高等数学(第三版)课件：二重积分的计算

D
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y
sin x
x
dx
01 dx 0xsinx
x
dy
1 cos1.
例8通常又称为交换二重积分次序问题.
例9 交换二次积分
I 01dy0y f (x, y)dy 12dy02y f (x, y)dy
的符号分次序.
解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为 D1与D2.先依给定的积分限将积分区域Di用不等式 表示：
作出的直线与区域D的入口曲线与出口曲线唯一确定.
例1 用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面 所围成的四面体的体积. 解 即求以z=6–2x–3y为顶，以△ABC围成区域D为
底的柱体体积.也就是计算二重积分
(6 2x 3y)d .
D
解法1 先对y积分.
作平行于y轴的直线与区域D相交，入口曲线为y=0，
2 dx
0
1
π
2 sin 4xdx 0.
20
例6
计算
D
x2 y2
dxdy
，其中D由不等式
y x，1 xy
及 x 2所确定.
解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分.
作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方
向看，入口曲线为y 1 ，出口曲线为y=x， x
因此 1 y x. x
由 y x, xy 1,
1 2
2
3
6
6
例2
计算积分
D
y x2
dxdy，其中D是正方形区域：
1 x 2,0 y 1.
解 像这样的正方形区域可以不必画，即得
D
y x2
dxdy
12 dx01
y x2
dy
12
1 2x
2
y2
1
dx
0
1 2
2 dx
1 x2
1. 4
例3 计算积分sin x cos ydxdy ，其中D是由y=x，y=0
分下限，出口曲线为
x
31
y 2
，作为积分上
限.积分区域D在y轴上投影区间为[0,2]，
(6 2x 3y)d
02dy
03(1
y 2
)
(6
2
x
3y)dx
D
2
0
6
x
x
2
3yx
3(1 y )
2 dy
0
029(1
y
y )dy 4
6，
这个结果与我们熟知的四面体的体积
V 是一致的.
1 3
底
高
1 3
区域D.设是由半径为r和r r的两个圆弧与极角等 于 和 的两条射线所围成的小区域.这个小区域 近似地看作是边长为 r 和 r 的小矩形，所以
得 x 1, y 1.
由xy 1, x 2,
得
x y
2, 1. 2
x轴上的积分区间为[1,2].
D
x2 y2
dxdy
12
x 2 dx 1x
x
1 y2
dy
12 x2
1 y
x 1
dx
x
12
x
2
x
1 x
dx
1 4
x4
2x2
2 1
9. 4
解法2 化为先对x积分后对y积分的二次积分. 作平行于x轴的直线与积分区域D相交，可知入 口曲线不唯一，这需要将积分区域分为两个子 区域.
0 y x.
将积分区域D投影到x轴上，投影区间为[0,1].故
D
sin x
x
dxdy
01
dx
0xsinx
x
dy
01
sin x
x
y
x 0
dx
01sin xdx
1 cos1.
例8
计算二次积分
01
dy
1y
sin x
x
dx.
解
由不定积分可知
sin x
x
dx其被积函数sin x
x
的原函数
不能用初等函数表示，因此依题中所给积分次序
(x,
y)dy 时，应将x视为常
量，按定积分的计算方法解之.
为了简便常记为
D
f
(x,
y)dxdy
bdx y2 (x)
a y1( x)
f
(x,
y)dy.
同样，设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线 至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为
x1( y) x x2( y) c y d.
(3)
在[c,d]上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面 截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为 S(y)，则
π. 4
解法2 先对x积分.
作平行于x轴的直线与积分区域D相交，沿x轴的
正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为 x π .D
在y轴上的投影区间为 [0, π].故
2
2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dy
x
0
sin
x
cos
ydx
D
π
π
2
0
cos
y[
cos
x]
2 y
dy
π
2
0
cos
2
ydy
π. 4
例4 计算积分 ydxdy ，其中D由 x2 y2 1, y≥0确定.
二重积分的计算
一、二重积分在直角坐 标系下的计算
二、二重积分在极坐标 系下的计算
二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简 称为化为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何 意义来引出这种计算方法.
一、二重积分在直角坐标系下的计算
在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两
组直线段，将区域D分割成n个小块 1, 2,, n,
而后对x积分时，其积分区间为区域D在Ox轴上 投影区间[a,b]，a是下限，b是上限，即
D
f
(x,
y)dxdy
bdx y2 (x)
a y1( x)
f
(x,
y)dy.
如果所作出的平行于y轴的直线与区域D相交时，
在不同的范围内，入口曲线或出口曲线不同，则应该
将积分区域D分为几个部分，在每个部分区域上，所
线与D相交，沿x轴正方向看，入口曲线线 x y ，
出口曲线为x=2–y，因此 y x 2 y.在区域D
中0 y 1,于是
I
01dy
2
y
y
f
(x,
y)dx.
二、二重积分在极坐标下的计算
若点M在直角坐标系中坐标为(x,y)，在极坐标
系中坐标为(r, )，则有如下关系： x r cos , y r sin. 在极坐标系中，我们用r=常数和 =常数来分割
D1
:
0 0
y x
1, y,
D2
:
0
1 x
y
2
2,
y.
