(常考题)北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试(有答案解析)(4)

一、选择题
1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2．已知数列{}n a 满足11a =，+121
n
n n a a a =+，则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =（ ） A ．
21
n
n - B ．
21n
n + C ．
221
n
n + D ．
42
n
n + 3．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且()
*
2122n n n a a a n N ++-+=∈，若[]
x 表示不超
过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122018232019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
++
+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
＝
（ ） A ．2018
B ．2019
C ．2020
D ．2021
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有22
33
n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（ ） A ．2或4
B ．2
C ．3或4
D ．6
5．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）
A ．6a
B ．7a
C ．8a
D ．9a
6．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式1
6125
n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
7．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为10
11
，则项数为
（ ）． A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
8．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2
x
y x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1
n
i
i i x
y =+=∑（ ）
A ．0
B ．n
C ．2n
D ．3n
9．对于数列{}n a ，定义11233n n
n a a a T n
-++
+=
为{}n a 的“最优值”，现已知数列
{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2020
2020
S
=（ ） A ．2019 B ．2020 C ．2021 D ．2022
10．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n n
n n
a a
b a -+=
，n ∈+N ，且113072b =，
记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（ ） A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
11．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A ．1
B ．1-或2
C ．3
D ．1-
12．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（ ） A ．45
B ．75
C ．90
D ．95
二、填空题
13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，则2018S =______. 14．已知等比数列{}n a 中，21a =，58a =-，则{}n a 的前6项和为__________． 15．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若111,n n a a a n +=+=，则1916S S -的值为________. 16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为(
)*
n S n N
∈，公差0d ≠，6
90S
=，7a 是3a 与9
a 的等比中项，当0n S >时，n 的最大值为______.
17．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n
n n b a -=+，且
1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____．
18．若数列}{
n a
2*
3()n n n N =+∈，则
n a =_______．
19．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若22a =-，714S =，则10a =__________. 20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时
n =________．
三、解答题
21．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2
22n n n S a a =+-.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若232
n n
n a a b --=
，求数列{}n b 的前
n 项和n T . 22．数列{}n a 的前n 项之和为n S ，11a =，11n n a pa +=+(p 为常数) （1）当1p =时，求数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项之和；
（2）当2p =时，求证数列{}1n a +是等比数列，并求n S .
23．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知14a =，124n n S a n +=+-，*n N ∈． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()122121n n n n a b +-=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足13
40
n
T >的正整数n 的最小值．
24．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为653,2,40n S a S S ==+. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令2log 4n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最大值. 25．已知数列{}n a 的首项为4． （1）若数列{
}2
n
n a -是等差数列，且公差为2，求{}n
a 的通项公式．
（2）在①3248a a -=且20a >，②364a =且40a >，③20212201716a a a =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题，若{}n a 是等比数列，__________，求数列
(){}31n
n a -的前n 项和n
S
．
26．设等差数列{}n a 的首项1a 为()0a a >，其前n 项和为n S . （Ⅰ）若1S ，2S ，4S 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，问是否存在()
*
2,k k k ≥∈N ，使得ln k S 、
1ln k S +、2ln k S +成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由等差数列的前n 和公式，求得1710a a +=，再结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】
由题意，根据等差数列的前n 和公式，可得1777()
352
a a S +==，解得1710a a +=， 又由等差数列的性质，可得17
452
a a a +==. 故选：A.
【点睛】
熟记等差数列的性质，以及合理应用等差数列的前n 和公式求解是解答的关键
2．B
解析：B 【分析】
利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得n T . 【详解】
已知数列{}n a 满足11a =，+121
n
n n a a a =+， 在等式+121
n n n a a a =
+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+，
111
2n n a a +∴-=， 所以，数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为
1
11a ，公差为2，则
()1
12121n n n a =+-=-，121
n a n ∴=-， ()()11
111212122121n n a a n n n n +⎛⎫
∴=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，
因此，
1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-+-+
+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
21n n =+. 故选：B. 【点睛】
使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
3．B
解析：B 【分析】
由2122n n n a a a ++-+=，可得()2112n n n n a a a a +++---=，214a a -=．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出． 【详解】
2122n n n a a a ++-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，214a a -=．
{}1n n a a +∴-是等差数列，首项为4，公差为2．
142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+．
2n ∴≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯⋯+-+
(1)
22(1)..2222(1)2
n n n n n n +=+-+⋯+⨯+=⨯
=+． 2(1)1n n n a n
++∴=．
∴当2n ≥时，2(1)11⎡⎤++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦n n n a n ． 222122018232019220172019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
.
