【精品学案】湖南2012年高考物理冲刺总复习(新人教版)必修2实验验证机械能守恒定律

第21讲 实验：验证机械能守恒定律
考点1 实验原理的理解
验证思路是比较mgh 与212mv 的数量关系，操作上只需比较gh 是否等于212
v 即可。

1．实验目的
学会用打点计时器验证机械能守恒定律的实验方法和技能。

2．实验原理
在物体自由下落的过程中，只有重力对物体做功，遵守机械能守恒定律，即重力势能的减少量等于动能的增加量．利用打点计时器在纸带上记录下物体自由下落的高度h ，计算出
即时速度v ，便可验证物体重力势能的减少量△Ep ＝mgh 与物体的动能增加量ΔEk ＝mv 2/2
是否相等，即验证gh 是否等于v 2/2．
3．实验器材
铁架台(带铁夹)、打点计时器、重锤(带纸带夹子)、纸带几条、复写纸、导线、直尺、学生电源．
若以重物下落过程中的某一点A 为基准，设重物的质量为m ，测出物体对应于A 点的速度v A ，再测出物体由A 点下落△h 后经过B 点的速度v B ，则在误差允许范围内，由计算得出221()2
B A m v v mg h -=∆，机械能守恒定律即被验证． 【考题1】要确定物体的动能，需测出物体下落一定高度时的速度。

根据已学过的知识，可有三种方法： (1) n n gh v 2=；(2) n n gt v =；(3) T
h h v n n n 211-+-=． 你认为应选择哪种方法求解瞬时速度?请说明理由．
【解析】第(1)种方法是根据机械能守恒定律22
1mv mgh =得到的，而我们的目的是验证机械能守恒定律，显然不能用，根据这一定律得到的结论再去验证之，因而不可取。

第(2)种方法认为加速度为g ，实际上，若物体的运动加速度为g ，则物体的加速度必定守恒，故也同样犯了用机械能守恒去验证机械能守恒的错误。

并且，由于各种摩擦阻力不可避免，所以实际下落加速度必将小于g ，而下落高度h 是直接测量的，这样将得到机械能增加的结论，有阻力作用机械能应是减小的，故这种方法也不能用。

总之，本实验中速度看似有很多方法求得，但正确的只有一种，即从纸带上宜接求出物体实际下落的速度，而不能用理论值计算，同样的道理，重物下落的高度h 也只能用刻度尺直接测量，而不能用22
1gt h =或g v h 22=计算得到。

【变式1—1】在“验证机械能守恒定律”的实验中，下列物理量中要用工具测量的有
( )，通过计算得到的有( )．
A. 重锤的质量 B ．重力加速度 C ．重锤下落的高度 D ．与重锤下落高度对应的重锤瞬时速度
考点2 实验步骤的规范操作
安装好实验器材后，务必先接通电源再释放纸带。

(1)按图22—1把电火花计时器安装在铁架台上，用导线把电火花计时器与学生电源连接好。

(2)把纸带的一端在重锤上用夹子固定好，另一端穿过计时器的限位孔，用手竖直提起纸带使重锤停靠在打点计时器附近。

(3)先接通电源后松手，让重锤带着纸带自由下落。

(4)重复几次，得到3～5条打好点的纸带。

(5)在打好点的纸带中挑选点迹清晰且第一、二两计时点间距离接近2mm 的一条纸带，
在起始点标上0，以后各点依次标上l ，2，3，…，用刻度尺测出对应下落高度h l 、h 2、h 3,…，
(6)应用公式T
h h v n n n 211-+-=计算各点对应的即时速度v 1、v 2、v 3、… (7)计算各点对应的势能减少量mgh n 和动能增量mv 02/2，进行比较，并讨论如何减小误
差．
【考题2】某同学为验证机械能守恒定律设计了如下实验步骤：
A ．用天平称出重物的质量；
B ．把纸带固定到重物上，并把纸带穿过打点计时器，提升到一定高度；
C ．拆掉导线，整理仪器；
D ．断开电源，调整纸带，重做两次；
E ．用秒表测出重物下落的时间；
F ．用毫米刻度尺测出计数点与起点的距离，记录数据，并计算出结果，得出结论；
G ．把打点计时器接到低压交流电源上；
H ．接通电源，释放纸带；
I ．把打点计时器接到低压直流电源上；
J ．把打点计时器固定到桌边的铁架台上．
上述实验步骤中错误的是 ，可有可无的是 ，其余正确且必要的步
骤按实验操作顺序排列是 ．(均只需填步骤的代号)
【解析】上述实验步骤中错误的是E 和I ，因为实验中不需要测定时间，打点计时器应
使用低压交流电源，打点时间间隔为0.02s ，通过计算点数，就可以知道时间。

