第二节 命题及逻辑联结词

第2课 命题及逻辑联结词
【考点导读】
1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．
2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．
3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量
词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【基础练习】
1.下列语句中：①2
30x -=；②你是高三的学生吗？③315+=；④536x ->．
其中，不是命题的有____①②④_____．
2.一般地若用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q 则p ，否命题可表示为
p q ⌝⌝若则，逆否命题可表示为q p ⌝⌝若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆
否命题．
3.
0=，则0xy =”的逆命题；③
“若0x ≠，则2
0x >”的否命题；④“若方程2
0ax bx c ++=有两个不相等的实根，则0ac <”的逆否命题．其中真命题的序号有____①④____．
4.有下列命题：①2,2340x R x x ∀∈-+>；②{1,0,1},210x x ∀∈-+>；③2,x N x x ∃∈≤使；④
*,29x N x ∃∈使为的约数．其中真命题的序号有___①③④___．
5.对原命题及其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题而言，假命题的个数是____0或2或4___．
6.命题“若0ab =，则a ，b 至少有一个为零”的逆否命题是
． 【范例解析】
例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.
（1） 平行四边形的对边相等； （2） 菱形的对角线互相垂直平分；
（3） 设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+.
分析：先将原命题改为“若p 则q ”，在写出其它三种命题. 解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其对边相等；真命题；
逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；假命题； 否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其对边不相等；假命题；
逆否命题：若一个四边形的两组对边不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题. （2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；
逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；假命题； 否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；假命题；
逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题. （3）原命题：设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+；真命题；
若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠
逆命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +=+，则,a b c d ==；假命题； 否命题：设,,,a b c d R ∈，若a b ≠或c d ≠，则a c b d +≠+；假命题； 逆否命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +≠+，则a b ≠或c d ≠；真命题.
点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p 则q ”的形式，找出其条件p 和结论q ，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p 的否定即p ⌝时，要注意对p 中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.
例2.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假. （1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；
（2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；
（3）p ：方程2
10x x -+=的两实根的符号相同，q ：方程2
10x x -+=的两实根的绝对值相等. 分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假. 解：（1）p 或q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p 且q ：2是4的约数且2是6的约数，真命题； 非p ：2不是4的约数，假命题.
（2）p 或q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p 且q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非p ：矩形的对角线不相等，假命题.
（3）p 或q ：方程2
10x x -+=的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；
p 且q ：方程210x x -+=的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题； 非p ：方程210x x -+=的两实根的符号不同，真命题.
点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p ，q 的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假. 例3.写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （2）p ：每一个非负数的平方都是正数；
（3）p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°； （4）p ：有的四边形没有外接圆； （5）p ：某些梯形的对角线互相平分.
分析：全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是“,()x M p x ∃∈⌝”，特称命题“,()x M p x ∃∈”的否定是“,()x M p x ∀∈⌝” .
解：（1）p ⌝：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题； （2）p ⌝：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；
（3）p ⌝：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题； （4）p ⌝：所有四边形都有外接圆，假命题；
（5）p ⌝：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题. 点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
例4.已知0c >且1c ≠，设:p 函数(21)x y c c =-⋅在R 上为减函数，:q 不等式2(2)1x x c +->的解集为R .若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数c 的取值范围.
分析：由p ，q 为真求出c 的取值范围，结合“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题得出p ，q 一真一假，从而得出c 的取值范围. 解：当p 为真时，
函数(21)x y c c =-⋅在R 上为减函数， 210,1,c c -<⎧∴⎨
>⎩或210,0 1.
c c ->⎧⎨<<⎩得1
1.2c << 当q 为真时，
不等式2(2)1x x c +->的解集为R ，即x R ∈时，22(41)(41)0x c x c --+->恒成立.
22(41)4(41)0c c ∴=--⋅-< ，得5
8
c >.
“p 或q ”为真命题，
“p 且q ”为假命题， ∴当p 为真q 为假时，1
1,2
5.
8c c ⎧<<⎪⎪⎨
⎪≤⎪⎩解得1528c <≤. 当p 为假q 为真时，101,2
5.8c c c ⎧<≤>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩
或解得1c >.
综上所述，实数c 的取值范围是15
(,](1,)28
⋃+∞.
点评：由条件分析得到p ，q 一真一假，学生多会先写命题的假命题，再求c 的取值范围，这样会增加计算量，而且容易出错. 【反馈演练】
1．命题“若a M ∈，则b M ∉”的逆否命题是__________________.2．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则:p ⌝,sin 1x R x ∃∈>.
3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____逆否命题____.
若b M ∈，则a M ∉
4．已知下列四个命题：
①“若1xy =，则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若1m ≤，则方程2
20x x m -+=有实根”的逆否命题； ④“若A B B ⋂=，则A B ⊆”的逆否命题． 其中真命题的是____①②③____.
5．已知全集U R =，A U ⊆
，若命题p A B ⋃，则p ⌝
()()U U
A B ⋂痧.
6．命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为________________________． 7．命题“四边形的内角中至少有一个不大于90°”，下列命题中： ①假设四内角都不大于90°； ②假设四内角都大于90°；
③假设四内角中至多有一个大于90°； ④假设四内角中至多有三个大于90°． 其中正确的命题的否定有_____________．
8．命题:p 方程2
10x mx ++=有两个不相等的实根，命题:q 方程244(2)10x m x +-+=无实根，若
p q ∨为真，p q ∧为假，则实数m 的取值范围______ ___
． 9．设A ，B 为两个集合，下列四个命题：
①A B ⊄⇔对任意x A ∈，有x B ∉； ②A B ⊄⇔A B ⋂=∅； ③A B ⊄⇔B A ⊄
④A B ⊄⇔存在x A ∈，使得x B ∉． 其中真命题的序号有 ．
10．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． （1）设,a b R ∈，若0ab =，则0a =或0b =； （2）设,a b R ∈，若0,0a b >>，则0ab >．
解：（1）逆命题：设,a b R ∈，若0a =或0b =，则0ab =；真命题； 否命题：设,a b R ∈，若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠；真命题； 逆否命题：设,a b R ∈，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠；真命题； （2）逆命题：设,a b R ∈，若0ab >，则0,0a b >>；假命题； 否命题：设,a b R ∈，若0a ≤或0b ≤，则0ab ≤；假命题； 逆否命题：设,a b R ∈，若0ab ≤，则0a ≤或0b ≤；真命题．
11．设命题p ：函数3()()2
x f x a =-是R 上的减函数，命题q ：2
()43f x x x =-+在[0,]a 上的值域为
[1,3]-，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．
解：由3012a <-
<得35
22
a <<， 又2
2
()43(2)1f x x x x =-+=--，在[0,]a 上的值域为[1,3]-，得24a ≤≤． 又“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，
∴当p 为真q 为假时，解得3
22
a <<.
(,2)(1,2][3,)-∞-⋃⋃+∞ ② ④ 若a b ≤，则221a b
≤-
当p 为假q 为真时，解得
5
42a ≤≤. 综上所述，a 的取值范围为35
(,2)[,4]22
⋃.
12．已知命题()r x ：x R ∀∈，都有sin x m >，命题()s x ：x R ∃∈，2
10x mx ++=.若()r x 为假命题且()s x 为真命题，求实数m 的取值范围.
解：当 ()r x 为真命题时，则1m <-，故()r x 为假命题时，得1m ≥-.
当()s x 为真命题时，0∆≥即2
40m -≥，则2m ≤-或2m ≥.
综上，可知[1,2][2,)m ∈--⋃+∞.。