2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第二章 空间向量

1.空间向量的运算及运算律
空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的三角形法则与平行四边形法则仍然成立.
2.两个向量的数量积的计算
向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、投影、夹角等问题中.
3.空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间直角坐标系，然后再利用有关公式计算求解.常用向量的坐标运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题.
4.空间向量的基本定理说明：用三个不共面的已知向量{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的.
5.利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征.一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解.
6.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.
1.数形结合思想
数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形结合来思索，抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.空间向量是既有大小又有方向的量，空间向量本身就具有数形兼备的特点，因此将立体几何中的“形”与代数中的“数”有机地结合在一起，使解答过程顺畅、简捷、有效，提高解题速度.
例1 一几何体ABC －A 1B 1C 1的三视图和直观图如图所示.
(1)求证：A 1C ⊥平面AB 1C 1；
(2)求平面AB 1C 1与平面AB 1C 的夹角的余弦值.
(1)证明 由三视图可知，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AA 1⊥底面A 1B 1C 1，B 1C 1⊥A 1C 1，且AA 1＝AC ＝4，BC ＝3. 以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
由已知可得A (4,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,0)，A 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(0,0,4)，
∴CA 1→＝(4,0,4)，C 1A →＝(4,0，－4)，C 1B 1→
＝(0,3,0)， ∴CA 1→·C 1A →＝0，CA 1→·C 1B 1→＝0， ∴CA 1⊥C 1A ，CA 1⊥C 1B 1，
又C 1A ∩C 1B 1＝C 1，C 1A 平面AB 1C 1，C 1B 1平面AB 1C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1.
(2)解 由(1)得，CA →＝(4,0,0)，CB 1→
＝(0,3,4)，
设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧
n ·CA →＝0，n ·
CB 1→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
(x ，y ，z )·
(4，0，0)＝0，(x ，y ，z )·(0，3，4)＝0 化简得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
3y ＋4z ＝0，取y ＝4，即n ＝(0,4，－3)
由(1)得，C 1B 1→＝(0,3,0)，C 1A →
＝(4,0，－4)， 设平面AB 1C 1的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)
由⎩⎪⎨⎪⎧
m ·C 1B 1→＝0，m ·
C 1A →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
(x ′，y ′，z ′)·
(0，3，0)＝0，(x ′，y ′，z ′)·(4，0，－4)＝0
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
y ′＝0，
4x ′－4z ′＝0，∴m ＝(1,0,1)， ∴cos 〈m ·n 〉＝m ·n
|m |·|n |
＝
－35×2
＝－32
10，
∴平面AB 1C 1与平面AB 1C 的夹角的余弦值为32
10
.
跟踪训练1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .
证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，
则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2，2,2)，
所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →
＝(0,2,1). 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·
AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝0，z 1＝－2y 1，
令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2). 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→
⊥n 1. 又因为FC 1⊈平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .
(2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量.由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→
， 得⎩⎪⎨⎪⎧
n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·
C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝0，z 2＝－2y 2.
令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，
因为n 1＝n 2，所以n 1∥n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 2.转化与化归思想
转化与化归思想是指在解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.其本质含义是：在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结论，由此将问题化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的.
例2 如图所示，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，FD ∥EA ，且FD ＝1
2EA ＝1.
(1)求多面体EABCDF 的体积；
(2)求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值；
(3)记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明.
解 (1)如图所示，连接ED ， ∵EA ⊥底面ABCD 且FD ∥EA ， ∴FD ⊥底面ABCD ， ∴FD ⊥AD ，
∵DC ⊥AD ，FD ∩CD ＝D ，FD 平面FDC ，CD 平面FDC ， ∴AD ⊥平面FDC ，
∴V E －FCD ＝13AD ·S △FDC ＝13×12×1×2×2＝2
3.
V E －ABCD ＝13EA ·S ▱ABCD ＝13×2×2×2＝8
3
，
∴多面体EABCDF 的体积V 多面体＝V E －FCD ＋V E －ABCD ＝
10
3
. (2)以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，AE
所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示.
由已知可得A (0,0,0)，E (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，F (0,2,1)， ∴EC →＝(2,2，－2)，EB →＝(2,0，－2)，EF →
＝(0,2，－1)， 设平面ECF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·EC →＝0，n ·
EF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋2y －2z ＝0，2y －z ＝0，
取y ＝1，得平面ECF 的一个法向量为n ＝(1,1,2)， 设直线EB 与平面ECF 所成角为θ，
∴sin θ＝|cos 〈n ，EB →
〉|＝|n ·EB →
|n |·|EB →
||＝|－243
|＝36.
(3)如图所示，取线段CD 的中点Q ，连接KQ ，直线KQ 即为所求.
跟踪训练2 如图，四棱锥F-ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ＝2，BD ＝ 2.CF 与平面ABCD 垂直，CF ＝2.求平面ABF 与平面ADF 的夹角的大小.
解 过点A 作AE ⊥平面ABCD .
