陕西省商洛市高二数学下学期期末试卷 理(含解析)
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陕西省商洛市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={3,4,5},N={1,2,5},则集合{1,2}可以表示为( )
A.M∩N B.(∁U M)∩N C.M∩(∁U N)D.(∁U M)∩(∁U N)
考点:交、并、补集的混合运算.
专题:集合.
分析:根据元素之间的关系进行求解即可.
解答:解:∵M={3,4,5},N={1,2,5},
∴M∩N={5},(∁U M)∩N={1,2},
M∩(∁U N)={3,4},
(∁U M)∩(∁U N)=∅,
故选:B
点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
2.若z(1+i)=i(其中i为虚数单位),则|z|等于( )
A.B.C.1 D.
考点:复数求模.
专题:数系的扩充和复数.
分析:把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,最后利用复数模的计算公式求模.
解答:解:∵z(1+i)=i,
∴z===﹣,
∴|z|==,
故选:A.
点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.
3.命题“若a>0,则a>1”的逆命题.否命题.逆否命题中,真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
考点:四种命题的真假关系.
专题:阅读型.
分析:因为原命题与它的逆否命题真假相同,故只需写出逆命题,判断原命题和逆命题的真假即可.
解答:解:命题“若a>0,则a>1”是假命题,
它的逆命题为:“若a>1,则a>0”为真命题.
所以在四个命题中真命题的个数是2
故选C
点评:本题考查四种命题的关系、命题真假的判断,属基本题型的考查.在判断命题的真假时,要充分利用“原命题与它的逆否命题真假相同”这一结论.
4.在等差数列{a n}中,已知前15项之和S15=90,那么a8=( )
A.3 B.4 C.6 D.12
考点:等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.
专题:计算题.
分析:由题意可得:S15==90,由等差数列的性质可得a1+a15=2a8,代入可得答
案.
解答:解:由题意可得:S15==90,
由等差数列的性质可得a1+a15=2a8,
故15a8=90,解得a8=6,
故选C
点评:本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.
5.某几何体的三视图如图所示,图中三个正方形的边长均为2,则该几何体的体积为( )
A.B.8﹣2πC.πD.8﹣π
考点:由三视图求面积、体积.
专题:计算题;空间位置关系与距离.
分析:根据三视图可判断正方体的内部挖空了一个圆锥,该几何体的体积为23﹣×π×12×2
运用体积计算即可.
解答:解:∵几何体的三视图可得出:三个正方形的边长均为2,
∴正方体的内部挖空了一个圆锥,
∴该几何体的体积为23﹣×π×12×2=8,
故选:D
点评:本题考查了空间几何体的三视图,运用求解几何体的体积问题,关键是求解几何体的有关的线段长度.
6.已知a=,则展开式中的常数项为( ) A.﹣160π3B.﹣120π3C.2πD.160π3
考点:二项式系数的性质;定积分.
专题:计算题.
分析:根据定积分的几何意义可求a=,然后结合通项求出展开式中的常数项
解答:解:∵y=表示的曲线为以原点为圆心,半径为2的上半圆,
根据定积分的几何意义可得a==2π,
故展开式中的常数项为=﹣160π3,
故选A.
点评:本题主要考查了积分的几何意义的应用及利用通项求解二项展开式的指定项,属于知识的简单综合
7.已知双曲线(a>0)的离心率为,则a的值为( )
A.B.C.D.
考点:双曲线的简单性质.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:直接利用双曲线求出半焦距,利用离心率求出a即可.
解答:解:双曲线,可得c=1,
双曲线的离心率为:,
∴,解得a=.
故选:B.
点评:本题考查双曲线的离心率的求法,双曲线的简单性质的应用.
8.如图,给出的是计算的值的程序框图,其中判断框内应填入的是( )
A.i≤2021B.i≤2019C.i≤2017D.i≤2015
考点:程序框图.
专题:图表型;算法和程序框图.
分析:根据流程图写出每次循环i,S的值,和比较即可确定退出循环的条
件,得到答案.
解答:解:根据流程图,可知
第1次循环:i=2,S=;
第2次循环:i=4,S=;
第3次循环:i=6,S=…
…
第1008次循环:i=2016,S=;
此时,i=2018,设置条件退出循环,输出S的值.
