河南省实验中学高三第二次模拟——数学(文)数学文

河南省实验中学 2014届高三第二次模拟考试
数学（文）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义},|),{(*Q b P a b a Q P ∈∈=，则的子集个数为
A ．7
B ．12
C ．32
D ．64
2．已知复数（，，为虚数单位），则
3. “或”为真命题是“且”为真命题的
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
5．已知数阵⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛3332
31
232221
131211a
a a
a a a
a a a
中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依
次成等差数列，若，则这9个数的和为
A ．16
B ．32
C ．36
D ．72
6．如图所示的程序框图，它的输出结果是
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知三个数2，m ，8构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为
A ．
B ．
C ．或
D ．或
8.若，，且当⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥100
y x y x 时，恒有1，则以为坐标的点所形成的平面区域的面积是
A ．
B ．
C ．1
D ．
9.在平行四边形ABCD 中，,E 为CD 的中点．若， 则AB 的长为
A. B.1 C ． D ．2 10.过抛物线的焦点F ，斜率为的直线交抛物线于A ，B 两点，若 ，则的值为
A ．5
B ．4
C ．
D ．
11．已知函数对定义域内的任意都有，且当时，其导函数满足，若，则有
2(2)(3)(l o g )a f f f a << 2(3)(log )(2)a
f f a f <<
2
(l o g )(3)(2)a
f a f f
<< 2(log )(2)(3)a
f a f f <<
12．函数[]11,0,2()1(2),(2,)2
x x f x f x x ⎧--∈⎪
=⎨-∈+∞⎪⎩,则下列说法中正确命题的个数是
①函数有3个零点；
②若时，函数恒成立，则实数k 的取值范围是； ③函数的极大值中一定存在最小值，
④)(),2(2)(N k k x f x f k
∈+=，对于一切恒成立．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置． 13．若非零向量满足，，则与的夹角为______． 14．函数,在各项均为正数的数列中对任意的都有()()n n f a x f a x +=-成立，则数列的通项公式可以为（写一个你认为正确的）______
15．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则直线与圆有公共点的概率为_______．
16．已知四棱柱中，侧棱底面ABCD ，且，底面ABCD 的边长均大于2，且，点P 在底面ABCD 内
运动，且在AB ，AD 上的射影分别为M ，N ，若|PA|=2，则三棱锥体积的最大值为______．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）在中，已知角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，直线与直线
()222:40l b c bc x ay +-++=互相平行（其中）.
（I ）求角A 的值， （II ）若22,,sin cos 2232A C B B ππ
+⎡⎫∈+⎪
⎢
⎣⎭
求的取值范围.
．（本小题满分12分） 从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于cm 和cm
之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[,)，第二组[,)，…，第八组[,]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．
（Ⅰ）求第七组的频率；
（Ⅱ）估计该校的名男生的身高的中位数以及身高在cm 以上（含cm ）的人数；
（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件
{}，事件{}，求． 19．（本题满分12分）如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，AB ＝2，E 、
F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF 平面EFDC ． (Ⅰ) 当，是否在折叠后的AD 上存在一点，且，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出的值；若不存
在，说明理由；
(Ⅱ) 设BE ＝x ，问当x 为何值时，三棱锥ACDF 的体积有最大值？并求出这个最大值．
A D F
F
A B D
20．（本小题满分12分）
已知函数，若函数满足恒成立，则称为函数的下界函数．(1)若函数是的下界函数，求实数的取值范围；
(2)证明：对任意的，函数都是的下界函数．
21．（本小题满分12分）已知2212221x y F F a b +=、是椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，点1,2P ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
在椭圆上，线段PF 与轴的交点M 满足; （I ）求椭圆的标准方程；
（II ）O 是以为直径的圆，一直线相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B.当
23
,34
OA OB AOB λλ⋅=≤≤∆且满足时，求面积S 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

（22）(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲
如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上的一点，过C 的直线交直线AB 于E ，交过A 点的切线于D ，BC ∥OD .
（Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线；
（Ⅱ）如果AD =AB = 2，求EB 的长。

（23）(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程
在极坐标系内，已知曲线的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=，以极点为原点，极轴方向为正半
轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）. （Ⅰ）求曲线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；
（Ⅱ）设点为曲线上的动点，过点作曲线的两条切线，求这两条切线所成角余弦的最小值. （24）(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 设函数.|4||12|)(--+=x x x f （1）解不等式； （2）求函数的最小值。

