安徽省马鞍山市第二中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学理 含答案

马鞍山市第二中学2012—2013学年度第二
学期期中素质测试
高 二 理 科 数 学 试 题
命题人唐万树 审题人张以虎
一、选择题（每小题5分， 从四个选项中选出一个正确的选项，共50分.）
1。

已知复数z 的实部是2，虚部是1-，若i 为虚数单位，则1i z += 311311...1.55
55
3
3
A i
B i
C i
D i ++++
2．数列2,5,10,17,,37,x …中的x 一个值等于
A ．28
B ．29
C ．26
D ．27
3. 一个物体的运动方程为2
1t t s =-+其中s 的单位是米，t 的单位是秒，
那么物体在3秒末的瞬时速度是
A ．
5米/秒 B ．6米/秒 C ．7米/秒 D ．8米/秒
4．如果128,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则
A ．5184a a a a >
B ．5184a a a a =
C ．5184a a a a <
D ．5184a a a a +>+ 5。

若函数2
()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，
则函数()f x '的图象是
6。

()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足()()f x g x ''=，
()g x 满足
A ．()f x =()g x
B ．()f x =()0g x =
C ．()f x -()g x 为常数函数
D ．()f x +()g x 为常数函数 7. 函数x
x y ln =的最大值为
A ．1
-e B ．e C ．2
e D ．3
10
8。

若,,x y R ∈则"1"xy ≤是2
2"1"x
y +≤成立的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 9。

若方程2|4|x x m +=有实数根，则所有实数根的和可能为 .2,4,6.4,5,6.3,4,5.4,6,8A B C D ------------ 10. 给出下面结论：
(1）命题2:",320"p x R x x ∃∈-+≥的否定为2:",320"p x R x x ⌝∀∈-+<；
（2）若p ⌝是q 的必要不充分条件,则p 是q ⌝的充分不必要条件； （3）“M N >”是“ln ln M N >”成立的充分不必要条件；
(4） 若,,A B C 是ABC ∆的三个内角，则“A B >”是“sin sin A B >”成立的充要条件。

其中正确结论的个数是
.4
.3
.2
.1A B C D
二、填空题（每小题5分，共25分) 4π
12. 从2
2
2
576543,3432,11=++++=++=… 中得出的一般性结论是
∆
13. 若复数z 满足: 13,i z z =+- 则z =
∆
14。

定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0,x f x '+<若2
0.5
1(log
3),(()),3
a f
b f =-= (ln 4),
c f =则,,a b c 的大小关系是
∆
15。

对正整数n ，设曲线)
1(x x
y n
-=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标
为n
a ，则数列
1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是∆
三、解答题（共75分） 16. (本题满分12分） 已知,a b c >> 求证:
114.a b b c a c
+≥---
17. （本题满分12分)
如图,一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大,并求出此最大值？
18. (本题满分12分）
在数列{}n
a 中，1
a =1，1*1
(21)()n n n a
ca n c n N ++=++∈,其中实数0c ≠。

（I) 求2
3
4,,a a
a ；
(Ⅱ)猜想{}n
a 的通项公式, 并证明你的猜想.
19. （本题满分12分） 已知c bx ax x f ++=24
)(的图象经过点(0,1)，
且在1x =处的切线方程是2y x =-. （I ）求)(x f y =
的解析式；
（Ⅱ）求)(x f y =
的单调递增区间.
已知数列{}n
a 中，111,n n
a
a a c a +==-
.
（Ⅰ)设12,
1
n n a c b a ===
-，求数列{}n
b 的通项公式；
（Ⅱ)设1,a =求证:{}n
a 是递增数列的充分必要条件是2c > 。

21．(本题满分1４分）
已知函数2()x
f x e
ax =-．
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
(Ⅱ) 若存在实数(]1,1x ∈-，使得()f x a <成立，求实数a 的取值范围．
马鞍山市第二中学2012—2013学年度第二学期期中素质测试
高 二 数 学 答 题 卷
一、选择题(50分）
二、填空题(25分）
11。

12.
三、解答题（75分)
16.（本题满分12分）解：
17. (本题满分12分）解：
18。

(本题满分12分)解：（I）
(Ⅱ)
19. (本题满分12分）解：（I)
（Ⅱ）
20.（本题满分13分)解：（I）
(Ⅱ)
21．(本题满分14分）解：（I）
(Ⅱ）
数学参考答案一、选择题（50分)
11. 2
12。