故判断框内可填入i≤2016.
对比选项,
故选:C.
点评:本题主要考察程序框图和算法,属于基础题.
9.已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21 B.42 C.63 D.84
考点:等比数列的通项公式.
专题:计算题;等差数列与等比数列.
分析:由已知,a1=3,a1+a3+a5=21,利用等比数列的通项公式可求q,然后在代入等比数列通项公式即可求.
解答:解:∵a1=3,a1+a3+a5=21,
∴,
∴q4+q2+1=7,
∴q4+q2﹣6=0,
∴q2=2,
∴a3+a5+a7==3×(2+4+8)=42.
故选:B
点评:本题主要考查了等比数列通项公式的应用,属于基础试题.
10.在△ABC中,若sin(A﹣B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是( ) A.等边三角形B.不含60°的等腰三角形
C.钝角三角形D.直角三角形
考点:两角和与差的正弦函数.
专题:三角函数的求值.
分析:利用三角形内角和定理、诱导公式、和差公式即可得出.
解答:解:∵sin(A﹣B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),
∴sinAcosB﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB,
∴sinAcosB+cosAsinB=1,
∴sin(A+B)=1,
∴sinC=1.
∵C∈(0,π),
∴.
∴△ABC的形状一定是直角三角形.
故选:D.
点评:本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
11.在边长为1的正三角形ABC中,设,,则•=( ) A.﹣B.C.﹣D.
考点:平面向量数量积的运算.
专题:平面向量及应用.
分析:根据向量加法及条件便有:,,由条件可得到
三向量的长度及其夹角,从而进行数量积的运算即可.
解答:解:如图,根据条件:
=
===.
故选A.
点评:考查向量加法的几何意义,向量的数乘运算,向量数量积的运算及计算公式,注意正确确定向量的夹角.
12.f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(﹣3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( ) A.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)B.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) C.(﹣3,0)∪(3,+∞)D.(﹣3,0)∪(0,3)
考点:利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的性质.
专题:函数的性质及应用;导数的概念及应用.
分析:构造函数h(x)=f(x)g(x),利用已知可判断出其奇偶性和单调性,进而即可得出不等式的解集.
解答:解:令h(x)=f(x)g(x),则h(﹣x)=f(﹣x)g(﹣x)=﹣f(x)g(x)=﹣h (x),因此函数h(x)在R上是奇函数.
①∵当x<0时,h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,∴h(x)在x<0时单调递增,
故函数h(x)在R上单调递增.
∵h(﹣3)=f(﹣3)g(﹣3)=0,
∴h(x)=f(x)g(x)<0=h(﹣3),
∴x<﹣3.
②当x>0时,函数h(x)在R上是奇函数,可知:h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h(3)=﹣h(﹣3)=0,
∴h(x)<0,的解集为(0,3).
∴不等式f(x)g(x)<0的解集是(﹣∞,﹣3)∪(0,3).
故选:A
点评:本题考查的知识点是函数的单调性与奇偶性,恰当构造函数,熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键
二、填空题(共4题,每题5分,共20分)
13.观察按下列顺序排列的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,…,猜想第n(n∈N*)个等式应为9(n﹣1)+n=(n﹣1)×10+1.
考点:归纳推理.
专题:推理和证明.
分析:根据已知的等式,分析等式两边数的变化规律,利用归纳推理进行归纳即可.
解答:解:∵9×0+1=1,
9×1+2=11=10+1,
9×2+3=21=20+1,
9×3+4=31=30+1,…,
∴由归纳推理猜想第n(n∈N+)个等式应为:9(n﹣1)+n=(n﹣1)×10+1.
故答案为:9(n﹣1)+n=(n﹣1)×10+1.
点评:本题主要考查归纳推理的应用,根据规律即可得到结论,考查学生的观察与总结能力.14.已知a>0,x,y满足若z=2x+y的最小值为1,则a=.
考点:简单线性规划.
专题:计算题;不等式的解法及应用.
分析:由题意得a>0,作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移,可得当x=1且y=﹣2a时z取得最小值,由此建立关于a 的等式,解之即可得到实数a的值.