以A 为坐标原点，BD →、AC →、AE →
方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).
于是B ⎝
⎛⎭
⎫－
22，1，0， D ⎝⎛
⎭
⎫22，1，0，F (0,2,2).
设平面ABF 的法向量n 1＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
－22x ＋y ＝0，2y ＋2z ＝0.
令z ＝1，得⎩
⎨⎧
x ＝－2，
y ＝－1. 所以n 1＝(－2，－1,1).
同理，可求得平面ADF 的法向量n 2＝(2，－1,1). 由n 1·n 2＝0知，平面ABF 与平面ADF 垂直， 所以平面ABF 与平面ADF 的夹角的大小等于π
2.
3.方程思想
方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.用空间向量解决立体几何问题属于用代
数方法求解，很多时候需引入未知量.
例3 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，P A ＝2，E 为PD 的中点. (1)求直线AC 与PB 所成角的余弦值；
(2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥平面P AC ，并求出点N 到AB 的距离和点N 到AP 的距离.
解 (1)以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
则A (0,0,0)，B (3，0,0)，C (3，1,0)，P (0,0,2)，D (0,1,0)，E (0，1
2，1)，
从而AC →＝(3，1,0)，PB →
＝(3，0，－2). 设AC →与PB →
的夹角为θ， 则cos θ＝|AC →·PB →||AC →||PB →|＝327＝37
14，
所以AC 与PB 所成角的余弦值为37
14.
(2)由于点N 在侧面P AB 内， 故可设点N 的坐标为(x,0，z )， 则NE →
＝(－x ，12
，1－z ).
由题意知AP →＝(0,0,2)，AC →
＝(3，1,0)， 由NE ⊥平面P AC ，得⎩⎪⎨⎪⎧
NE →·
AP →＝0，NE →·
AC →＝0，
即⎩⎨⎧
(－x ，1
2
，1－z )·(0，0，2)＝0，
(－x ，1
2
，1－z )·(3，1，0)＝0，
化简得⎩⎪⎨⎪
⎧ z －1＝0，－3x ＋1
2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝36，z ＝1， 即点N 的坐标为(
3
6
，0,1)， 所以点N 到AB 的距离为1，点N 到AP 的距离为
36
.
跟踪训练3 如图，在直三棱柱ABC-A
1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点.
(1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离；
(2)若AB 1⊥A 1C ，求平面A 1CD 与平面C 1CD 的夹角的余弦值. 解 (1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB ，又CD ⊥AA 1，
AA 1∩AB ＝A ，AA 1平面A 1ABB 1，AB 平面A 1ABB 1，故CD ⊥平面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.
(2)如图，过点D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1，在直三棱柱中，易知DB ，DC ，DD 1两两垂直，以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .
设直三棱柱的高为h ，则A (－2,0,0)，A 1(－2,0，h )，B 1(2,0，h )，C (0，5，0)，C 1(0，5，h )，从而AB 1→＝(4,0，h )，A 1C →
＝(2，5，－h )， 由AB 1→⊥A 1C →
，有8－h 2＝0，h ＝2 2.
故DA 1→＝(－2,0,22)，CC 1→＝(0,0,22)，DC →
＝(0，5，0). 设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，
则m ⊥DC →，m ⊥DA 1→
，即⎩⎨⎧
5y 1＝0，－2x 1＋22z 1＝0，
取z 1＝1，得m ＝(2，0,1).
设平面C 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，
则n ⊥DC →，n ⊥CC 1→
，即⎩⎨⎧
5y 2＝0，22z 2＝0，
取x 2＝1，得n ＝(1,0,0)，
所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22＋1×1＝6
3.
所以平面A 1CD 与平面C 1CD 的夹角的余弦值为
6
3
.
空间向量的引入为立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，
对空间向量的考查往往渗透于立体几何问题解决的过程之中，成为新课标高考必考的热点之
一.
(1)对本章的考查的重点是空间线面之间的位置关系的证明与探究；空间中的线线角、线面角以及面面角的求解；空间中简单的点点距和点面距的求解.给出位置关系、角度或距离探求点的存在性问题在近几年考查中已有体现.题目主要以解答题的形式给出，兼顾传统的立体几何的求解方法，主要考查空间向量在解决立体几何中的应用，渗透空间向量的基本概念和运算.
(2)空间向量的引入使空间几何体也具备了“数字化”的特征，从而把空间线面关系的逻辑推理证明与空间角、距离的求解变成了纯粹的数字运算问题，降低了思维的难度，成为新课标高考必考的热点.考查的重点是结合空间几何体的结构特征求解空间角与距离，其中二面角(面面角)是历年新课标高考命题的热点，多为解答题.
(3)利用向量处理平行和垂直问题，主要是解决立体几何中有关垂直和平行判断的一些命题.对于垂直，主要利用a⊥b⇔a·b＝0进行证明.对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.利用向量处理角度的问题，利用向量求空间角(线线角、线面角、面面角)，其一般方法
是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝a·b
|a|·|b|进行计算.。