(新高考)2020版高考数学二轮复习主攻36个必考点三角函数与解三角形(五)课件文

法二：利用正弦定理 由(1)知 C＝π3，所以 A＋B＝23π，即 A＝23π－B. 因为 c＝4，所以△ABC 外接圆的直径 2R＝sinc C＝ 4π＝
sin3 83
3. 由正弦定理可得 a＝2Rsin A＝2Rsin23π－B，b＝2Rsin B.
故该三角形的面积
S ＝ 12 absin
[把脉考情] 1.三角形中基本量的计算
考什 2.三角形中的最值、范围问题
么 3.解三角形在平面图形中的应用
考多 一般与数列解答题轮流占据第 17 题的位置，中等难 深 度，分值 12 分
与三角函数性质、三角恒等变换结合进行命题，注意 考多
函数与方程思想、数形结合思想的应用，考查数学运 宽
算、逻辑推理的核心素养
(1)若 AC＝ 5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC＝π6，CD＝4，求 sin∠CAD.
[解] (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－ 2AB·BC·cos∠ABC，
即 5＝1＋BC2＋ 2BC，解得 BC＝ 2， 所以△ABC 的面积 S△ABC＝12AB·BC·sin∠ABC＝12×1× 2 × 22＝12. (2)设∠CAD＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得，sin∠ACADC ＝sin∠CDCAD，即sAinCπ6＝sin4 θ，①
由正弦定理可得 sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，
即 sin(A＋B)＝2sin Ccos C，sin C＝2sin Ccos C，
又 sin C≠0，所以 cos C＝12，故 C＝π3.
(2)法一：利用余弦定理 由(1)知 C＝π3，所以△ABC 的面积 S＝12absin C＝ 43ab，故 只需求 ab 取最大值时 b 的值． 由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C，即 16＝a2＋b2－ab， 结合基本不等式 a2＋b2≥2ab，可得 ab≤16，当且仅当 a ＝b＝4 时取等号， 所以当△ABC 的面积取最大值时，b＝4.
又
a＝2，所以
b＝4
3
3 sin
B，c＝4
3
3 sin
C＝4
3
3·sin23π－B，
故
b
＋
c
＝
43 3
sin
B
＋
43 3
sin
23π－B
＝
43 3
×32sin B＋ 23cos B＝4sinB＋π6. 因为 0<B<23π，故π6<B＋π6<56π，
三角形中基本量的计算
[典例 1] (2019·南阳一中检测)在△ABC 中，内角 A，B， C 所对的边分别为 a，b，c，且 sin B(acos B＋bcos A)＝ 3ccos B. (1)求 B；
(2)若 b＝2 3，△ABC 的面积为 2 3，求△ABC 的周长．
[解] (1)由题意及正弦定理得 sin B(sin Acos B＋sin Bcos A)＝ 3sin Ccos B， ∴sin Bsin(A＋B)＝sin Bsin C＝ 3sin Ccos B， ∵C∈(0，π)，∴sin C>0， ∴sin B＝ 3cos B，∴tan B＝ 3. 又∵B∈(0，π)，∴B＝π3.
主攻 36 个必考点(五) 解三角形
1．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 asinA＋2 C＝bsin A.
(1)求 B； (2)若△ABC 为锐角三角形，且 c＝1，求△ABC 面积的取 值范围．
(1)由题设及正弦定理得 sin AsinA＋2 C＝sin Bsin A. 因为 sin A≠0，所以 sinA＋2 C＝sin B. 由 A＋B＋C＝180°，可得 sinA＋2 C＝cosB2， 故 cos B2＝2sinB2cosB2. 因为 cosB2≠0，所以 sinB2＝12，所以 B＝60°.
所以12<sinB＋π6≤1，b＋c∈(2,4]． 所以△ABC 的周长的取值范围为(4,6]．
增分方略 三角形中最值、范围问题的解题思路 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边 作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系， 将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围 限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就 是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
在△ABC 中，∠BAC＝π2－θ，∠BCA＝π－34π－π2－θ＝θ
－π4，由正弦定理得sin∠ACABC＝sin∠ABBCA，
即siAnC34π＝sinθ1－π4，②
3π
4
sin ①②两式相除，得
4 π
＝
sin θ 1
，
sin6 sinθ－π4
即 4 22sin θ－ 22cos θ＝ 2sin θ，整理得 sin θ＝2cos θ.又 sin2θ＋cos2θ＝1，故 sin θ＝255，即 sin∠CAD＝255.