故选：B ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．A
解析：A 【分析】
利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】
对任意的*n N ∈有2233
n n S a =-， 可得：11122
33
a S a ==
- ，解得：1=2a -， 当2n ≥时：2233n n S a =
-，112233
n n S a --=- 两式相减得1122
33
n n n n n S S a a a ---=
-=，即12n n a a -=-， 所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，
所以()2n
n a =-，()()()212212123n
n n
S ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣
⎦--， 所以211(2)123k
k S ⎡⎤<=---<⎣
⎦， 所以
5
(219)2
k <-<， 当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题.
5．B
解析：B 【分析】
由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解. 【详解】
33a 44a =,
33a ∴()33444a d a d =+=+, 34d a ∴=-
n a ∴3(3)a n d =+-⋅
4(3)d n d =-+- (7)n d =- 70a ∴=,
故选：B 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.
6．C
解析：C 【分析】
首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜
1125
的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到
111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】
对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1） 即：
111
-13
n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为1
3
-的等比数列．
所以b n =a n ﹣1=8×1
1-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
a n =8×1
1-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
+1
所以181********n n
n
S n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭
|S n ﹣n ﹣6|=n
11-6-3125⎛⎫
⨯< ⎪⎝⎭
解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】
此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．
7．C
解析：C 【解析】
分析：由已知，111(1)1n a n n n n =
=-++，利用裂项相消法求和后，令其等于1011
，得到
n 所满足的等量关系式，求得结果.
详解：111(1)1
n a n n n n =
=-++ ()n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和
11111
(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111
n n n =-=++，
当10
11
n S =
时，解得10n =，故选C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应的求和方法--------错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n 的等量关系式，从而求得结果.
8．D
解析：D 【分析】
由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2
x
y x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】
函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，
∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2
x
y x =
-的图像也关于()2,1对称， 设123n x x x x >>>
>
121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+=
=⨯=
令
121
n
i
n i x
x x x ==++
∑，则111
n
i n n i x x x x -==++
∑，
()()()12111
24n
i n n n i x x x x x x x n -==++++
∴+=∑，1
2n
i i x n =∴=∑
令
121n
i
n i y y y
y ==++
∑，则111
n
i n n i y y y y -==++
∑，
()()()12111
22n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1
n
i i n y =∴=∑
()13n
i i i x y n =+=∴∑，
故选：D 【点睛】
本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.
9．D
解析：D 【分析】 根据11233n n
n a a a T n
-++
+=
，且3n
n T =，得到112333n n n a a a n -++
+=⋅，然后
利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n n
n a a a T n
-++
+=
，且3n
n T =，
∴112333n n n a a a n -+++=⋅，
当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，
两式相减可得：()()1
113
313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.
∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.
则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202
+⨯+⨯==⨯.
∴
2020
20222020S =. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.
10．B
解析：B 【分析】
设{}n a 是公比为q ，根据已知条件有1
n n n b q
q -=+求得2q
，数列{}n b 的前n 项和为
3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值
【详解】
令{}n a 是公比为q ，由212n n
n n
a a
b a -+=，n ∈+N ∴1n n n b q
q -=+，又113072b =
即10
11
3072q q +=，又q Z ∈，知：2q
∵{}n b 的前n 项和为n S ，则3(21)n
n S =-
∴2020n S ≥时，3(21)2020n -≥，n ∈+N 解得10n ≥ 故选：B 【点睛】
本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值
11．B
解析：B 【分析】
用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】
因为1324,,2a a a 成等差数列，
所以312242a a a =+，即2
111242a q a a q =+，
化简得2
20q q --=，解得1q =-或2q .
故选B. 【点睛】
本题考查等比数列与等差数列的综合运用.
12．B
解析：B 【分析】
结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程11
54
19199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得
112
32d a ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】
解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：
115419199114a d a d +=⎧⎨
+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112
32d a ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 所以()151151513145105
1515157752222
S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.
二、填空题
13．【分析】分别计算出进而得出再由可得出的值【详解】由题意可得故答案为：【点睛】本题考查数列求和找出数列的规律是解答的关键考查计算能力属于中等题 解析：1008
【分析】
分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、(
)4k a k N
*
∈，进而得出
43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.