解答:解:由题意可得:若可行域不是空集,则直线y=a(x﹣3)的斜率为正数时.
因此a>0,作出不等式组表示的平面区域,
得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,2),B(1,﹣2a),C(3,0)
设z=F(x,y)=2x+y,将直线l:z=2x+y进行平移,
观察x轴上的截距变化,可得当l经过点B时,目标函数z达到最小值
∴z最小值=F(1,﹣2a)=1,即2﹣2a=1,解得a=
故答案为:
点评:本题给出二元一次不等式组,在已知目标函数的最小值情况下求参数a的值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.
15.设函数f(x)=,则f(﹣2)+f(log212)=9.
考点:函数的值.
专题:三角函数的求值.
分析:由条件利用指数函数、对数函数的运算性质,求得f(﹣2)+f(log212)的值.
解答:解:由函数f(x)=,
可得f(﹣2)+f(log212)=(1+log24 )+=(1+2)+=3+6=9,
故答案为:9.
点评:本题主要考查分段函数的应用,指数函数、对数函数的运算性质,求函数的值,属于基础题.
16.已知F1、F2是椭圆C:(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=3.
考点:椭圆的应用;椭圆的简单性质.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:利用△PF1F2的面积=求解,能得到b的值.
解答:解:由题意知△PF1F2的面积=,
∴b=3,
故答案为3.
点评:主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识.
三、解答题(17题─21题每题12分,22题10分共70分)
17.函数(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设,则,求α的值.
考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的恒等变换及化简求值.
专题:三角函数的图像与性质.
分析:(1)通过函数的最大值求出A,通过对称轴求出周期,求出ω,得到函数的解析式.
(2)通过,求出,通过α的范围,求出α的值.
解答:解:(1)∵函数f(x)的最大值为3,∴A+1=3,即A=2,
∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为,=,T=π,所以ω=2.
故函数的解析式为y=2sin(2x﹣)+1.
(2)∵,所以,
∴,
∵
∴,
∴,
∴.
点评:本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,三角函数的恒等变换及化简求值,考查计算能力.
18.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)设二面角D﹣AE﹣C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E﹣ACD的体积.
考点:二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
专题:空间位置关系与距离.
分析:(Ⅰ)连接BD交AC于O点,连接EO,只要证明EO∥PB,即可证明PB∥平面AEC;(Ⅱ)延长AE至M连结DM,使得AM⊥DM,说明∠CMD=60°,是二面角的平面角,求出CD,即可三棱锥E﹣ACD的体积.
解答:(Ⅰ)证明:连接BD交AC于O点,连接EO,
∵O为BD中点,E为PD中点,
∴EO∥PB,
EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC;
(Ⅱ)解:延长AE至M连结DM,使得AM⊥DM,
∵四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,
∴CD⊥平面AMD,
∵二面角D﹣AE﹣C为60°,
∴∠CMD=60°,
∵AP=1,AD=,∠ADP=30°,
∴PD=2,
E为PD的中点.AE=1,
∴DM=,
CD==.
三棱锥E﹣ACD的体积为:==.
点评:本题考查直线与平面平行的判定,几何体的体积的求法,二面角等指数的应用,考查逻辑思维能力,是中档题.
19.为了解今年某校2015届高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.
(1)求该校报考飞行员的总人数;
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人,设X表示体重超过60公斤的学生人数,求X的分布列和数学期望.
考点:离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.
专题:计算题.
分析:(1)设报考飞行员的人数为n,前三小组的频率分别为p1,p2,p3,根据前3个小组的频率之比为1:2:3和所求频率和为1建立方程组,解之即可求出第二组频率,然后根据样
本容量等于进行求解即可;
(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为,所以x服从二项分布,从而求出x的分布列,最后利用数
学期望公式进行求解.
解答:解:(1)设报考飞行员的人数为n,前三小组的频率分别为p1,p2,p3,
则由条件可得:
解得p1=0.125,p2=0.25,p3=0.375…
又因为,故n=48…
(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为…所以x服从二项分布,
∴随机变量x的分布列为:
x 0 1 2 3
p
则…
(或:)
点评:本题主要考察了频率分布直方图,以及离散型随机变量的概率分布和数学期望,同时考查了计算能力,属于中档题.
