第2课时 等式性质与不等式性质 高一数学

又x<y,所以x-y<0,所以-4<x-y<0.
反思感悟
1.利用几个不等式的取值范围来确定某代数式的取值范围是
一类常见的综合问题,解题时要紧扣不等式的基本性质,不能
直接将几个已知不等式相加减或相乘除.
2.注意提升逻辑推理和数学运算能力.
【变式训练3】 若x>1,y>2,则:
(1)2x+y>
;
(2)xy>
解:(1)因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.
(2)由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18.
将本例条件改为“-1<x<y<3”,求x-y的取值范围.
解:因为-1<x<3,-1<y<3,所以-3<-y<1,所以-4<x-y<4.
当c=0时,|c|=0,∴a|c|=b|c|=0.
∴该命题是假命题.
(3)∵c<d,∴-c>-d.
又a>b,∴a+(-c)>b+(-d).
即a-c>b-d.∴该命题是真命题.
(4)∵b<a<0,∴-b>-a>0.
∴(-b)n>(-a)n(n∈N,n>1).
∵n为奇数,∴-bn>-an,∴an>bn.
.
答案:(1)4 (2)2
易 错 辨 析
错用不等式的性质致错
【典例】 已知1≤a-b≤2,且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.
错解:1≤a-b≤2,①
2≤a+b≤4,②
由①+②,得

3≤2a≤6, ≤a≤3.③

由②+①×(-1),得

0≤2b≤3,0≤b≤.④
由③×4+④×(-2),得 3≤4a-2b≤12.
价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大
其取值范围,所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范
围时务必小心谨慎,必要时改换求解的思路和方法.
【变式训练】 已知-1<x+y<4,2<x-y<3,求3x+2y的取值范围.
解:设 3x+2y=m(x+y)+n(x-y),
+ = ,
则
则
+
-
4a-2b=4× -2× =2μ+2v-μ+v=μ+3v.
而 2≤μ≤4,3≤3v≤6,则 5≤μ+3v≤10.
故 5≤4a-2b≤10.
防范措施
1.建立待求取值范围的整体与已知取值范围的整体的关系,利
用不等式的性质进行运算,求得待求的取值范围.
2.同向(异向)不等式的两边可以相加(减),但这种转化不是等
列不等式一定成立的是(
)


A. >





C. >
-
B. >0

-
D. <0
解析:因为 c<b<a,且 ac<0,所以 c<0,a>0,

所以>0.因为
因为
因为
由于


b>c,所以 > ,故 A 项符合题意;
-
b-a<0,c<0,所以 >0,故 B 项符合题意;
<

.
-
>

.
-
反思感悟
用不等式的性质进行证明时要善于寻找欲证不等式与已知条
件的关系,利用相应的不等式性质证明;要注意观察一个不等
式是不是在某个已知条件的两边同乘(除以)一个不为0的常
数;一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的;一个不
等式是不是将一个不等式的两边取了倒数而得到的等等.
【变式训练 2】 若
性质4.如果a=b,那么ac=bc;
性质 5.如果

a=b,c≠0,那么
=

.

2.类比等式的基本性质,你能猜想到不等式的哪些基本性质?
提示:性质1 如果a>b,那么b<a;
性质2 如果a>b,b>c,那么a>c;
性质3 如果a>b,那么a±c>b±c;
性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc;
+
bc-ad≥0,bd>0.求证:
证明:∵bc-ad≥0,∴ad≤bc.


∵bd>0,∴ ≤ ,



∴+1≤+1,
+
+
∴ ≤ .

≤
+
.

