高中数学复习提升-函数的奇偶性与单调性
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函数的奇偶性与单调性
题型一 判断函数的奇偶性
例1 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A .y =1+x 2 B .y =x +1
x
C .y =2x +1
2
x
D .y =x +e x
思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤
(1)下列函数中为偶函数的是( )
A .y =1
x
B .y =lg|x |
C .y =(x -1)2
D .y =2x
(2)函数g (x )=2x -12x +1为________函数(填“奇”或“偶”),函数f (x )=2
2x +1+1的对称中心为
________.
题型二 函数的周期性
例2 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,并且f (x +2)=-1
f (x )
,当2≤x ≤3时,f (x )=x ,则f (105.5)=______.
定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ),当-3≤x <-1时,f (x )=-(x +2)2;
当-1≤x <3时,f (x )=x .则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)=________.
题型三 函数性质的综合应用 命题点1 解不等式问题
例3 (1)已知奇函数f (x )在区间[0,1)上单调递增,则满足f (2x -1)<f (1
3)的x 的取值范围是
________.
(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数,若f (1)<1,f (5)=2a -3
a +1,则实数a 的取值
范围为( ) A .(-1,4) B .(-2,0) C .(-1,0) D .(-1,2)
命题点2 求参数问题
例4 (1)(2016·北京西城区模拟)函数f (x )=lg(a +2
1+x )为奇函数,则实数a =________.
(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f (x )=⎩⎪⎨⎪
⎧
ax +1,-1≤x <0,bx +2
x +1,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 =f ⎝⎛⎭⎫32,则a +3b 的值为________.
(1)若f (x )=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,则a =________.
(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A .f (-25)<f (11)<f (80) B .f (80)<f (11)<f (-25) C .f (11)<f (80)<f (-25) D .f (-25)<f (80)<f (11)
1.抽象函数问题
考点分析抽象函数问题在高考中也时常遇到,常常涉及求函数的定义域,由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以选择题或填空题来呈现,有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象,易失分,应引起足够重视.
一、抽象函数的定义域
典例1已知函数y=f(x)的定义域是[0,8],则函数g(x)=
f(x2-1)
2-log2(x+1)
的定义域为________.
二、抽象函数的函数值
典例2若定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x)>0,f(x+2)=
1
f(x)
,对任意x∈R恒成立,
则f(2 019)等于()
A.4 B.3 C.2 D.1
三、抽象函数的单调性与不等式
典例3设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y).若f(3)=1,且f(a)>f(a-1)+2,求实数a的取值范围.
1.(2016·嘉兴高三上学期期末)下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A .y =ln x B .y =x 3 C .y =x 2
D .y =sin x
2.已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x +4)=f (x ),当x ∈(-2,0)时,f (x )=2x 2,则f (2 019)等于( )
A .-2
B .2
C .-98
D .98
3.已知f (x )=lg(21-x +a )为奇函数,则使f (x )<0的x 的取值范围是( )
A .(-∞,0)
B .(-1,0)
C .(0,1)
D .(-∞,0)∪(1,+∞)
4.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧
cos π6x (0<x ≤8),
log 2x (x >8),则f (f (-16))
等于( )
A .-12
B .-32 C.12 D.3
2
5.(2016·天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a -
1|)>f (-2),则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫-∞,12 B.⎝⎛⎭⎫-∞,12∪⎝⎛⎭⎫3
2,+∞ C.⎝⎛⎭⎫12,32 D.⎝⎛⎭⎫32,+∞
7.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2+2x +1,x >0,a ,x =0,
g (2x ),x <0为奇函数,则a =________,f (g (-2))=________.
8.设f (x )是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=2x (1+x ),则f (-5
2)=________.
9.函数f (x )在R 上为奇函数,且当x >0时,f (x )=x +1,则当x <0时,f (x )=________.
10.(2016·余姚模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增函数.如果实数t 满足f (ln t )+f (ln 1
t )≤2f (1),那么t 的取值范围是________.
11.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪
⎧
-x 2+2x ,x >0,0,x =0,
x 2+mx ,x <0是奇函数.
(1)求实数m 的值;
(2)若函数f (x )在区间[-1,a -2]上单调递增,求实数a 的取值范围.
12.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.。