2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)9-3圆的方程

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课时作业(四十六)
一、选择题
1.(2012年长春模拟)已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是() A.x2+y2=2 B.x2+y2= 2
C.x2+y2=1 D.x2+y2=4
解析:AB的中点坐标为:(0,0),
|AB|=[1-(-1)]2+(-1-1)2=22,
∴圆的方程为:x2+y2=2.
答案:A
2.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为() A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
解析:设圆心坐标为(0,b),则由题意知(0-1)2+(b-2)2=1,解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.
答案:A
3.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为() A.(-∞,-2) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
解析:曲线C的方程可以化为(x+a)2+(y-2a)2=4,则该方程表示圆心为(-a,2a),半径等于2的圆.
因为圆上的点均在第二象限,所以a>2.
答案:D
4.(2012年广州二模)动点A在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是() A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1
C .(2x -3)2+4y 2
=1
D .(x +32)2+y 2=1
2
解析:设中点M (x ,y ),则动点A (2x -3,2y ), ∵A 在圆x 2+y 2=1上,
∴(2x -3)2+(2y )2=1,即(2x -3)2+4y 2=1,故选C. 答案:C
5.已知圆的方程为x 2+y 2-6x -8y =0,设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ,则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )
A .10 6
B .20 6
C .30 6
D .40 6
解析:将圆的方程化成标准形式得(x -3)2+(y -4)2=25,所以圆心为P (3,4),半径r =5.而|MP |=(3-3)2+(4-5)2=1<5,所以点M (3,5)在圆内,故当过点M 的弦经过圆心时最长,此时|AC |=2r =10,当弦BD 与MP 垂直时,弦BD 的长度最小,此时|BD |=2r 2-|MP |2=252-12=4 6.又因为AC ⊥BD ,所以四边形ABCD 的面积为S =12|AC |×|BD |=1
2×10×46=20 6.
答案:B
6.已知圆C 1:(x +1)2+(y -1)2=1,圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称,则圆C 2的方程为
( )
A .(x +2)2+(y -2)2=1
B .(x -2)2+(y +2)2=1
C .(x +2)2+(y +2)2=1
D .(x -2)2+(y -2)2=1
解析:设C 2(a ,b ),则C 2(a ,b )与C 1(-1,1)关于直线x -y -1=0对称,由⎩⎪⎨⎪⎧
a -12-
b +12-1=0b -1a +1=-1
得⎩⎨⎧
a =2
b =-2
, 故圆C 2的方程为(x -2)2+(y +2)2=1. 答案:B 二、填空题
7.(2011年辽宁)已知圆C 经过A (5,1),B (1,3)两点,圆心在x 轴上,则C 的
方程为________.
解析:线段AB 的中垂线方程为2x -y -4=0,与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标,所以半径为|CB |=10,所以圆C 的方程为(x -2)2+y 2=10.
答案:(x -2)2+y 2=10
8.已知圆心在x 轴上,半径为2的圆O 位于y 轴左侧,且与直线x +y =0相切,则圆O 的方程是________________.
解析:设圆心为(a,0)(a <0),则|a |
2
=2,解得a =-2,故圆O 的方程为(x +2)2+y 2=2.
答案:(x +2)2+y 2=2
9.(2012年大同调研)直线ax +by =1过点A (b ,a ),则以坐标原点O 为圆心,OA 长为半径的圆的面积的最小值是________________.
解析:直线过点A (b ,a ),∴ab =1
2,圆面积S =πr 2=π(a 2+b 2)≥2πab =π. 答案:π 三、解答题
10.根据下列条件求圆的方程:
(1)经过点P (1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x +3y +1=0上; (2)圆心在直线y =-4x 上,且与直线l :x +y -1=0相切于点P (3,-2); (3)过三点A (1,12),B (7,10),C (-9,2). 解:(1)设圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2, 由题意列出方程组
⎩⎨⎧
a 2+
b 2=r 2
(a -1)2+(b -1)2=r 2,2a +3b +1=0
解之得⎩⎨⎧
a =4
b =-3
r 2=25
∴圆的标准方程是(x -4)2+(y +3)2=25.
(2)法一:设圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2, 则有⎩⎪⎨
⎪⎧
b =-4a (3-a )2+(-2-b )2=r 2,|a +b -1|2=r
解得a =1,b =-4,r =2 2. ∴圆的方程为(x -1)2+(y +4)2=8.
法二:过切点且与x +y -1=0垂直的直线为y +2=x -3,与y =-4x 联立可求得圆心为(1,-4).
∴半径r =(1-3)2+(-4+2)2=22, ∴所求圆的方程为(x -1)2+(y +4)2=8. (3)法一:设圆的一般方程为 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,
则⎩⎨⎧
1+144+D +12E +F =0,49+100+7D +10E +F =0,81+4-9D +2E +F =0.
解得D =-2,E =-4,F =-95.
∴所求圆的方程为x 2+y 2-2x -4y -95=0. 法二:由A (1,12),B (7,10),
得A 、B 的中点坐标为(4,11),k AB =-1
3, 则AB 的中垂线方程为3x -y -1=0. 同理得AC 的中垂线方程为x +y -3=0. 联立⎩⎨⎧ 3x -y -1=0x +y -3=0,得⎩
⎨⎧
x =1y =2,
即圆心坐标为(1,2),半径r =(1-1)2+(2-12)2=10. ∴所求圆的方程为(x -1)2+(y -2)2=100.
11.(2012年东城区综合练习)如右图所示,圆O 1和圆O 2的半径长都等于1,|O 1O 2|=4.过动点P 分别作圆O 1,圆O 2的切线PM ,PN (M ,N 为切点),使得|PM |=2|PN |.试建立平面直角坐标系,并求动点P 的轨迹方程.
解:以O 1O 2的中点O 为原点,O 1O 2所在的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则O 1(-2,0),O 2(2,0).
由已知|PM |=2|PN |,
得|PM|2=2|PN|2.
因为两圆的半径长均为1,所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1).
设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],
化简,得(x-6)2+y2=33,所以所求轨迹方程为(x-6)2+y2=33.
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设△AOB的外接圆圆心为E.
(1)若⊙E与直线CD相切,求实数a的值.
(2)设点P在⊙E上,使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个,试问这样的⊙E是否存在?若存在,求出⊙E的标准方程;若不存在,说明理由.
解:(1)直线CD方程为y=x+4,圆心E(a
2,
a
2),半径r=
2
2a.
由题意得|
a
2-
a
2+4|
2

2
2a,解得a=4.
(2)∵|CD|=(-4)2+42=42,
∴当△PCD面积为12时,点P到直线CD的距离为3 2.
又圆心E到直线CD距离为22(定值),要使△PCD的面积等于12的点P
有且只有三个,需⊙E的半径2a
2=52,解得a=10,此时,⊙E的标准方程为
(x-5)2+(y-5)2=50.
[热点预测]
13.(2012年山东滨州质检)(1)已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x +b成轴对称,则a-b的取值范围是______.
(2)已知圆O的方程为x2+y2=4,P是圆O上的一个动点,若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|+|y|≥a覆盖,则实数a的取值范围是________.解析:(1)圆的方程变为(x+1)2+(y-2)2=5-a,
∴其圆心为(-1,2),且5-a>0,即a<5.
又圆关于直线y=2x+b成轴对称,
∴2=-2+b,∴b=4.∴a-b=a-4<1.
(2)满足题意的平面区域为如图中的正方形外部,故a≤1.
答案:(1)(-∞,1)(2)a≤1。

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