可有可无的
实验步骤是A ．其余正确且必要的步骤按实验操作顺序排列是．J 、G 、B 、H 、D 、C 、F ．
【答案】见解析．
【变式2—1】验证机械能守恒定律实验装置已安装完毕，请完成如下实验操作：
(1)将纸带穿过打点计时器的 ，纸带下端固定在重锤上，上端用手提住。

(2)接通计时器电源，将纸带从 状态释放。

(3)更换纸带重复几次实验，并从打出的纸带中挑选第一、二点距离接近 mm 且
点迹清楚的纸带进行测量。

考点3 实验注意事项及误差分析
实验时纸带必须从静止状态释放，误差主要来源于测量方面。

1．注意事项
(1)打点计时器安装要稳固，使打点计时器处在竖直平面内，并使两限位孔在同一竖直
线上，以减小摩擦阻力。

(2)实验中，需保持提纸带的手不动，待接通电源、打点计时器工作稳定后才松开纸带
让重物下落。

(3)过程开始和终结位置的选择
实验用的纸带一般短于lm ．从起始点开始大约能打出20个点。

终结位置的点可选择倒
数第一个点或倒数第二个点，从这一个点向前数4～6个点当作开始的点，可以减小这两个
点瞬时速度及两点之间的距离(高度h)的测量误差。

（4)由于221mv mgh =，故实验只需验证22
1v gh =即可，不需要测出物体的质量m ． (5)某时刻瞬时速度的计算应用T h h v n n n 211-+-=，不要用n n gh v 2=来计算． (6)虽然本实验不需要用天平测重锤的质量，但在选取重锤时，仍应选取小而重的重锤，
以减小阻力的影响。

(7)在上面的实验过程中要求“要挑选第一、二两点间的距离接近2mm 的纸带进行计
算”，其实也可以回避起始点，不过机械能是否守恒的表达式就变为：
21222
121mv mv mgh -=，h 为所选的起点到末点的高度差。

(8)测量下落高度时，都必须从起点算起，不能搞错。

为了减小测量h 值的误差，选取
的各个计数点要离起始点远些，纸带也不宜过长。

有效长度最好为60cm ～80cm 之内．
2．误差分析
(1)由于测长度带来的误差属偶然误差，减小办法之一是测距离时都应从0点量起，之
二是多测几次然后取平均值。

(2)实验时重物和纸带下落过程中要克服阻力(主要是打点计时器的阻力)做功，故动能
的增加量△E k 必定稍小于势能的减少量△E p ，这属于系统误差．
(3)再者，交流电的频率f 不是50Hz 也会带来系统误差．若f ＞50Hz ，由于速度值仍按
频率为50Hz 计算，频率的计算值比实际值偏小，周期值偏大，算得的速度值偏小，动能值
也就偏小，使E
K ＜E P 的误差进一步加大；根据同样的道理，若f ＜50Hz ，则
可能出现Ek ＞E ｐ的结果。

【考题3】在用自由落体法验证机械能守恒定律时，某同学按照正确的
操作选得的纸带如图22—9所示，其中O 是起始点，A 、B 、C 、是打点计时
器连续打下的3个点．该同学用毫米刻度尺测量O 到A 、B 、C 各点的距离，并记录在图中(单
位：cm)．
(1)这三个数据中不符合有效数字读数要求的是 ，应记作 cm ．
(2)该同学用重锤在OB 段的运动来验证机械能守恒，已知当地的重力加速度g=9．8m ／
s 2，他用AC 段的平均速度作为跟B 点对应的物体的瞬时速度，则该段中重锤重力势能的减
少量为 J ，而动能的增加量为 J(均保留3位有效数字，重锤质量用m 表示)。