2*
1......32(21),n n n n n N ++++-=-∈
13。

43i -+ 14.
c b a
<< 15。

122n +-
三、解答题（12分+12分+12分+12分+13分+14分） 16. 解：【综合法】：a c a c a b b c a b b c
a b b c a b b c
---+--+-+=+----
224b c a b a b b c --=++≥+=--,()a b c >>
1144,.a c a c a b b c a b b c a c
--∴+≥∴+≥----- …………12分
【分析法】只要证
4a c a c
a b b c --+≥-- 2()4a c a c a b b c a b b c b c a b
a b b c a b b c a b b c ---+--+---+=+=++≥------成立
114a b b c a c ∴+≥---成立.（其它方法略）…………12分
17. 解：设小正方形的边长为x 厘米,则盒子底面长为82x -,宽为52x - 3
2(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+（5
02
x <<)……. 6分
'2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或，10
3
x =（舍去)
(1)18
V
V ==极大值
，在定义域内仅有一个极大值，
18V ∴=最大值
故，小正方形边长为1时,盒子体积最大为18 …………. 12分
18. 解：(Ⅰ）由1221
1211,(21)33,n n n a a ca n c a ca c c c ++==++⇒=+=+
332443324358,715;a ca c c c a ca c c c =+=+=+=+
…………6分
（Ⅱ） 猜想:21(1);n n n
a
n c c -=-+
①当1n =时，21111
1(11)a
c c -==-+，猜想成立；
②假设n k =时，猜想成立，即：21(1)k k k
a k c c -=-+，
则1n k =+时，1211
1(21)[(1)](21)k k k k k k
a
ca k c c k c c k c +-++=++=-+++
=2121(1)1(121)[(1)1]k k k k k
k c c k c c +++--+++=+-+
猜想成立。

综合①②可得对*n N ∈，21(1)n n n a n c c -=-+成立. …… 12分
19解：（I)c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1),则1c =，
'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=
切点为(1,1)-，则c bx ax
x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-
得1,a b c ++=- 综上59,22a b ==-得 故,4259()12
2f x x x =-+…………6分
（Ⅱ）'3()1090,0,f x x x x x =-><<>或
单调递增区间为(()1010-+∞ …………12分
20解：（Ⅰ)
111211n n n n a a c a a a +-==⇒-=-= 1111
111111111111
n n n n n n n a a a a a a a +++∴=⇒=+⇒-=------ {}n b ∴ 是公差为1的等差数列， 又11111121n b b n a ===∴=-- ………… 6分
（Ⅱ）证明:“必要性”
数列{}n a 递增⇒21a a >
12111,111 2.a a c c c c a ==-=-∴->⇒> ………… 9分
“充分性”
以下用“数学归纳法”证明,2c >时，*1()n n a a n N +>∈成立
①1n =时，12211
12,1,10c a a c c a a a >==-
=-⇒>>成立； ②假设10(1,)k k a a k k N +>>≥∈成立， 则111k k
a a +< 那么21111k k k k a c c a a a +++=->-= 即1n k =+时,1n n a a +>成立
综合①②得*1()n n a
a n N +>∈成立。

即2c >时，{}n a 递增， 故，充分性得证。

………… 13分
21. 解:(Ⅰ）2()2,x f x e
a '=- （ⅰ）当0a ≤时, ()0,f x '> ∴()f x 的单调递增区间是（,-∞+∞). (ⅱ） 当0a >时,令()0,f x '=得1ln 22
a x = 当1ln 22a x <时，()0,f x '< 当1ln 22
a x >时，()0.f x '> ()f x ∴的单调递减区间是
1(,ln )22a -∞,()f x 的单调递增区间是1(ln ,)22a +∞.…………6分
(Ⅱ）由()f x a <,∴2,x e
ax a -< 2(1),x a x e +> 由(1,1]x ∈-得 10x +>. 21
x
e a x ∴>+ ∴设2()1x e g x x =+,若存在实数(1,1]x ∈-，使得()
f x a <成立， 则a >min
().g x …… 10分
22(21)(),(1)x e x g x x +'=+ 由()0,g x '= 得12
x =-, ∴当112x -<<-时, ()0,g x '< 当112x -<≤时， ()0,g x '>
∴()g x 在1(1,)2--上是减函数,在1(,1]2-上是增函数. min 12()()2g x g e
∴=-= a ∴的取值范围是（2,e +∞)。

………………………………………
14分。