如果转换为先对y积分，后对x积分，只需作平行 于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲
线为y=x，出口曲线为y=2–x，因此 x y 2 x 在D中0 x 1，
I
1
0
dxx2
x
f
(x,
y)dy.
例10 交换二次积分
D
解法1 先对y积分， 作平行于y轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向
看，入口曲线y=0；出口曲线为 y 1 x2，因此
0 y 1 x2.
ydxdy 11dx0 1x2 ydy
D
11
1 2
y2
1 x 2 0
dx
1 2
11(1
x2 )dx
2. 3
解法2 先对x积分. 作平行于x轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看， 入口曲线为 x 1 y2 ，出口曲线为x 1 y2 ，因此
1 y2 x 1 y2
ydxdy
1
0
dy
1 y 2 1 y 2
ydx
01 yx
1 y 2 1 y 2
dy
D
201 y
1
y2dy
2 3
(1
y
2
3
)2
1
0
2. 3
比较两种解法可知，解法1比解法2简便些.说明 将二重积分化为二次积分时，应注意选择积分次序.
例5 计算积分 xy cos( xy2)dxdy ，其中D是由不等
S
(
y)
x2 ( y)
x1 ( y)
f
(
x,
y)dx，
所给立体体积
V cd S( y)dy.
因此
f (x, y)dxdy cd S( y)dy
D
cd
x2 (y)
x1 ( y)
f
(x, y)dx dy
cd
d y
x2 ( y) x1 ( y)
f
(x,
y)dx.
(4)
即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分.
y1(x) y y2(x) a x b.
(1)
在[a,b]上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平
面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投
影到Oyz坐标面，它是区间[y1 (x),y2 (x)]上，以z=f(x,y) 为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面
的面积可以由对变元y的定积分来表示.
为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常 可以采用下述步骤： (1) 画出积分区域D的图形. (2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界
线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方 法是： 作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线 与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线， 作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称 之为出口曲线，作为积分上限.
从而有
f (x, y)d f (x, y)dxdy.
D
D
由定积分的几何应用：设一立体满足a x b， 在区间[a,b]上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面 与所给立体相截，若截面面积为S(x)，则所给立体体 积
V abS(x)dx.
设区域D的边界曲线与平行于y轴的直线至多有 两个交点.区域D可以用不等式表示为
D
x2 y2
dxdy
1
1 2
dy
2
1
y
x2 y2
dx
2
1
dy
2
y
x2 y2
dx
1
1 2
1 3
8 y2
1 y5
dy
2
1
1 3
8 y2
y dy
1 1 3 4 y 4
8
1
y 1
1 3
8 y
y2 2
2
1
2
17 5 9 . 12 6 4
显然解法1较简便.因此选择积分次序是将二重 积分化为二次积分的重要问题.
例7
计算积分
D
sin x
x
dxdy
，其中区域D由直线y=x，
y=0与x=1围成的区域.
解
由不定积分可知
sin x
x
dx不能用初等函数表示出
来，因此，所给积分不能化为先对x积分后对y
积分的积分次序.
欲化为先对y积分后对x积分的二次积分.作
平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向
看，入口曲线为y=0，出口曲线为y=x，因此
S(x)
y2 ( x)
y1( x)
f
(x,

y)dy.
故曲顶柱体的体积，也就是二重积分为
D
f
(x,
y)dxdy
ab S ( x)dx
b[ f y2 (x)
a y1 ( x)
(x,
y)dy]dx.
(2)
将二重积分化成了先对y积分，后对x积分的二次积分.
需要指出，计算
y2 ( x)
y1 ( x)
f
先对x积分时，xx12((yy)) f (x, y)dx中的y应视为常量，
按定积分的计算方法解之.
在上述讨论中，我们假定f(x,y)≥0，但是实际上， 上述结论并不受此限制.
如果积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直 线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个 子区域，其中每个子区域的边界曲线与平行于坐标 轴的直线相交时，交点不多于两个，用前述方法及 重积分的可加性可求区域D上的二重积分.
不能计算出此二重积分.对此类问题常考虑采用交
换积分次序的方法来解决.其一般步骤为：
(1) 先依给定的二次积分限，定出积分区域D的范
围，并依此作出D的图形.
(2) 再依区域D的图形，依前述确定积分限的方 法，确定出另一种积分次序的积分限.
由给定的积分限可知积分区域D的范围为
0 y 1(外层积分限所确定), y x 1(内层积分限所确定).
I
01
dx
x2
0
f
(x,
y)dy
12 dx02x
f
(x,
y)dy
的积分次序.
解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为
D1与D2.
0 x 1,
D1
:
0
y
x2,
1 x 2,
D2
:
0
y
2
x.
y x2
由于
的解为(1,1)，
x 1
而
y
x
2
1
x 的解为(1,1),
如果换为先对x积分，后对y积分，作平行于x轴的直
作为积分下限.出口曲线为
y
21
x 3