这样验证的系统误差总是重力势能的减少量 动能增加量，原因
是 ．
(3)另一位同学根据同一条纸带，同一组数据，也用重锤在OB 段的运动来验证机械能守
恒，不过他数了一下，从打点计时器打下的第一个点0数起，图中的B 是打点计时器打下的
第9个点，因此他用gt v =计算跟B 点对应的物体的瞬时速度，得到动能的增加量为 J ，这一过程中重力势能的减少量 动能的增加量，原因是 ．
【解析】(1)由于测量长度使用的是毫米刻度尺，读数应读到毫米下一位．故OC 段记录
有错，应为l5．70cm ．
(2)从O 到B 重力势能减少量J J m mgh E OB P 22.11249.08.9=⨯⨯==∆，动能的增加量22
1B K mv E =
∆，由于匀变速直线运动在一段时间内的平均速度等于这段时间内中点时刻的瞬时速度，求出s m s m T l v AC B /55.1/02
.0210)51.970.15(22
=⨯⨯-==-，由此求出J mv E B K 20.1212==∆．可见重锤下落过程中，重力势能的减少量大于动能的增加量，其原因是重物在下落过程中，受到打点计时器及空气的阻力，使得一部分的重力势能转化为
内能，但在误差允许的范围内，可以认为重锤的机械能是守恒的。

(3)若用gt v =计算跟B 点对应的物体的瞬时速度
s m s m v B /57.1/02.088.9=⨯⨯=，则可求得J mv E B K 23.12
12==∆，此过程中重力势能的减少量小于动能的增加量．原因是计算动能增加量时所用的速度值不是实际值，而是用
自由落体这一理想情况所求得的速度，比实际下落的速度要大，故这种计算方法是不可取的。

【答案】 (1)OC ；15．70． (2)1．22m ；1．20m ；大于；纸带受到打点计时器摩擦阻
力及空气的阻力，减少的重力势能一部分转化为内能。

(3)1．23m ；小于；速度。

是按照
自由落体计算出的速度，比实际运动速度要大。

【变式3—1】下列关于“验证机械能守恒定律”实验的实验误差的说法中，正确的是
( )．
A ．重锤质量的称量不准会造成较大误差
B ．重锤质量选用得大些，有利于
减小误差
C ．重锤质量选用得较小些，有利于减小误差 D. 先释前纸带后接通电源会造成
较大的误差。

考点4 数据的处理及结论的得出
1.纸带的选取
关于纸带的选取，我们分两种情况加以说明：
(1)用22
1mv mgh =验证，这是以纸带上第一点(起始点)为基准验证机械能守恒定律的方法。

由于第一点应是重物做自由落体运动开始下落的点，所以应选取点迹清晰且第一、二两点间距离接近2mm 的纸带。

(2)用21222121mv mv mgh -=
验证，这是回避起始点，在纸带上选择后面的某两点验证机械能守恒定律的方法。

由于重力势能的相对性，处理纸带时选择适当的点为基准点，势能的大小不必从起始点开始计算。

这样，纸带上打出起始点0后的第一个0．02s 内的位移是否接近2mm 以及第一个点是否清晰也就无关紧要了。

实验打出的任何一条纸带，只要后面的点迹清晰，都可以用于验证机械能是否守恒。

为此，一般而言，选取纸带的原则是：
(1)点迹清晰；
(2)所打点成一条直线；
(3)第1、2点间距接近2mm ．因为打点计时器的打点时间间隔Δt=0．02s ，则第1、2点间距为mm t g h 202.08.92
1)(2122≈⨯⨯=∆=
,所以应选第1、2间距接近2mm 的． 2．瞬时速度的求解 利用匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于其中间时刻的瞬时速度：
T
h h v n n n 211-+-=
计算得出。

3．结论的得出 本实验要验证的是：P K E E ∆=∆，221mv mgh =．221v gh =我们可以以22
1v 为纵轴，以h 为横轴，建立平面直角坐标系，将实验得到的(h ，221v )描于坐标平面内，然后来拟合这些点，应该得到一条过原点的直线，这是本实验中另一处理数椐的方法。