参考答案
一、1．D 2．C 3.C 4．D 5．D 6．C 7．C 8．C 9．D 10．B 11．C 12.B
二、13． 14．,
15． 【解析】依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组有(1,1)， (1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共 36种，其中满足直线与圆有公共点，即，的数组有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1 ,4)，……，(6,6)，共21654321=+++++种，因此所求的概率等于．
16．【解析】由条件可得，A 、M 、P 、N 四点在以PA 为直径的圆上，所以由正弦定 理得，所以、在△PMN 中，由余弦定理可得
≥︒⋅-+=135cos 2222PN PM PN PM MN ，当且仅当PM= PN 时取等号，所以
222
22
-=+≤
PN ，所以底面△PMN 的面积
2
1
222)2(21135sin -=⨯-⨯≤︒k PN ，当且仅当PM= PN 时取最大值，故三棱锥的体
积3
1
2221231
-=
⨯-⨯
．
18． 【解析】（Ⅰ）第六组的频率为,所以第七组的频率为
10.085(0.00820.0160.0420.06)0.06--⨯⨯++⨯+=； ……………………………4分 （Ⅱ）身高在第一组[155,160)的频率为， 身高在第二组[160,165)的频率为， 身高在第三组[165,170)的频率为， 身高在第四组[170,175)的频率为，
由于0.040.080.20.320.5++=<，0.040.080.20.20.520.5+++=> 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为，则 由0.040.080.2(170)0.040.5+++-⨯=m 得
所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为 …………………………6分 由直方图得后三组频率为0.060.080.00850.18++⨯=,
所以身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为人． ………………8分
（Ⅲ）第六组的人数为4人,设为,第八组[190,195]的人数为2人, 设为,则有
,,,,,,,,a A b A c A d A a B b B c B d B A B 共15种情况，
因事件{}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为
,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况，故． ……………………10分 由于max 19518015x y -=-=，所以事件{}是不可能事件，， 由于事件和事件是互斥事件，所以7
()()()15
P E
F P E P F =+=
………12分 19．【解析】(Ⅰ)存在使得满足条件CP ∥平面ABEF ，且此时．…………… 2分
下面证明：当时，即此时，可知，过点作MP ∥FD ，与AF 交于点，则有，又FD ＝，故MP ＝3，又
因为EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MPEC ，故四边形MPCE 为平行四边形，所以PC ∥ME ，又CP 平面ABEF ，ME 平面ABEF ，故有CP ∥平面ABEF 成立．……………………… 6分
(Ⅱ)因为平面ABEF 平面EFDC ，平面ABEF 平面EFDC ＝EF ，又AFEF ，所以AF ⊥平面EFDC ．由已知BE ＝x ，，所以AF ＝x (0x 4)，FD ＝6x ．故
2
2
2
11
111
2(6
)(6)
[(3)9](3)3
3233
3
A C
D
F V x x x x x x -
=⋅⋅⋅-⋅=-=-
-+=--+．所以，当x ＝3时，有最大值，最大值为3．
20．【解析】(1)若为的下界函数，易知不成立，而必然成立． 当时，若为的下界函数，则恒成立，即恒成立．（2分） 令，则．易知函数在单调递减，在上单调递增．（4分）
由恒成立得0ln )(ln )(min ≥-==k k k k x ϕϕ，解得．综上知．（6分） (2)解法一 由(1)知函数是的下界函数，即恒成立， 若，构造函数)0(ln )(>--=x m x ex x F ，（8分） 则，易知02)1()(min ≥-==m e
F x F ， 即是的下界函数，即恒成立．（11分） 所以恒成立，即时，是的下界函数．（13分）
解法二 构造函数m x e x h x f x H x
--=-=ln )()()(，， ．易知必有满足，即．（8分）
又因为在上单调递减，在上单调递增， 故m x e
x H x H x --==00min ln )()(0
-+=--=
-00
01
ln 10x x m e x x ，所以恒成立．（11分） 即对任意的，是的下界函数．（12分）
21．【解析】
C
A
（22）（Ⅰ）证：连接AC ，AB 是直径，则BC ⊥AC 由BC ∥OD ⇒OD ⊥AC
则OD 是AC 的中垂线⇒ ∠OCA =∠OAC , ∠DCA =∠DAC , ∠OCD = ∠OCA +∠DCA =∠OAC +∠DAC =∠DAO = 90o . ⇒OC ⊥DE , 所以DE 是圆O 的切线 . ……5分 （Ⅱ）BC ∥OD ⇒∠CBA = ∠DOA ，∠BCA = ∠DAO ⇒△ABC ∽△AOD ⇒ ⇒ BC ===
⇒ ⇒⇒⇒ BE = ……10分
（23）解：（Ⅰ）对于曲线的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=， 可化为直角坐标方程2
2
2440x y x y +-++=，即； 对于曲线的参数方程为（为参数）， 可化为普通方程. ……5分 （Ⅱ）过圆心点作直线的垂线，此时两切线成角最大， 即余弦值最小. 则由点到直线的距离公式可知，
4
d==，则，因此2
7
cos12sin
28
θ
θ=-=，
因此两条切线所成角的余弦值的最小值是. ……10分（24）。