(1)求 A； (2)求△ABC 的周长的取值范围． [解] (1)在△ABC 中，由正弦定理及已知得(a＋b)·(a－b) ＝(c－b)c，化简得 b2＋c2－a2＝bc，所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12， 又 0<A<π，所以 A＝π3.
(2)在△ABC 中，由正弦定理得sianπ3＝sinb B＝sinc C，
[提醒] (1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范 围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可 以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如 A＋B＋C＝π，0<A<π，b－ c<a<b＋c，三角形中大边对大角等．
以平面几何为载体的解三角形问题
[典例 4] (2019·佛山质检)如图，在平面四 边形 ABCD 中，∠ABC＝34π，AB⊥AD，AB＝ 1.
(2)∵S△ABC＝12acsin B＝ 43ac＝2 3，∴ac＝8. 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accosπ3， 即 12＝a2＋c2－2×8×12＝a2＋c2－8， ∴a2＋c2＝20， ∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝36，∴a＋c＝6. 又∵b＝2 3，∴△ABC 的周长为 6＋2 3.
(2)由题设及(1)知△ABC
的面积
S△ABC＝
3 4 a.
由(1)知 A＋C＝120°，
由正弦定理得 a＝cssiinnCA＝sin1si2n0°C－C＝2tan3 C＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故 0°<A<90°，0°<C<°<C<90°，
增分方略 用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
三角形中最值、范围问题
[典例 2] (2019·南平质检)已知△ABC 的内角 A，B，C 的
对边分别为
a，b，c，若acos
2c B＋bcos
A＝co1s
C，c＝4.
(1)求 C；
(2)当△ABC 的面积取最大值时，求 b 的值．
[解](1)由题意知，acos B＋bcos A＝2ccos C，
所以12<a<2，从而
3 8 <S△ABC<
3 2.
因此△ABC 面积的取值范围是 83， 23.
2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中，∠ADC＝90°， ∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求 cos∠ADB； (2)若 DC＝2 2，求 BC. 解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得sinBD∠A＝sin A∠BADB，
sin2B－π6＋12， 所以当 2B－π6＝π2，即 B＝π3时，面积取得最大值，
此时 A＝23π－B＝π3，即△ABC 是等边三角形，
所以 b＝a＝c＝4.
[典例 3] (2019·池州期末)在△ABC 中，内角 A，B，C 的 对边分别为 a，b，c，a＝2 且(sin A＋sin B)(2－b)＝(sin C－sin B)c.
C
＝
1 2
×2Rsin
23π－B
×2Rsin
Bsin π3 ＝
3R2sin
Bsin 23π－B ＝
3 R2sin
B
3 2 cos
B
＋
1 2
sin
B＝
3
R2
3 2 sin
Bcos
B＋12sin2B＝
3R2 3 2 2 sin
2B－12cos 2B＋12＝
3R2 2
增分方略 求解与三角形相关的平面几何问题的策略 一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件 确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交 叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应 用．
(2)由题设及(1)得 cos Bcos C－sin Bsin C＝－12， 即 cos(B＋C)＝－12. 所以 B＋C＝23π，故 A＝π3. 由题设得12bcsin A＝3sian2 A，即 bc＝8. 由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9， 得 b＋c＝ 33. 故△ABC 的周长为 3＋ 33.
即sin545°＝sin
∠2ADB，所以 sin
∠ADB＝
2 5.
由题设知，∠ADB<90°，
所以 cos ∠ADB＝
1－225＝
23 5.
(2)由题设及(1)知，cos
∠BDC＝sin
∠ADB＝
2 5.
在△BCD 中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠BDC
＝25＋8－2×5×2 2× 52＝25， 所以 BC＝5.
3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为3sian2 A.
(1)求 sin Bsin C； (2)若 6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12acsin B＝3sian2 A， 即12csin B＝3sian A. 由正弦定理得12sin Csin B＝3ssiinnAA. 故 sin Bsin C＝23.