【详解】
由题意可得(
)434243sin 112k k a k π--⎛⎫
=-+= ⎪⎝⎭
，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫
=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，
4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
，
()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，
201845042=⨯+，
2018201720184505345052
65046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.
故答案为：1008. 【点睛】
本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
14．【解析】因为已知等比数列中所以则故答案为【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式属于中档题等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型数列中的五个基本量一般可以知二求三通过列方程组所求问题可以迎刃 解析：
212
【解析】
因为已知等比数列{}n a 中，所以21a =，58a =-，3
5
2
8,2a q q a =
=-=-，则(
)
()()6
6
121611211
212,21122
a q a a S q q
⎡⎤
----⎣⎦==-=
==---，故答案为212. 【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
15．27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为：27【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的
解析：27 【分析】
由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可得通项，从而求得结论． 【详解】
∵1n n a a n ++=，∴121n n a a n +++=+，相减得21n n a a +-=，
又1121,1a a a =+=，20a =，211a a -=-，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1，
21n a n -=，21n a n =-，
1916171819981027S S a a a -=++=++=．
故答案为：27． 【点睛】
易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中n 改写为1n +，两相减后得21n n a a +-=，这里再计算21a a -，如果2211()22
n n
a a a a +--=
=，则可说明{}n a 是等
差数列，象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为{}n a 是等差数列．这是易错的地方．
16．【分析】根据是与的等比中项求出和再根据等差数列的求和公式求出解不等式即可得解【详解】因为是与的等比中项所以所以化简得因为所以因为所以即将代入得解得所以所以由得即解得所以正整数的最大值为故答案为：20
解析：【分析】
根据690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项求出1a 和d ，再根据等差数列的求和公式求出
n S ，解不等式0n S >即可得解.
【详解】
因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2
739a a a =⋅，
所以()()()2
111628a d a d a d +=++，化简得2
1100a d d +=，
因为0d ≠，所以110a d =-， 因为690S =，所以1656902a d ⨯+
=，即15
152
a d +=， 将110a d =-代入得5
10152
d d -+=，解得2d =-，所以120a =， 所以2(1)
20(2)212
n n n S n n n -=+
⨯-=-+， 由0n S >得2210n n -+>，即2210n n -<，解得021n <<， 所以正整数n 的最大值为20. 故答案为：20 【点睛】
关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键.
17．【解析】所以 解析：22(1)4n n n +++-
【解析】
1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-+
+-=+-
所以2
22
(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-
18．【分析】有已知条件可得出时与题中的递推关系式相减即可得出且当时也成立【详解】数列是正项数列且所以即时两式相减得所以（）当时适合上式所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式属于一般题 解析：()2
41n +
【分析】
有已知条件可得出116a =，2n ≥时
()()
2*
131()
n n n N
=-+-∈，与题中的递推关系式相减即可得出()2
41
n
a n
=+，且当1
n=时也成立．
【详解】
数列}
{
n
a
2*
3()
n n n N
=+∈
4
=，即
1
16
a=
2
n≥
()()
2*
131()
n n n N
=-+-∈
22
n
=+，
所以()2
41
n
a n
=+（2
n≥）
当1
n=时，
1
16
a=适合上式，所以()2
41
n
a n
=+
【点睛】
本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题．
19．14【分析】本题先求再求即可解题【详解】解：因为数列是等差数列所以解得所以故答案为：14【点睛】本题考查等差数列的基本量法是基础题
解析：14
【分析】
本题先求1a、d，再求10a即可解题.
【详解】
解：因为数列{}n a是等差数列，22
a=-，
7
14
S=
所以
21
71
2
7(71)
714
2
a a d
S a d
=+=-
⎧
⎪
⎨⨯-
=+=
⎪⎩
，解得1
4
2
a
d
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
所以101914
a a d
=+=
故答案为：14
【点睛】
本题考查等差数列的基本量法，是基础题.
20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题
解析：10
【分析】
根据条件确定{}n a中项的符号变化规律，即可确定n S最小时对应项数.
【详解】
71389101112131011
03()0
S S a a a a a a a a
=∴+++++=∴+=
17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>
即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】
本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.
