数理逻辑--第2讲命题公式和真值表
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离散数学
命题公式和真值表第2讲
命题常项犹如数学中常量(a,b,c )
命题变项犹如数学中变量(x,y,z )确指的或具体的命题。
命题常项命题变项不确指的或抽象的命题。
命题常项与命题变项都用p,q,r…等表示。
对命题变项p而言,p只是一个标识,可以用任何一个具体的命题替代。
命题公式
将命题常项(即1,0)和命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联结起来的符号串。
(1)
(2)单个命题常项和命题变项是命题公式,称为原子公式。
若A是命题公式,则(⎤A)也是命题公式。
(3)若A,B是命题公式,则(A∧B),(A∨B),(A→B),
(A↔B)也是命题公式。
(4)由有限次地应用(2)~(3)形成的符号串是命题公式。
定义2.1(命题公式)
注意
1设A是公式,B为A中连续的一部分,若B也是公式,则称B为A的子公式。
2公式最外层的括号可以去掉。
注意
3优先级规定
(1)各联结词运算的优先级为:⎤,∧,∨,→,↔。
(2)对于同一级者一目,从右向左
二目,从左到右
(3)括号优先,从里到外。
注意
根据运算优先级的规定不必要的括号也可以去掉。
如:(p∨q)∨(⎤r)可写为p∨q∨⎤r
真值表
公式的解释和赋值
将公式中的每个命题变项都指定一个具体的命题,抽象的公式就具有了实际的意义,成了命题,具有了真值,这称为公式的解释。
对公式的解释相当于是将指定为真(假)命题的命题变项赋值1(0)。
真命题假命题
赋值1
赋值0命题变项
定义2.2(公式的赋值)
设p1 ,p2 ,…,p n是出现在公式A中的全部的命题变项,给p1,p2,…,p n各指定一个真值,称为对A的一个赋值。
定义2.2(公式的赋值)将n个命题变项按下标顺序或字典顺序排列后,赋值就相当于一长为n的0,1字符串。
思考
含有n个命题变项的公式共有多少个不同的赋值?
SAT(适定性问题)
给一个命题公式,它是否
存在一个成真赋值?
1971年Cook证明:SAT问题
是(第一个)NPC问题。
定义2.3(真值表)
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表,称做A的真值表。
例2.1
构造公式(p→q)→(⎤q→⎤p)真值表。
p q⎤p⎤q p→q⎤q→⎤p(p→q)→(⎤q→⎤p) 0011111 0110111 1001001 1100111
公式的分类
(1)
(2)
(3)
(4)若A在其所有赋值下的取值均为真,则称A是重言式或永真式。
若A在其所有赋值下的取值均为假,则称A是矛盾式或永假式。
若A不是矛盾式,则称A为可满足式。
若A是可满足式,且至少存在一个成假赋值,则称A为非重言式的可满足式。
定义2.4 设A为任一命题公式
思考
含有n个命题变项的公式的真值表(指最后一列)至多有多少种不同的情况?
另一方面,含有n个命题变项的公式有无穷多个。
因此,必有很多公式具有相同的真值表。
真值表
例2.2
p q p→q⎤p ∨q 0011 0111 1000 1111
谢谢观看。