【考题4】用自由落体法验证机械能守恒定律的实验中：
(1)运用公式22
1mv mgh =对实验条件的要求是 ，为此．所选择的纸带第1、2两点间的距离应接近 ．
(2)若实验中所用重锤的质量m ＝lkg ，打点纸带如图
22—3所示，打点时间间隔为0．02s ．则记录8点时，重
锤速度v B ＝ ，重锤动能E K ＝ ，从
开始下落起至B 点时重锤的重力势能减少量是 ，
由此可得出的结论是 ．
(3)根据纸带算出相关各点的速度v ，量出下落距离h ，则以22
1v 为纵轴、以h 为横轴画出的图象应是图中的( )． 【解析】(1)物体自由下落时，在0.02s 内的位移应为 mm t g h 202.08.92
1)(2122≈⨯⨯=∆=．
(2) s m s m T AC v n /59.0/02
.0210)8.74.31(23
=⨯⨯-==-， 此时重锤的动能J J mv E B K 17.0)59.0(12
12122=⨯⨯==， 物体的重力势能减小量J J mgh E P 17.0106.178.913=⨯⨯⨯==∆-．
(3)由机械能守恒定律可知，22
1mv mgh =，即验证机械能守恒定律成立，只需验证221v gh =即可．如以22
1v 为纵坐标，h 为横坐标，则图象应为过原点，且斜率为g 的直线． 【答案】(1)打第一个点时重物的初速度为零；2mm ．(2)0．59m/s ；0.17J ；0.17J ；机械能守恒。

(3)C
【变式4—1】某同学做“验证机械能守恒定律”的实验时不慎将一条选择好的纸带的前面一部分破坏了，测出剩下的一段纸带上的各个点间的距离如图22—4
所示，已知打点计时器工作频率为50Hz ．重力加速度g ＝9．8m ／s 2．
(1)利用这段纸带说明重锤通过2、5两点时机械能守恒；
(2)分别说明为什么得到的结果是重力势能减少量△E p 稍大于重锤动
能的增加量△E k ．
专项测试
学业水平测试
1．[考点3]在做验证机械能守恒定律实验时，以下说法正确的是( )．
A ．选用重物时，选密度较大一些的好
B ．选用重物时，选体积较小一些的好
C ．选用重物后要称质量
D ．重物所受重力要远大于它所受的空气阻力和打点计时器对纸带的阻力
2．[考点4]在验证机械能守恒定律的实验中，设重物的质量为m ，它下落距离为h 时速度为v ，考虑到实验中阻力不可避免，则根据实验数据得到的结果，应当有( )．
A ．221mv 正好等于mgh
B ．22
1mv 一定小于mgh C ．221mv 不一定等于mgh D ．22
1mv 一定大于mgh 3．[考点2、3 ]在“验证机械能守恒定律”的实验中，要验证的是重物重力势能的减少等于它动能的增加，以下步骤仅是实验中的一部分，在这些步骤中多余的或错误的有
( )．
A ．用天平称出重物的质量
B ．把打点计时器固定到铁架台上，并用导线把它和低压交流电源连接起来
C ．把纸带的一端固定到重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔，把重物提升到一定高度
D ．接通电源，释放纸带
E ．用秒表测出重物下落的时间
4．[考点4]如图所示是用自由落体法验证机械能守恒定律时得到的一条纸带，我
们选中N 点来验证机械能守恒定律．下举出一些计算N 点速度的方法，其中正确
的是( )．
A ．N 点是第n 个点，则v N ＝ngT B. N 点是第n 个点。

则v N ＝(n-1)gT C. T l l v n n N 21++= D ．T
h h v n n n 211-+-= 5．[考点2、3]在验证机械能守恒定律的实验中，若已知打点计时器打点的时间间隔T ＝0．02s ，在所打出的纸带中挑选出第１、2点间的距离接近2mm 的纸带，如图所示，实验中重物夹在纸带的 端。