三、解答题
21．（1）1n a n =+；（2）1
2n n n T -=. 【分析】
（1）根据2
22n n n S a a =+-可得211122n n n S a a +++=+-，两式作差证明{}n a 为等差数
列，由此求解出{}n a 的通项公式； （2）先根据2
32n n
n a a b --=求解出{}n b 的通项公式，然后采用错位相减法进行求和，由此求解出n T . 【详解】
（1）因为2
22n n n S a a =+-，所以211122n n n S a a +++=+-， 所以两式作差有：22
1112n n n n n a a a a a +++=+--，
所以()()22
1111n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，且0n a >，所以10n n a a ++>，
所以11n n a a +-=，所以{}n a 是公差为1的等差数列，
且2
1111222S a a a ==+-，所以12a =或11a =-（舍），
所以()2111n a n n =+⋅-=+； （2）因为232n n n a a b --=，所以1
22n
n n
b --=， 所以01211012...2222n n n T ---=
++++，所以12311012 (22222)
n n n T --=++++， 两式作差可得：012311
111112+ (2)
222222
n n n n T ------=
++++-， 所以1
111122
22212
12
n n
n n T --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
-⎝⎭=---，所以11112221222n n n n n n T ---⎛⎫-⎛⎫=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】
思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列{}n a 的前n 项和n S 的求解步骤（错位相减
法）：
（1）先根据数列的通项公式写出数列n S 的一般形式：123...n n S a a a a =++++；
（2）将（1）中的关于n S 等式的左右两边同时乘以等比数列的公比()1q ≠；
（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；
（4）利用等比数列的前n 项和公式以及相关计算求解出n S . 22．（1）21
n n +；（2）证明见解析，1
22n n S n +=--. 【分析】
（1）由已知条件判定数列为等差数列，求得通项公式，进而得到n S ，利用裂项求和法进一步求得n T ；
（2）在已知递推关系两边同时加上1，可以证得数列{}1n a +为等比数列，求得通项公式，进而利用分组求和法和等比数列的求和公式计算n S . 【详解】
（1）当1p =, 11n n a a +=+,
∴数列{}n a 为等差数列，公差1d =,又
11a =，
∴1(1)1(1)n a a n d n n =+-=+-=，()()112
2
n n a a n n n S ++∴=
=,
()122211
n S n n n n ∴
==-++, ∴数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项之和 121112222222221334111
n n n T S S S n n n n =
++⋯+=-+-+⋯+-=-=+++； （2）当2p =时，121n n a a +=+，1211)12(1n n n a a a +=++=++，又11a =，
∴112a +=，
∴数列{}1n a +是首相为2，公比为2的等比数列，∴12n
n a +=，∴21n n a =-，
∴1212(21)(21)...(21)22...2n n n S n
=-+-++-=+++-(
)1
2122
212n
n n n +-=
-=---.
【点睛】
本题考查等差数列的判定与求和，等比数列的判定与求和，裂项求和法和分组求和法，难度不大.关键是掌握裂项相消求和方法和利用定义证明等比数列. 23．(1)22n
n a =+；(2)6． 【分析】
(1)利用1n n n a S S -=-求通项公式； (2)把n b 拆项为1
11
2121
n n n b +=-++，然后求和． 【详解】
(1)因为124n n S a n +=+-，则()1262n n S a n n -=+-≥，
当2n ≥时，112n n n n n a S S a a -+=-=-+，即122n n a a +=-，即()1222n n a a +-=-． ∵122a -=，取1n =，则()21112422a S a a -====-，对()1222n n a a +-=-也成立．
所以{}2n a -是首项和公比都为2的等比数列，从而22n
n a -=，所以22n
n a =+．
(2)由题设，()()()()()
1111
2121211212121212121n n n n n n n n n n b +++++-+===-++++++， 则223
111
1111
111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 由
1111332140n +->+，得111131
21340120n +<-=+，即121120n ++>，即12119n +>，则6n ≥.
所以正整数n 的最小值为6．
【点睛】
数列求和常用方法：
(1)公式法； (2)倒序相加法；(3)裂项相消法； (2)错位相减法．
24．（1）1322n
n a -=；（2）最大值为64.
