2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第226—230题(含答案解析)

感知高考刺金226题
函数(
))02f x x π≤≤的值域是__________．
解：()()2232cos 2sin 1cos 1sin x x x x --=-+-
设1sin ,1cos x a x b -=-=
，则问题变为求y =
的值域 解法一：当0a ≠
时，有y =将
b a 视为圆()()22111a b -+-=上任一点与原点连线的斜率，结合图形可知0b a
≥， 所以10y -≤<， 当0a =时，0y =
综上可知，[]1,0y ∈-
解法二：
注意到y =
联想其结构特征与三角函数中的正余弦定义式相似
于是设直线OP 的倾斜角为θ，则02πθ≤≤
所以[]cos 1,0y θ=-∈- 感知高考刺金227题
已知(),a xb yc x y =+∈ R ，2a b == ，1c = ，()()
0a c b c -⋅-= ，则a b - 的取值范围是________．
解法一：考虑向量模的几何意义 由2a b == 和()()
0a c b c -⋅-= ，可作出图形 c 的终点C 必在以AB 为直径的圆'O 上 又1c = ，故c 的终点C 必在以O 为圆心，1为半径的圆上
所以问题转化为'O 与O （半径为1的小圆）有交点
注意到'O 的半径为22AB
a b
-= ，圆心距1'2
OO a b =+
所以两圆相交需满足11222a b
a b
a b
-+--≤≤+ 且有2222216a b a b a b ⎛⎫++-=+= ⎪⎝⎭
作一个整体换元，设a b x += ，a b y -=
问题转化为规划问题，已知2216222,x y x y x y x y +⎧+=⎪-≤-≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩
R ，求y 的取值范围。

如图可得1y ⎤∈⎦
解法二：代数方法
a b -= ，因此只需求a b 的取值范围 由()(
)0a c b c -⋅-= 得()20a b a b c c -++= 所以()1cos a b a b c a b c a b θ+=+=+≤+ 即()2221282a b a a b b a b +≤++=+ ，解得77a b -≤≤
所
以a b -= ，
故1
a b ⎤-∈⎦ 解法三：解析几何坐标方法
解：设()1,0c = ，设A ，B 是以O 为圆心，2为半径的圆上两点，且AC ⊥BC ，则 | a －b | = AB = 2 MC ．
∵MO 2 + MA 2 = OA 2，而MA = MC ，∴MO 2 + MC 2 = 4．
设(),M x y ，则2222(1)4x y x y ++-+=， 即2232
x y x +-=．（*） | a －b | = AB = 2 MC
=
= 由（*
x ，
∴11．
11a b ≤-≤ ．
感知高考刺金228题
已知实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，则c 的最大值是________． 解：记2,2,2a b c x y z ===，则x y xy x y z xyz
+=⎧⎨
++=⎩ 1111xy z xy xy ==+--
因为4x y xy xy +=≥≥ 故141113
xy z xy xy ==+≤-- 即c 的最大值是24log 3
感知高考刺金229题
设函数()241x
f x x =+，()cos2cos
g x x k x ππ=+，若对任意的1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得
()()21g x f x =成立，则实数k 的取值范围是________．
解法一：由题意知()f x 的值域是()g x 值域的子集，易得()f x 的值域是[]2,2-
设cos t x π=，则()g x 的值域为()[]221,1,1h t t kt t =+-∈-的值域，再通过分类讨论进行解答
()()141212k h h ⎧-≤-⎪⎪⎪-≤-⎨⎪≥⎪⎪⎩或()210482812k k h ⎧-≤-≤⎪⎪--⎪≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩或()201482812k k h ⎧<-<⎪⎪--⎪≤-⎨⎪⎪-≥⎪⎩或()()141212k h h ⎧-≥⎪⎪⎪≤-⎨⎪-≥⎪⎪⎩
解得
()
,k ⎡∈-∞-+∞⎣
解法二：解法一常规，但计算量较大，作为填空题不划算。

故从数形结合的角度，利用函数图象给出解法二。

()f x 的值域是[]2,2-，设[]cos 1,1t x π=∈-， 则问题可以转化为对任意实数[]2,2m ∈-，关于t 的方程221t kt m +-=在[]1,1-上有解， 即对任意实数[]2,2m ∈-，总存在k ，使得直线1y kt =-与22y m t =-在[]1,1-是有公共点， 即直线1y kt =-与一簇函数[][]22,1,1,2,2y m t t m =-∈-∈-个个都有公共点，
从图象上显然看到，只要直线1y kt =-与函数[]222,1,1y t t =--∈-
有公共点即可，于是求得
()
,k ⎡∈-∞-+∞⎣
感知高考刺金230题
在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足()22sin cos AP AO AC θθθ=+∈ R ，则
()
PA PB PC + 的最小值是 ． 解：因为()22sin cos AP AO AC θθθ=+∈ R ，系数之和为1，
故,,C P O 三点共线，且[]22sin ,cos 0,1θθ∈，所以点P 在线
段OC 上，设[]()0,2PQ t t =∈ ，
故()
()()2222124PA PB PC PO PC t t t t +==--=- 当1t =时，取最小值2-。