某同学利用第l 个点和第11个点来验证重物运动过程中机
械能是否守恒，他所采取的步骤有：
①用刻度尺测量第1个点到第1l 个点间的距离h ；
②计算出笫1个点到第11个点间的时间间隔，得出运动时间t ＝10T ，利用v ＝gt 求得打
第ll 个点时的瞬时速度v ；
③根据机械能守恒定律22
1mv mgh ，该实验无需测量重物的质量，只需利用上述h 与v ，来验证此过程中重力势能的减少量与动能的增加量是否相等．
上述步骤中有明显错误的是第 步，应改为 ．
6．[考点l 、2、3、4] 在“验证机械能守恒定律”的实验中，(1)从下列器材中选出实验所必需的器材，其编号为 ．
A ．打点计时器(包括纸带)
B 重锤
C ．天平
D ．毫米刻度尺
E ．秒表
F ．小车
(2)打点计时器的安装放置要求为 ；
开始打点计时的时候，应先 ，然后 ．
(3)计算时对所选用的纸带要求是 ．
(4)实验中产生的系统误差的主要原因是 ，
使重锤获得的动能往往 ．为减小误差，悬挂在纸带上的重锤应选择 。

(5)如果以22
1v 为纵轴，以h 为横轴，根据实验数据画出的图线是 ，该线的斜率等于 ．
7．[考点2、3、4]在“验证机械能守恒定律”的实验中，打点计时器所用电源频率为
50Hz ，当地重力加速度的值为9．80m ／s 2，测得所用重物的质量为1．00kg ．甲、乙、丙三
学生分别用同一装置打出三条纸带。

量出各纸带上第l 、2两点间的距离分别为0．18cm 、0．19cm 和0．25cm 。

可见其中肯定有一位学生在操作上有错误，错误操作是
若按实验要求正确地选出纸带进行测量。

量得连续三点A 、B 、C 到第一个
点的距离如图所示(相邻计数点间时间间隔为0．02s)．那么：
(1)纸带的 端与重物相连；
(2)打点计时器打下计数点B 时，物体的速度为v ＝ ；
(3)从起点O 到打下计数点B 的过程中重力势能减少量是△E P ＝ ．此过程中物
体动能的增加量ΔE k ＝ (g 取9．8m ／s 2)；
(4)通过计算．数值上△E p △E K(填“＞”、“＝”或 “＜”)，这是因为 ；
(5)实验的结论是 ．
高考水平测试
1．[考点4]用打点计时器和重物在自由下落的情况下验证机械能
守恒定律的实验中，电源频率为50Hz ．依次打出的点为 0、1、
2、3、4．则
(1)在图中两条纸带中应选取的纸带是 ，因
为 。

(2)如从起点0到第3点之间来验证，必须测量和计算出的 物
理量为 ，验证的表达式
为 ．
2．[考点4]某同学做“验证机械能守恒定律”的实验时，不慎将
选好纸带的前面一部分破坏了，剩下的一段纸带上各相邻点间的
距离已测出标在图上．已知打点计时器的工作频率为50Hz ，
重力加速度g 取9．80m ／s 2，利用这段纸带能否验证机械能
守恒定律?如何验证?
3．[考点4]如图(b)所示,用包有白纸的圆柱棒替代纸带和重
物，将蘸有颜料的毛笔固定在马达上并随之转动，使之替代打
点计时器。

当烧断挂圆柱捧的线后，圆柱棒竖直自由落下，毛
笔就在圆柱棒白纸上画出记号，如图(a)所示，测得记号之间
的距离依次为26mm、42mm、58mm、74mm、90mm、106mm，已知
马达铭牌上有“l440r／min”字样．请说明如何由此验证机械
能守恒．
4．[考点4]用气垫导轨装置验证机械能守恒定律，先非常仔细地把
导轨调成水平，然后如图所示用垫块把导轨一端垫高H．滑块m上
面装L＝3cm的挡光框，使它由轨道上端任一处滑下，测出它通过光
电门G1和G2时的速度v1和v2，就可以算出它由G l到G2这段过程中
动能的增加量△E k；再算出重力势能的减少量△E p；比较△E k与△E p
的大小，便可验证机械能是否守恒．
(1)滑块的速度v1、v2如何求出?滑块通过G l时的高度h如何求出?
(2)若测得L＝1m，s＝0．5m，H＝20cm，m＝500g，滑块通过G1和G2的时间分别为5×10-2s 和2×10-2 s，
当地重力加速度g＝9．80m／s2，试判断机械能是否守恒。