【分析】
（1）已知条件用1a 和公比q 表示后解得1,a q ，得通项公式；
（2）由（1）求得n b ，由0n b ≥求得n T 最大时的n 值，再计算出最大的n T ． 【详解】
解：（1）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，
由62a =，有5
12a q =①，
又由5340S S =+，有4540a a +=，得34
1140a q a q +=②，
①÷②有21120q q =+，解得1
4q =或15q =-(舍去)， 由14q =，可求得11
12a =，有1
11113211224n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪
⎝⎭
，
故数列{}n a 的通项公式为1322n
n a -=； （2）1322log 2
4172n
n b n -=+=-，
若0n b ，可得17
2
n ，可得当18n 且*n ∈N 时0n b >；当9n 且*n ∈N 时0n b <， 故8T 最大，
又由115b =，可得887
158(2)642
T ⨯=⨯+⨯-=， 故n T 的最大值为64. 【点睛】
思路点睛：本题考查求等比数列通项公式，求等差数列前n 项和最大值，求等差数列前n 项和的最大值方法：数列{}n b 是等差数列，前n 项和为n T ， （1）求出前n 项和n T 的表达式，利用二次函数的性质求得最大值；
（2）解不等式0n b ≥，不等式的解集中最大的整数n 就是使得n T 最大的n 值，由此可计算出最大的n T （注意n b =0时，1n n T T -=）． 25．（1）22n
n a n =+；（2）()132483
n n n S +-+=
【分析】 （1）求出{
}2
n
n a -首项，即可求出{}2n n
a
-通项公式，得出{}n a 的通项公式；
（2）设出公比，建立关系求出公比，再利用错位相减法即可求出n S . 【详解】
解：（1）因为14a =，所以122a -=， 因为数列{
}2n
n a -是等差数列，且公差为2，
所以()2
2212n
n a n n -=+-=，
则22n n a n =+.
（2）选①：设公比为q ，由3248a a -=，得2
4448q
q -=，
解得4q =或3-，因为20a >，所以4q =. 故4n
n a =.
()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯+
+-⨯，
两式相减得()()231383444314n n n
S n +-=++++--，
即()2114438313414
n n n S n ++--=+⨯+--()1
2348n n +=--，
故()132483
n n
n S +-+=
.
选②：设公比为q ，由364a =，得2
464q
=，
解得4q =±，因为20a >，所以4q =. 故4n
n a =.
()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯+
+-⨯，
两式相减得()()231383444314n n n
S n +-=++++--，
即()2114438313414
n n n S n ++--=+⨯+--()1
2348n n +=--，
故()132483
n n
n S +-+=
. 选③：设公比为q ，由20212201716a a a =，得20211201820181664a a a a ==，
则3
64q =，所以4q =.
故4n
n a =.
()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯+
+-⨯，
两式相减得()()231383444314n n n
S n +-=++++--，
即()2114438313414
n n n S n ++--=+⨯+--()1
2348n n +=--，
故()132483
n n
n S +-+=
. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则
111111n n n n a a d a a ++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，利用裂项相消法求和. 26．（Ⅰ）0d =时，n a a =；2d a =时，2n a an a =-；（Ⅱ）不存在，理由见解析. 【分析】
（Ⅰ）根据等差数列写出(1)2
n n n d
S na -=+，利用等比中项性质列式代入求解；（2）设存在(
)*
2,k k k ≥∈N ，根据等比中项列式，整理化简之后分类讨论0d =与0d >是否
成立. 【详解】
（Ⅰ）因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2
214S S S ，又因为数列{}n a 是等差数列，首
项1a 为()0a a >，所以(1)2
n n n d S na -=+
，则()()2
246a d a a d +=+，可得0d =或2d a =，当0d =时，n a a =；当2d a =时，2(1)2n a a n a an a =+-=-.
（Ⅱ）设存在(
)*
2,k k k ≥∈N
，使ln k
S
、1ln k S +、2ln k S +成等比数列，则
122ln l ln n k k k S S S ++=⋅，对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，首项0a >，所以0d ≥
因为
()2
2
222
ln ln ln ln ln 22k k k k k k S S S S S S +++⋅⎡⎤+⎡⎤⋅<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
()()()2
2
2
11121112ln ln 22k k k k k k k k S dS a a S a S a ++++++++⎡⎤
+--+⎡⎤⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 当0d =时，
()()()222
2222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k S dS a a S a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即122
ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；
当0d >时，
()()()222
2222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k k S dS a a S dS a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
即122
ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；
综上，不存在(
)*
2,k k k ≥∈N ，使得ln k
S
、1ln k S +、2ln k S +成等比数列.
【点睛】
关于等比中项性质的运用，需要注意,,a b c 三个数成等比数列，列式得2b ac =，然后再根据数列是等差还是等比数列化为基本量1,a d 或1,a q 计算.。