20.设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A、
B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.
(Ⅰ)求|AB|;
(Ⅱ)若直线l的斜率为1,求b的值.
考点:椭圆的应用.
专题:综合题.
分析:(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,再由|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,能够求出|AB|的值.
(2)L的方程式为y=x+c,其中,设A(x1,y1),B(x1,y1),则A,B两点坐标满足方程组,化简得(1+b2)x2+2cx+1﹣2b2=0.然后结合题设条件和根与系数的
关系能够求出b的大小.
解答:解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4
又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得
(2)L的方程式为y=x+c,其中
设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组.,
化简得(1+b2)x2+2cx+1﹣2b2=0.
则.
因为直线AB的斜率为1,所以
即.
则.
解得.
点评:本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系,解题时要注意公式的灵活运用.
21.已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0.
(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
专题:常规题型;压轴题;转化思想.
分析:(Ⅰ)对函数求导,令f′(1)=0,即可解出a值.
(Ⅱ)f′(x)>0,对a的取值范围进行讨论,分类解出单调区间.a≥2时,在区间(0,+∞)上是增函数,
(Ⅲ)由(2)的结论根据单调性确定出最小值,当a≥2时,由(II)知,f(x)的最小值为f(0)=1,恒成立;当0<a<2时,判断知最小值小于1,此时a无解.当0<a<2时,(x)
的单调减区间为,单调增区间为
解答:解:(Ⅰ),
∵f′(x)在x=1处取得极值,f′(1)=0
即 a+a﹣2=0,解得 a=1
(Ⅱ),
∵x≥0,a>0,
∴ax+1>0
①当a≥2时,在区间(0,+∞)上f′(x)>0.
∴f(x)的单调增区间为(0,+∞)
②当0<a<2时,由f′(x)>0解得
由
∴f(x)的单调减区间为,单调增区间为
(Ⅲ)当a≥2时,由(II)知,f(x)的最小值为f(0)=1
当0<a<2时,由(II)②知,处取得最小值,
综上可知,若f(x)的最小值为1,则a的取值范围是
(I)求C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线l与曲线C交于A,B两点,求弦长|AB|.
考点:参数方程化成普通方程.
专题:坐标系和参数方程.
分析:(I)利用即可得出直角坐标方程.
(II)把直线l的参数方程为(t为参数)代入y2=8x化为3t2﹣16t﹣64=0.利用
弦长|AB|=|t1﹣t2|即可得出.
解答:解:(I)由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ,即ρ2sin2θ=8ρcosθ,化为y2=8x.
(II)把直线l的参数方程为(t为参数)代入y2=8x化为3t2﹣16t﹣64=0.
解得t1=8,t2=.
∴弦长|AB|=|t1﹣t2|==.
点评:本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交弦长问题,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
C.选修4-5:不等式选讲
24.设函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|.
(1)若a=﹣1,解不等式f(x)≥3;
(2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.
考点:其他不等式的解法.
专题:计算题.
分析:(1)由函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|,知当a=1时,不等式f(x)≥3等价于|x﹣1|+|x+1|≥3,根据绝对值的几何意义能求出不等式f(x)≥3的解集.
(2)对∀x∈R,f(x)≥2,只需f(x)的最小值大于等于2.当a≥1时,f(x)=|x﹣1|+|x ﹣a|=,f(x)min=a﹣1.同理,得当a<1时,f(x)min=1﹣a,由此能求
出a的取值范围.
解答:解:(1)∵函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|,
∴当a=﹣1时,不等式f(x)≥3等价于|x﹣1|+|x+1|≥3,
根据绝对值的几何意义:
|x﹣1|+|x+1|≥3可以看做数轴上的点x到点1和点﹣1的距离之和大于或等于3,
则点x到点1和点﹣1的中点O的距离大于或等于即可,
∴点x在﹣或其左边及或其右边,即x≤﹣或x≥.
∴不等式f(x)≥3的解集为(﹣∞,﹣]∪∪
点评:本题考查含绝对值不等式的解法,考查实数的取值范围,综合性强,难度大,是2015届高考的重点.解题时要认真审题,合理运用函数恒成立的性质进行等价转化.。