5．[考点4]如图所示，两个质量各为m1和m2的小物块A和B，分别系在一条跨过定滑轮的
软绳两端，已知m1＞m2，现要利用此装置验证机械能守恒定律。

(1)若选定物块A从静止开始下落的过程进行测量．则需要测量的物理量有．
①物块的质量m1、m2；
②物块A下落的距离及下落这段距离所用的时间；
③物块B上升的距离及上升这段距离所用的时间；
④绳子的长度．
(2)为提高实验结果的准确程度，某小组同学对此实验提出以下建议：
①绳的质量要轻；②在“轻质绳”的前提下，绳子越长越好；③尽量保证物块只沿竖直方向运动，不要摇晃；④两个物块的质量之差要尽可能小．
以上建议中确实对提高准确程度有作用的是．
(3)写出一条上面没有提到的对提高实验结果准确程度有益的建议：．
第22讲能量守恒定律能源与可持续发展
考点l 能量守恒定律
每一种力做功对应一种形式能量的转化或转移，且总量保持不变。

能量守恒定律：不同形式的能量之间可以相互转化，且转化过程中总量保持不变。

也就是说当某个物体能量减少多少时，一定存在其他物体能量增加多少，故能量不可能在转化的过程中增加，即能量不会无中生有，只会从一种形式转化为另一种形式或从一个物体转移到另一个物体。

定律表达式：E初＝E终；或△E增＝△E减。

【考题1】“和平号”空间站已于今年3月23日成功地坠落在南太平洋海域。

坠落过程可简化为从一个近圆轨道(可近似地看做圆轨道)开始，经过与大气摩擦，空间站的绝大部分经过升温、熔化，最后汽化而销毁，剩下的残片坠人大海。

此过程中，空间站原来的机械能中，除一部分用于销毁和一部分被残片带走外，还有一部分能量E’通过其他方式散失(不考虑
坠落过程中化学反应的能量)．
(1)试导出用下列各物理量的符号表示散失能量E ’的公式．
(2)算出E ’的数值(结果保留两位有效数字)．
坠落开始时空间站的质量M ＝1.17×105kg ； 轨道离地面的高度h ＝146km ；
地球半径R ＝6．4×106m ； 坠落空间范围内重力加速度可看做g ＝10m/s 2；
入海残片的质量m ＝1.2×104kg ； 入海残片的温度升高△T ＝3000K ；
入海残片的入海速度为声速v ＝340m ／s ； 空间站材料每l kg 升温１K 平均所需能
量c ＝1．0×l03J ；
每销毁lkg 材料平均所需能量μ＝1.0×l07J ．
【解析】(1)根据题给条件，从近圆轨道到地面的空间中重力加速度g ＝l0m/s 2．若以地面
为重力势能零点，坠落过程开始时空间站在近圆轨道的势能 E p ＝Mgh ． ①
以v 表示空间站在近圆轨道上的速度，由牛顿定律可得 Mg r
v M =2
． ② 其中r 为轨道半径．若以R 地表示地球半径，则 r ＝R 地十h ③
由②③两式可得空间站在近圆轨道上的动能 2
)(h R Mg E K +=
地． ④ 由①④式得，在近圆轨道上空间站的机械能 )2
32(h R Mg E +=地． ⑤ 在坠落过程中，用于销毁部分所需的能量 μ）（汽m M Q -=． ⑥ 用于残片升温所需的能量 t cm Q ∆残． ⑦
残片的动能 22
1mv E =
残． ⑧ 以E ’表示其他方式散失的能量，则由能量守恒得 E Q E Q E '+++=残残汽．
由此得 T cm mv M E ∆--+='221m)-(M -h)21R 21g(μ地． (2)以题中数据代入可求得 E’＝2．9×1012
J 。

