 C(2，0)作直线 CE，交 AO 于点 D，交 AB 于点 E，点 E 在 反比例函数 y k （x＜0）的图象上．若 S△ADE=S△OCD，则
x k=__________．
【思路分析】 1. 读题标注，找关键点．
7. 如图，直线 y 3 x 6 与双曲线 y k （x＜0）相交于 A，B
4
x
两点，与 x 轴、y 轴分别交于 D，C 两点．若 AB=5，则 k=____．
第 7 题图
第 8 题图
8. 如图，双曲线 y k 经过点 A(2，2)与点 B(4，m)，则△AOB x
的面积为___________．
第 5 题图
第 6 题图
6. 如图，双曲线 y 2 （x＞0）经过四边形 OABC 的顶点 A，C， x
∠ABC=90°，OC 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角，AB∥x 轴．将
△ABC 沿 AC 翻折后得△AB′C，且点 B′恰好落在 OA 上，则
四边形 OABC 的面积为__________．