探究三 利用不等式的性质求代数式的取值范围
【例3】 已知-1<x<4,2<y<3.
(1)求x-y的取值范围;
(2)求3x+2y的取值范围.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的,但实际
上答案是错误的.那到底是为什么呢?我们先看不等式4a-2b


≥3什么时候取等号,由上述解题过程可知,当 a=,且 b=时 ,才
取等号,而此时a-b=0,不满足①式,因此4a-2b是不能等于3的.
2.1 等式性质与不等式性质
第2课时 等式性质与不等式性质
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
自主预习·新知导学
等式的性质与不等式的性质
1.你能说出等式有哪些基本性质吗?
提示:性质1.如果a=b,那么b=a;
性质2.如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3.如果a=b,那么a±c=b±c;
∴该命题是真命题.
反思感悟
1.运用不等式的性质判断命题的真假时,要注意不等式成立的
条件,不要弱化条件,尤其是不能想当然地随意捏造性质.
2.解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注
意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要
简单,便于验证计算.
【变式训练1】 (多选题)已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,则下
所以
- = ,
即

= ,

= .


3x+2y=(x+y)+(x-y).
因为-1<x+y<4,2<x-y<3,

所以-

所以-
<
<



(x+y)<10,1<
(x-y)<
,








(x+y)+
(x-y)<
,即<3x+2y<
.






∴ - > - ,即- >- .


两边同乘-1,得
<
.


-
证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.
又 a>b>0,∴a+(-c)>b+(-d)>0,

即 a-c>b-d>0,∴0<
-


∵e<0,∴ > .
-
-
(2)若a>b>c,则有a|c|>b|c|;
(3)若a>b,c<d,则有a-c>b-d;
(4)若b<a<0,n∈N,n>1,且n为奇数,则有an>bn.

解:(1)∵a<b<0,∴ab>0,∴ >0.





∴a·<b·,∴ < .
∴该命题是假命题.
(2)∵a>b,|c|≥0,
当c≠0时,|c|>0,∴a|c|>b|c|;


<

.

分析:根据条件选择合适的不等式的基本性质证明有关不等
式.
证明:(1)∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc.
∵f<e,∴f-ac<e-bc.
(2)∵c<d<0,∴-c>-d>0.

∴->- >0.

又 a>b>0,∴- >- >0.




A.c-a>c-b
B.-2a>-2b
C.a+c>b+c
D.a2>b2
解析:(1)由b<a,d<c,利用性质5,得b+d<a+c.
(2)由a>b,利用性质3,得a+c>b+c.
答案:(1)C (2)C
)
)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.

(1)若 >1,则 a>b.( × )

(2)一个不等式的两边同加上或同乘同一个数,不等号方向不变.
( × )
(3)当
(4)若

x>-3 时,一定有<-.(


ab>0,则 a>b⇔ < .(
×
)
√ )
合作探究·释疑解惑
探究一 利用不等式的性质判断命题的真假
【例1】 判断下列四个命题的真假:


(1)若a<b<0,则 < ;
-
a-c>0,ac<0,所以 <0,故 D 项符合题意;





b2 与 a2 的关系不确定,故 > 不一定成立,
故 C 项不符合题意.
答案:ABD
探究二 利用不等式的性质证明不等式
【例2】 (1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc;
(2)已知 a>b>0,c<d<0,求证:
同理可验证4a-2b也不能等于12.出现上述错误的原因是“同
向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性
质是单向的,用它来做变形,是非同解变形,因此结论是错误的.
正解:令 a+b=μ,a-b=v,
则 2≤μ≤4,1≤v≤2.
+
=
,
+ = ,

由
解得
-
- = ,
= .
如果a>b,c<0,那么ac<bc.
3.
性质
1
2
3
别 名
对称性
传递性
可加性
4
可乘性
性质内容
a>b⇔ b<a
a>b,b>c⇒ a>c
a>b⇔a+c > b+c
> ,
⇒ac > bc
>
> ,
⇒ac < bc
<
注 意
⇔
同向传递
可逆
c 的符号
性质 别 名
注 意
5
同向
6
7
性质内容
> ,
⇒a+c > b+d
同向可加性
>
> > ,
⇒ac > bd
同向同正可乘性
>>
a>b>0⇒ an>bn
可乘方性
(n∈N,n≥2)
同向同正
同正
4.(1)设b<a,d<c,则下列不等式一定成立的是(
A.a-c>b-d
B.ac>bd
C.a+c>b+d
D.a+d>b+c
(2)如果a>b,那么下列不等式一定成立的是(