【变式1】有一小型水电站如图23一1所示，水库的水面到发电
机进水管口的竖直高度为40m ．已知发电机出水管的直径为lm ．不计
流水在管中受到的阻力，发电机正常工作时，出水管流出的水速恒为
4m/s ，重力加速度g 取10m ／s 2，水的密度取103kg ／m 3．若发电机的
发电效率为75％，试求此发电机的发电功率．
考点2 功能关系
功能关系就本质而言仍是能量守恒定律的体现，运用功能关系解题将比用动能定理、机械能守恒定律更简捷。

功和能的关系：做功的过程就是能的转化过程，做了多少功，就有多少能量发生了转化，所以功是能量转化的量度．
常用的功能关系．
①物体的合外力做功量度其动能的改变，即 12K K K E E E W -=∆=；
②物体的重力做功量度其重力势能的变化。

重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加；即21P P P G E E E W -=∆-=．弹力做功与弹性势能的变化关系与此类似； ③一对滑动摩擦力做功之和量度因摩擦产生的内能，即FL ＝Q ，L 为相对滑动的距离；
④除重力(或弹簧弹力)以外的其他力对物体(或系统，包括弹簧)所做的功等于物体(或系统)机械能的改变量，即12E E W -=其他．
【考题2】一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的，在井口固定地插着一根两端开口的薄壁圆管。

管和井共轴，管下端未触及井底。

在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。

开始时，管内外水面相齐，活塞恰好接触水面。

如图23—2
所示．现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F ，使活塞缓慢向上移动。

已知管筒半
径r ＝0.100m ，井的半径R ＝2r ，水的密度ρ＝1．O0×l03kg/m 3，大气压P 0＝1．O0×105Pa ．求
活塞上升H ＝9．00m 的过程中拉力F 所做的功。

(井和管在水面以上及水面以下的部分都足
够长，不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g 取10m ／s 2)
【解析】从开始提升到活塞升至内外水面高度差为m g
p h 1000==ρ的过程中，活塞始终与管内液体接触，(再提升活塞时，活塞和水面之间将出现真空，另行讨论) 设活塞上升距离为h 1，管外液面下降的高度为h 2，由图23—3可知210h h h +=． ① 因为水的体积不变，所以有 12
222)(h r h r R ππ=-． 又 R ＝2r ， 整理得 123
1h h =
． ② 联立①②两式得 m h h 5.74301==． ③ 由于题中所给已知条件中活塞上升高度H ＝9m ＞h 1，所以可判知管内水面上升7．5m ，水面上部还有H 一h 1＝1．5m 的真空。

又因为活塞是缓慢上升，动能不变，所以水的机械能的增量等于其重力势能的增量。

取最后管外的水面为参考面，则上升的那部分水(12h r m πρ=)在初位置的重力势能 22121h g h r E P ⋅
=πρ， 在末位置的重力势能 )2
(
21122h h g h r E P +=πρ， 所以这部分水重力势能的增量 20201222112128
32)22(
gh r h g h r h h h g h r E E E P P P πρπρπρ==-+=-=∆ ④ 因为管内、外大气压力做的总功为0)(1202220=⋅--⋅h r p h r R p ππ，所以外力做的功就是拉力做的功，由功能关系得 J g
p r gh r E W P 420220211018.18383⨯===∆=ρππρ ⑤ 活塞从h 1移到H 的过程中，液面不变，F 克服大气压力做的功
J h H r p W 312021071.4)(⨯=-=π．
故所求拉力F 做的功 W ＝W 1＋W 2＝1.65×104
J ．
［变式2—1］如图23—4所示，在水平地面上平铺n 块砖，每块砖的质量为m ，厚度为h ，如果将砖一块一块地叠放起来,人至少需要对砖做多少功?
考点3 传送带问题
传送带问题的求解有两大关键：一是物件在不同阶段运动状态的把握，另一个是物件运动的位移与传送带的位移的区别。

【考题3】一传送带装置示意如图23—5所示．其中传送带经过AB 区域时是水平的，经过BC 区域时变为圆弧形(圆弧由光滑模板形成，未画出)，经过CD 区域时是倾斜的，AB
和CD 都与BC 相切。

现将大量的质量均为m 的小货箱一个一个在A。