数理逻辑--第2讲命题公式和真值表

离散数学
命题公式和真值表第2讲
命题常项犹如数学中常量（a,b,c ）
命题变项犹如数学中变量（x,y,z ）确指的或具体的命题。

命题常项命题变项不确指的或抽象的命题。

命题常项与命题变项都用p,q,r…等表示。

对命题变项p而言，p只是一个标识，可以用任何一个具体的命题替代。

命题公式
将命题常项（即1，0）和命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联结起来的符号串。

(1)
(2)单个命题常项和命题变项是命题公式，称为原子公式。

若A是命题公式，则(⎤A)也是命题公式。

(3)若A，B是命题公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，
(A↔B)也是命题公式。

(4)由有限次地应用(2)~(3)形成的符号串是命题公式。

定义2.1（命题公式）
注意
1设A是公式，B为A中连续的一部分，若B也是公式，则称B为A的子公式。

2公式最外层的括号可以去掉。

注意
3优先级规定
（1）各联结词运算的优先级为：⎤，∧，∨，→，↔。

（2）对于同一级者一目，从右向左
二目，从左到右
（3）括号优先，从里到外。

注意
根据运算优先级的规定不必要的括号也可以去掉。

如:（p∨q)∨(⎤r)可写为p∨q∨⎤r
真值表
公式的解释和赋值
将公式中的每个命题变项都指定一个具体的命题，抽象的公式就具有了实际的意义，成了命题，具有了真值，这称为公式的解释。

对公式的解释相当于是将指定为真（假）命题的命题变项赋值1（0）。

真命题假命题
赋值1
赋值0命题变项
定义2.2（公式的赋值）
设p1 ，p2 ，…，p n是出现在公式A中的全部的命题变项，给p1，p2，…，p n各指定一个真值，称为对A的一个赋值。

定义2.2（公式的赋值）将n个命题变项按下标顺序或字典顺序排列后，赋值就相当于一长为n的0，1字符串。

思考
含有n个命题变项的公式共有多少个不同的赋值？
SAT（适定性问题）
给一个命题公式，它是否
存在一个成真赋值？
1971年Cook证明：SAT问题
是（第一个）NPC问题。

定义2.3（真值表）
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表，称做A的真值表。

例2.1
构造公式(p→q)→(⎤q→⎤p)真值表。

p q⎤p⎤q p→q⎤q→⎤p(p→q)→(⎤q→⎤p) 0011111 0110111 1001001 1100111
公式的分类
(1)
(2)
(3)
(4)若A在其所有赋值下的取值均为真，则称A是重言式或永真式。

若A在其所有赋值下的取值均为假，则称A是矛盾式或永假式。

若A不是矛盾式，则称A为可满足式。

若A是可满足式，且至少存在一个成假赋值，则称A为非重言式的可满足式。

定义2.4 设A为任一命题公式
思考
含有n个命题变项的公式的真值表(指最后一列)至多有多少种不同的情况？
另一方面，含有n个命题变项的公式有无穷多个。

因此，必有很多公式具有相同的真值表。

真值表
例2.2
p q p→q⎤p ∨q 0011 0111 1000 1111
谢谢观看。